【最新强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专题训练试题(含详解)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内 ( http: / / www.21cnjy.com )相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（　　）21·世纪*教育网
A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上 D．以上都有可能
3、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
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A．70° B．50° C．20° D．40°
4、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）21教育名师原创作品
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A． B．
C． D．
5、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）
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A．15° B．20° C．25° D．30°
6、下列说法正确的个数有（ ）
①方程的两个实数根的和等于1；
②半圆是弧；
③正八边形是中心对称图形；
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；
⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（ ）．
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A．20° B．25° C．30° D．40°
8、如图，的半径为，AB是的弦，于D，交于点C，且，弦AB的长为（ ）
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A． B． C． D．
9、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
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A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
10、如图，中，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在菱形中，对角线和交于点，分别以，为圆心，，为半径画圆弧，交菱形各边于点，，，．若，，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留）
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2、如图，AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为__________
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3、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．
4、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．
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5、如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作于H．连接BH，则在点C移动的过程中，线段BH的最小值是______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，射线AB和射线CB相交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；【版权所有：21教育】
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．
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2、如图，四边形ABCD内接⊙O，∠C＝∠B．
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（1）如图1，求证：AB＝CD；
（2）如图2，连接BO并延长分别交⊙O和CD于点F、E，若CD＝EB，CD⊥EB，求tan∠CBF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BF上取点G，连接CG并延长交⊙O于点I，交AB于H，EF∶BG＝1∶3，EG＝2，求GH的长．
3、如图1，抛物线y＝ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点E的坐标为（0， ( http: / / www.21cnjy.com )7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；
（3）如图3，已知直线l：y＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．
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4、如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，且，AD平分交BC于点D，CP平分交AD于点P，，．
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（1）求证：四边形CEPF为正方形；
（2）求的最大值；
（3）求的最小值．
5、新定义：在一个四边形中，若有一组 ( http: / / www.21cnjy.com )对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
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-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．
2、B
【分析】
本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵点A（﹣4，﹣3），
∴，
∵⊙A的半径为4，
∴，
∴点O在⊙A外；
故选：B
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．
3、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，
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∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
4、D
【分析】
本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】
如图，AS交圆于点E，连接EB，
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由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．
∴cos∠ASB＞cos50°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可．
【详解】
1、，故方程无实数根，故本命题错误；
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；
4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误
综上所述，正确个数为3
故选B
【点睛】
本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．
7、B
【分析】
连接OA，如图，根据切线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
【详解】
解：连接OA，如图，
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∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOP=∠B+∠OAB，
∴∠B=∠AOP=×50°=25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．www-2-1-cnjy-com
8、A
【分析】
如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出，即可利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．
9、D
【分析】
先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】
解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
10、C
【分析】
由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.
【详解】
解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，，
∴∠ABC=∠AOC=.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．
二、填空题
1、
【分析】
图中阴影部分的面积=菱形的面积-2×扇形的面积．根据题意分别求出菱形和扇形的面积即可得到阴影部分的面积．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：菱形面积=两条对角线的乘积，
根据勾股定理得到边长，
△ABD是等边三角形，
即∠BAD=60°，
因为，
则S扇形AEH=，
那么阴影部分的面积．
故答案为：
【点睛】
此题考查菱形性质以及扇形的面积的计算的综合运用．
2、3
【分析】
根据垂径定理可得，进而利用勾股定理解直角三角形即可求得的长
【详解】
解： AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，
在中，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3、140
【分析】
作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．21·cn·jy·com
【详解】
解：如图所示，作的外接圆，
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∵点I是的内心，
∴BI，CI分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
故答案为：140．
【点睛】
题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．21*cnjy*com
4、
【分析】
先根据得出，同理可得出，进而得出，根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】
由题意可得：
在中，
同理可得：
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．【出处：21教育名师】
5、##
【分析】
连接，取的中点，连接，由题可知点在以为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，最小；求出，在中，，所以，即为所求．
【详解】
解：连接，取的中点，连接，
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，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当、、三点共线时，最小，
是直径，
，
，，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定点的运动轨迹．
三、解答题
