江苏省南通市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·南通期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由得或，则有，而，
所以.
故答案为：B
【分析】求出给定函数的定义域、值域化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.
2．（2022高二下·南通期末）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．50 B．35 C．24 D．10
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和，
则展开式中的项为，
所以含项的系数为10.
故答案为：D
【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答.
3．（2022高二下·南通期末）《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“甲的爵位等级比乙高为事件A”，“甲、乙两人爵位相邻为事件B”
事件A包含10个基本事件：（公，侯），（公，伯），（公，子）（公，男），（侯，伯），（侯，子），（侯，男），（伯，子），（伯，男），（子，男）
事件AB包含4个基本事件：（公，侯），（侯，伯），（伯，子），（子，男）
则
故答案为：C
【分析】应用条件概率公式计算即可.
4．（2022高二下·南通期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故答案为：A.
【分析】求导后，得导函数的零点，，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
5．（2022高二下·南通期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．333 B．335 C．337 D．341
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】2到30的全部整数和，2到30的全部素数和，
所以剔除的所有数的和为.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，求出2到30的全部整数和，再求出2到30的全部素数和即可计算作答.
6．（2022高二下·南通期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是双曲线上关于原点对称的两点，，四边形的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知，所以，，，
所以，，可得，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
所以，，
由双曲线的对称性可知，四边形为矩形，所以，，
所以，，故该双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】分析可知四边形为矩形，利用勾股定理结合双曲线的定义可得出，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.
7．（2022高二下·南通期末）等差数列的各项均为正数，前n项和为．设甲：，乙：数列是等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】正项等差数列中，，则公差，前n项和，
则有，即，数列是等差数列，
正项等差数列中，前n项和为，令等差数列的公差为，显然，
则，有，
当时，，数列的公差为，
于是得，解得，因此有，
所以甲是乙的充要条件，C符合题意.
故答案为：C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列的定义、前n项和公式推理判断作答.
8．（2022高二下·南通期末）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】令，其中，则，
因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，
当时，，此时，
故函数在上为增函数，
因为
，
故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，
所以，，
，则，即，
，则，则，即，
因此，.
故答案为：B.
【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在的单调性可得出.
9．（2022高二下·南通期末）下列说法正确的是（ ）
A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心
C．相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱
D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系
【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，A不符合题意；
对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，B符合题意；
对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，C不符合题意；
对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，D符合题意。
故答案为：BD.
【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C.
10．（2022高二下·南通期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A选项，设，则，所以在上单调递增，则由，A符合题意
对于B选项，因为，所以，即，B符合题意
对于C选项，当时，，C不符合题意
对于D选项，设，则，且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则即，故当时，，D符合题意
故答案为：ABD
【分析】对于A选项，利用幂函数的单调性即可判断；对于B选项，作差可以判断；对于C选项，可以举反例；对于D选项，构造函数，先证明不等式，再利用不等式的传递性即可判断.
11．（2022高二下·南通期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】依题意，由解得，则，
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，A符合题意；
过作圆的切线，切线长为，B不正确；
直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，
即，C符合题意；
因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，
而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据给定条件，求出点A，B的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.
12．（2022高二下·南通期末）已知数列的通项公式，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶数
C．若，则
D．若，则存在n使得能被8整除
【答案】B,C,D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】，，
，
，A不正确；
，因数列从第3项起的每一项都等于其相邻前2项的和，
又都是奇数，则必为偶数，又都是奇数，又为偶数，由此，是奇数，是偶数，照此规律依次进行，
因此，数列中，是奇数，是偶数，而，是偶数，B符合题意；
因，，即，
则，C符合题意；
，显然能被8整除，因此，存在n使得能被8整除，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】计算判断A；探求数列的性质，寻找规律判断B；利用数列的性质，结合累加法判断C；取特值计算判断D作答.
13．（2022高二下·南通期末）命题“”的否定是 ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“”是全称量词命题，其否定是“”.
故答案为：
【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.
14．（2022高二下·南通期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得 ．
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因，
因此是展开式中项的系数，而展开式中项的系数为，
所以.
故答案为：
【分析】利用二项式定理，结合所求式子的意义求解作答.
15．（2022高二下·南通期末）直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】易知，可得，所以，抛物线的方程为.
若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，即，，
由韦达定理可得，.
所以，
，
所以，，则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.
16．（2022高二下·南通期末）已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为 ；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为 ．
【答案】，5；（0，8）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【解答】当时，，求导得：，设直线与曲线相切的切点为，
则，且，即，
整理得，解得或，则或，
所以的所有可能的取值为，5；
由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则，
显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，
则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，
令，求导得：，当或时，，当时，，
即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，
所以a的取值范围为（0，8）.
