沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专题测试练习题（含解析）

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个 ( http: / / www.21cnjy.com )题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）
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A．15° B．20° C．25° D．30°
2、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）【出处：21教育名师】
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A．30° B．60° C．80° D．90°
3、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（　　）
A．6，3 B．6，3 C．3，6 D．6，3
4、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
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A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
5、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
6、如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）
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A． B．
C．3 D．
7、若O是ABC的内心，当时，（ ）
A．130° B．160° C．100° D．110°
8、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（ ）
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A．1 B． C． D．2
9、已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
10、如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）
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A．4 B．8 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．
2、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．
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3、如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为__________．
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4、如图，已知PA、PB是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的两条切线，点A、点B为切点，线段OP交⊙O于点M．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④点M是△AOP外接圆的圆心．其中正确的结论是_____（填序号）．
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5、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）
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（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．
求证：线段AB是⊙O的直径．
请你结合图①写出推论1的证明过程．
（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为 ．
（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE． 若AB＝，则DE的长为 ．
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2、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
对于线段AB，给出如下定义：若线段 ( http: / / www.21cnjy.com )AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有 　 　；
（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），
①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．
②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为yM，求S．www.21-cn-jy.com
（3）已知点M，N是在以原点为圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．
（4）已知点M，N是在以（2，0）为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．
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3、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且．
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（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求的半径．
4、如图，AB为⊙O的直径，弦于，连接，过作，交⊙O于点，连接DF，过作，交DF的延长线于点．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若，DF=4，求FG的长．
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5、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．
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(1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________
(2)以(1)中的外心P为位似 ( http: / / www.21cnjy.com )中心，按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；
(3)若以A为圆心，为半径的⊙A与线段BC有公共点， 则的取值范围是____________．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2、B
【分析】
延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，
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∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=AO=BO，
∴三角形ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．21*cnjy*com
3、B
【分析】
如图1，⊙O是正六边形的外接圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，连接OA，OB，求出∠AOB=60°，即可证明△OAB是等边三角形，得到OA=AB=6；如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，先求出∠AO1B＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=6；
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（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，
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∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AO1B＝60°，
∵O1A= O1B，
∴△O1AB是等边三角形，
∴O1A= AB=6，
∵O1M⊥AB，
∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，
∵AB＝6，
∴AM＝BM，
∴O1M．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键．
4、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系21*cnjy*com
【详解】
解：连接,
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，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
5、B
【分析】
如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB=30°，，然后根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】
解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
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根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．
6、C
【分析】
连接OA、OB，则为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为，进而通过勾股定理，可得半径为3．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴，
∴，即：
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
7、A
【分析】
由三角形内角和以及内心定义计算即可
【详解】
∵
∴
又∵O是ABC的内心
∴OB、OC为角平分线，
∴
∴180°=180°-50°=130°
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2·1·c·n·j·y
8、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．
【详解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故选：B．
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【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