1、（1）45°；（2）AE＝BE+CE，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）连接AC，证A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH＝BE，进而得出结论；
（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH＝BE，由三角函数定义得出AH＝3BH＝BE，分别表示出CE，进而得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC，如图①所示：
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∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，，
∴，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，
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由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝，
∴，
∴，
∴；
②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，2·1·c·n·j·y
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同①得：，
∴，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，时，的值为或．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．21*cnjy*com
2、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）过点D作DE∥AB交BC于E， ( http: / / www.21cnjy.com )由圆内接四边形对角互补可以推出∠B+∠A=180°，证得AD∥BC，则四边形ABED是平行四边形，即可得到AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，这DE=CD=AB；
（2）连接OC，FC，设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x，由垂径定理可得，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，则∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，可得∠FBC=∠FCE；由勾股定理得，则，
解得，则；
（3）EF：BG=1：3，即则 解得，则，，，如图所示，以B为圆心，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别过点A作AM⊥BC与M，过点G作GN⊥BC与N，连接FC，分别求出G点坐标为，C点坐标为；A点坐标为
然后求出直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，即可得到H的坐标为（，），则．
【详解】
解：（1）如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E，
∵四边形ABCD是圆O的圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，
∴DE=CD=AB；
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（2）如图所示，连接OC，FC，
设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x2-1-c-n-j-y
∵CD⊥EB，BF是圆O的直径，
∴，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，
∴∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，
∴∠FBC=∠FCE；
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
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（3）∵EF：BG=1：3，即
∴ ，即
∴，
解得，
∴，
∴，，
如图所示，以B为圆心，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别过点A作AM⊥BC与M，过点G作GN⊥BC与N，连接FC，21cnjy.com
∴，
∴，，
∵，
∴,，
∴,，
∴，，
∴G点坐标为（，），C点坐标为（，0）；
∵，
∴，
∵∠ABC=∠ECB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴A点坐标为（，）
设直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，
∴，，
∴，，
∴直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，
联立，
解得，
∴H的坐标为（，），
∴．
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【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．
3、（1）y＝-x2+2x+3；（2）k=-2，面积最小为；（3）m=或
【分析】
（1）令x=0，解得y=b，求出OB＝OC＝b，OA=，得到A（-，0），C（0，b），B（b，0），把A（-，0），B（b，0）代入y＝ax2﹣2ax+b即可求解；
（2）设直线EH的解析式为y=nx+7，联立，得，根据直线EH与函数只有一个交点，求出H（2，3），再得到直线GH过定点M（2，-5），利用S△FGH=S△FMH+S△GMH==4，求出的最小值即可求解；
（3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使∠EPF=90°，设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），求出平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-m）2+2m+2，联立得到，求出x1+x2=2m+2，x1x2=，y1+y2=4m-6，表示出点R（m-1，2m-3），求出2，利用PR=，得到EF2=4PR2，列出关于m的方程即可求解．
【详解】
（1）∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，
令x=0，解得y=b
∴CO=b
∴OB＝OC＝b，OA=
∴A（-，0），C（0，b），B（b，0）
把A（-，0），B（b，0）代入y＝ax2﹣2ax+b
得，解得
∴抛物线解析式为y＝-x2+2x+3；
（2）∵点E的坐标为（0，7），
可设直线EH的解析式为y=nx+7
联立，得
∵直线EH与函数只有一个交点，且在对称轴右侧
∴△=
解得n1=-2，n2=6（舍去）
∴直线EH的解析式为y=-2x+7
解方程得x1=x2=2
∴H（2，3）
∵直线GH解析式y＝kx﹣2k﹣5=k（x-2）-5
∴直线GH过定点M（2，-5）
如图，连接HM
∵H（2，3）
∴HM⊥x轴，MH=8
设F（x2，y2）、G（x1，y1）
联立，得到
∴x1+x2=2-k，x1x2=-2k-8
∵S△FGH=S△FMH+S△GMH==4
故当最小时，S△FGH最小
∵2=
故当k=-2时，2的最小值为32
故的最小值为
∴此时S△FGH最小为4=；
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（3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使∠EPF=90°
如图，与x轴相切时，切点为点P，
∵y＝-x2+2x+3=-（x-1）2+4
设点E，F的坐标分别为F（x1，y1） ( http: / / www.21cnjy.com )、F（x2，y2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m时，则抛物线向右平移了m-1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m-1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-m）2+4+2（m-1）=-（x-m）2+2m+2
联立
得到
∴x1+x2=2m+2，x1x2=
∴y1+y2=2（x1+x2）-2=4m-6，则点R（m-1，2m-3），
2==（2m+2）2-4（）=16，PR=
则EF2=4PR2
∵EF2=2+2=52=5×16=4PR2
∵PR=2m-3
∴5×16=4×（2m-3）2
解得m=
∴当m=或m=符合题意．
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【点睛】
此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．【来源：21·世纪·教育·网】
4、（1）见详解；（2）2；（3）．
【分析】
（1）由圆周角定理，得到，得到四边形CEPF为矩形，再由角平分线的性质定理，得到PE=PF，即可得到结论成立；
（2）过点C作CG⊥AB，当最大时，有最大值，利用三角形的面积公式，即可求出答案；
（3）设，由相似三角形的判定和性质，得到，则取最大值时，有最小值，然后求出的最大值，即可得到答案．
【详解】
解：（1）证明：
∵AB为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形CEPF是矩形，
∵CP平分，
∴，
∴四边形CEPF为正方形；
（2）过点C作CG⊥AB，如图：
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由可知，
当最大时，有最大值，
即；
由三角形的面积公式，则
，
∵，
∴，
∴；
∴的最大值是2；
（3）设，
∵，，
∴PE∥AC，
∴△PED∽△ACD，
∴①；
同理：PF∥BC，△PAF∽△DAC，
∴②，
由①+②，得，
∴，
即，
∴；
当x取最大值时，有最小值；
∵AD平分，
∴点P为△ACB的内心，
∴PE，PF为内切圆半径；
作PH⊥AB，垂足为H，如图：
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则易得AF=AH，BE=BH，
∴，
∴，
设，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为；
∴；
∴的最大值为，
∴，
∴的最小值；
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的判定和性质，角平分线的性质定理，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
5、（1）；（2）①见解析；②
【分析】
（1）连接BD，运用勾股定理求出BD和AD即可；
（2）①连接OB，OC，OD，证明BD是的直径即可；②过点D作于点E，设圆的半径为R，由勾股定理求出AB，AD，BC，CD的长，再根据运用三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）连接BD，如图，
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在中，BC＝4，CD＝2，
∵
∴
在中，AB＝3，BD＝2 ，
∵
∴
（2）连接OB，OC，OD，如图，
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∵
∴
在和中
∴≌
∴
∴O是线段BD的中点，
∴BD为的直径
∴
∴四边形ABCD是双直角四边形；
（3）过点D作于点E，
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∵
∴
∴是等腰直角三角形
在中，，
∵
∴
设圆的半径为R，
∵和均为等腰直角三角形，
∴
在中，
在中，
∵，
∴
解得，
∴
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形面积计算等知识，灵活添加辅助线是解答本题的难点．
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