故答案为：，5；（0，8）
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出过点的曲线切线斜率即可；再利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.
17．（2022高二下·南通期末）已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式
①函数是偶函数；②函数是奇函数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解：根据题意， 易得函数的定义域为.
选择①： 为偶函数， 因此，
故， 解得.经检验符合题设
，，
即即或
不等式的解集为；
选择②：函数为奇函数，有，
即， 解得.经检验符合题设，
，，
即即
不等式的解集为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；基本不等式
【解析】【分析】先利用赋值法求，化简的解析式之后应用对数函数的单调性解不等式.
18．（2022高二下·南通期末）记数列{an}的前n项积为Tn，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
【答案】（1）证明：因为为数列的前项积，
所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，所以，
故是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得：，所以，则
设①
②
则①-②得：
则
所以的前n项和
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由，进而可得是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求.
19．（2022高二下·南通期末）如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
（1）当是线段中点时，求到平面的距离；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
（2）解：设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
此时点为的中点，故.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量法可求得到平面的距离；
（2） 设点，其中 ，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.
20．（2022高二下·南通期末）某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．
（1）若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列和数学期望；
（2）若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大
【答案】（1）解：依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，于是得，解得，
的可能值为0，2，3，5，
，，，，
所以的分布列为：
0 2 3 5
数学期望.
（2）解：设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，
则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，都选择方案B投篮得分和的均值为，
有，，则，，
若，即，解得，若，即，解得，
若，即，解得，
所以，当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大，
当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等，
当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出及的可能值，再求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答；
（2）求出都选择方案A，都选择方案B投篮得分之和的均值，再比较大小即可作答.
21．（2022高二下·南通期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值 请说明理由．
【答案】（1）解：设，根据题意，，其中表示M到直线l的距离.
整理得，
曲线C的方程为：．
（2）解：的面积为定值，理由如下：
设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，由题可得，
故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切
得：①
，
，则直线MO的方程为：
，，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即
设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为.
故
综上：面积为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设轨迹方程上的动点，利用已知几何关系式，列式，得轨迹方程；
（2）先由已知关系，确定直线方程中参数关系，然后根据位置关系计算确定点M，N的坐标关系，从而得到，设 ，，， ， 将直线代入椭圆的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，即可得到所求面积为定值．
22．（2022高二下·南通期末）已知函数，，的导函数为．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若函数，讨论的零点个数．
【答案】（1）解：因为，则，
对，由可得，则，
构造函数，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，则，故，
所以，函数在上为减函数，，故.
（2）解：，该函数的定义域为，且，
.
①当时，若时，，此时函数单调递增，
若时，，此时函数单调递减，所以，，
即函数的零点个数为；
②当时，由，可得或.
若时，即当时，对任意的，且不恒为零，
则在上单调递增，由于，此时函数的零点个数为；
若时，即当时，列表如下：
1
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，，
设，其中，则，所以，在上为增函数，
所以，，即，所以，，
所以，，
此时函数有且只有2个零点，一个为，另一个在区间内；
若时，即当时，列表如下：
1
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，，
因为，
此时，函数有两个零点，一个为1，另一个在区间内.
综上所述，当或时，函数的零点个数为1；
当或时，函数的零点个数为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数的零点个数.
1 / 1江苏省南通市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·南通期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·南通期末）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．50 B．35 C．24 D．10
3．（2022高二下·南通期末）《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·南通期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·南通期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．333 B．335 C．337 D．341
6．（2022高二下·南通期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是双曲线上关于原点对称的两点，，四边形的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2022高二下·南通期末）等差数列的各项均为正数，前n项和为．设甲：，乙：数列是等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（2022高二下·南通期末）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·南通期末）下列说法正确的是（ ）
A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心
C．相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱
D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系
10．（2022高二下·南通期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·南通期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
12．（2022高二下·南通期末）已知数列的通项公式，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶数
C．若，则
D．若，则存在n使得能被8整除
13．（2022高二下·南通期末）命题“”的否定是 ．
14．（2022高二下·南通期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得 ．
15．（2022高二下·南通期末）直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为 ．
16．（2022高二下·南通期末）已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为 ；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为 ．
17．（2022高二下·南通期末）已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式
①函数是偶函数；②函数是奇函数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2022高二下·南通期末）记数列{an}的前n项积为Tn，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn．
19．（2022高二下·南通期末）如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
（1）当是线段中点时，求到平面的距离；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
20．（2022高二下·南通期末）某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．
（1）若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列和数学期望；
（2）若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大
21．（2022高二下·南通期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值 请说明理由．
22．（2022高二下·南通期末）已知函数，，的导函数为．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若函数，讨论的零点个数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由得或，则有，而，
所以.
故答案为：B
【分析】求出给定函数的定义域、值域化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.