9、A
【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，当点 ( http: / / www.21cnjy.com )到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．
10、D
【分析】
连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
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∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴，
∴BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是．
故选：D
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
根据弧长公式代入求解即可．
【详解】
解：∵扇形的半径为5cm，圆心角为120°，
∴扇形的弧长＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：，其中n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径．21·cn·jy·com
2、
【分析】
先根据得出，同理可得出，进而得出，根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】
由题意可得：
在中，
同理可得：
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
3、
【分析】
根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即．
【详解】
解：在中，，
，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
4、①②③
【分析】
根据切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③，利用反证法判断④．
【详解】
解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，则
∴以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是①②③．
故填①②③．
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【点睛】
本题属于圆的综合题，主要考查的是切线长定理、三角形的外接圆、四边形的外接圆等知识点，综合运用圆的相关知识是解答本题的关键．
5、
【分析】
根据圆心角为的扇形面积是进行解答即可得．
【详解】
解：这个扇形的面积．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．
三、解答题
1、【推论证明】见解析；【深入探究】；【拓展应用】．
【分析】
推论证明：根据圆周角定理求出，即可证明出线段AB是⊙O的直径；
深入探究：连接AB，首先根据∠ACB＝90°得出AB是⊙O的直径，然后求出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度；
拓展应用：连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，首先根据等边三角形三线合一的性质求出，然后证明出A，E，C，D四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：推论证明：∵
∴，
∴A，B，O三点共线，
又∵点O是圆心，
∴AB是⊙O的直径；
深入探究：如图所示，连接AB，
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∵∠ACB＝90°
∴AB是⊙O的直径
∴
∵∠ACD＝60°
∴
∵
∴
∴在中，
∴；
拓展应用：如图所示，连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，
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∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点
∴，
又∵以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD
∴，
∴点A，E，C，D四点都在以AC为直径的圆上，
∵
∴
∵CF⊥DE
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∵
∴，解得：
∴
∵
∴
∴在中，
∴
∴．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，90° ( http: / / www.21cnjy.com )的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．
2、（1）EF、CD；（2）①；②；（3）;（4）或
【分析】
（1）的半径为1，则的最长的弦长为2，根据两点的距离可得，进而即可求得答案；
（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得的坐标；②由①可得当时，yM，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则，根据余弦求得进而代入数值列出方程，解方程即可求得的最大值，进而求得的范围；【版权所有：21教育】
（3）根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线，求得半径为，根据圆的面积公式进行计算即可；
（4）根据（2）的方法找到所在的圆心,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围
【详解】
（1）的半径为1，则的最长的弦长为2
根据两点的距离可得
故符合题意的“反射线段”有EF、CD；
故答案为：EF、CD
（2）①如图，过点作轴于点，连接
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A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），
，且，
的半径为1，
，且
线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，，
②由①可得当时，yM
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如图，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则，
过中点，作直线交轴于点,则即为反射轴
yM，
即
即
解得（舍）
（3）
的半径为1，则是等边三角形，
根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴, 21·世纪*教育网
反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线
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当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积为．
（4）如图，根据（2）的方法找到所在的圆心,
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设
则
,是等腰直角三角形
,
当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，
是的中位线
,
即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动
若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，则为的切线
设与轴交于点
，
同理可得
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反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围为或
【点睛】
本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．21教育网
3、（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，只要证明即可．此题可运用三角形的中位线定理证，因为，所以．
（2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长，即可根据中位线性质求出的长，即的半径长．21cnjy.com
【详解】
（1）证明：连接．
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因为是的中点，是的中点，
，
．
，
．
，是圆的半径，
是的切线．
（2）如图，，，
，，
，且，
，
，
且，
∴，
，
，
∴ ，
的半径长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
4、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；
（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，
∴ ∠D=∠CAF=90°．
∵ AB⊥CE，BG⊥DF，
∴ ∠BED=∠G=90°．
∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．
∴ 半径OB⊥BG．
∴ BG是⊙O的切线．　　　　　　　　　　　
（2）连接CF，
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∵ ∠CAF=90°，
∴ CF是⊙O的直径．
∴ OC=OF．
∵ 直径AB⊥CD于E，
∴ CE=DE．
∴ OE是△CDF的中位线．
∴ ．
∵ ，∠AFD=30°，
∴ ∠ACD=∠AFD=30°．
∴ ．
∵ OA=OC，
∴ △AOC是等边三角形．
∵ CE⊥AB，
∴ E为AO中点，
∴ OA=2OE=4，OB=4．
∴ ．
∵ ∠BED=∠D=∠G=90°，
∴ 四边形BEDG是矩形．
∴ DG=BE=6．
∴ ．
【点睛】
本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.21教育名师原创作品
5、（1）（4，2）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P；
（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；
（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可．
【详解】
解：如图所示：
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（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；
（3）观察图形可知：r=时，⊙A与线段BC有一个公共点．
此时⊙A与线段BC相切，
当时，⊙A只经过点，
∴的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图 位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．
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