2．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和，
则展开式中的项为，
所以含项的系数为10.
故答案为：D
【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答.
3．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“甲的爵位等级比乙高为事件A”，“甲、乙两人爵位相邻为事件B”
事件A包含10个基本事件：（公，侯），（公，伯），（公，子）（公，男），（侯，伯），（侯，子），（侯，男），（伯，子），（伯，男），（子，男）
事件AB包含4个基本事件：（公，侯），（侯，伯），（伯，子），（子，男）
则
故答案为：C
【分析】应用条件概率公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故答案为：A.
【分析】求导后，得导函数的零点，，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
5．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】2到30的全部整数和，2到30的全部素数和，
所以剔除的所有数的和为.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，求出2到30的全部整数和，再求出2到30的全部素数和即可计算作答.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知，所以，，，
所以，，可得，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
所以，，
由双曲线的对称性可知，四边形为矩形，所以，，
所以，，故该双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】分析可知四边形为矩形，利用勾股定理结合双曲线的定义可得出，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.
7．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】正项等差数列中，，则公差，前n项和，
则有，即，数列是等差数列，
正项等差数列中，前n项和为，令等差数列的公差为，显然，
则，有，
当时，，数列的公差为，
于是得，解得，因此有，
所以甲是乙的充要条件，C符合题意.
故答案为：C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列的定义、前n项和公式推理判断作答.
8．【答案】B
【知识点】绝对值不等式
【解析】【解答】令，其中，则，
因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，
当时，，此时，
故函数在上为增函数，
因为
，
故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，
所以，，
，则，即，
，则，则，即，
因此，.
故答案为：B.
【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在的单调性可得出.
9．【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，A不符合题意；
对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，B符合题意；
对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，C不符合题意；
对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，D符合题意。
故答案为：BD.
【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A选项，设，则，所以在上单调递增，则由，A符合题意
对于B选项，因为，所以，即，B符合题意
对于C选项，当时，，C不符合题意
对于D选项，设，则，且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则即，故当时，，D符合题意
故答案为：ABD
【分析】对于A选项，利用幂函数的单调性即可判断；对于B选项，作差可以判断；对于C选项，可以举反例；对于D选项，构造函数，先证明不等式，再利用不等式的传递性即可判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】依题意，由解得，则，
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，A符合题意；
过作圆的切线，切线长为，B不正确；
直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，
即，C符合题意；
因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，
而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据给定条件，求出点A，B的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.
12．【答案】B,C,D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】，，
，
，A不正确；
，因数列从第3项起的每一项都等于其相邻前2项的和，
又都是奇数，则必为偶数，又都是奇数，又为偶数，由此，是奇数，是偶数，照此规律依次进行，
因此，数列中，是奇数，是偶数，而，是偶数，B符合题意；
因，，即，
则，C符合题意；
，显然能被8整除，因此，存在n使得能被8整除，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】计算判断A；探求数列的性质，寻找规律判断B；利用数列的性质，结合累加法判断C；取特值计算判断D作答.
13．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“”是全称量词命题，其否定是“”.
故答案为：
【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.
14．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因，
因此是展开式中项的系数，而展开式中项的系数为，
所以.
故答案为：
【分析】利用二项式定理，结合所求式子的意义求解作答.
15．【答案】
【知识点】基本不等式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】易知，可得，所以，抛物线的方程为.
若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，即，，
由韦达定理可得，.
所以，
，
所以，，则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.
16．【答案】，5；（0，8）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【解答】当时，，求导得：，设直线与曲线相切的切点为，
则，且，即，
整理得，解得或，则或，
所以的所有可能的取值为，5；
由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则，
显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，
则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，
令，求导得：，当或时，，当时，，
即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，
所以a的取值范围为（0，8）.
故答案为：，5；（0，8）
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出过点的曲线切线斜率即可；再利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.
17．【答案】解：根据题意， 易得函数的定义域为.
选择①： 为偶函数， 因此，
故， 解得.经检验符合题设
，，
即即或
不等式的解集为；
选择②：函数为奇函数，有，
即， 解得.经检验符合题设，
，，
即即
不等式的解集为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；基本不等式
【解析】【分析】先利用赋值法求，化简的解析式之后应用对数函数的单调性解不等式.
18．【答案】（1）证明：因为为数列的前项积，
所以可得，
因为，所以，
即，所以，
又，所以，
故是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得：，所以，则
设①
②
则①-②得：
则
所以的前n项和
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由，进而可得是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求.
19．【答案】（1）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
（2）解：设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
此时点为的中点，故.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量法可求得到平面的距离；
（2） 设点，其中 ，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.
20．【答案】（1）解：依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，于是得，解得，
的可能值为0，2，3，5，
，，，，
所以的分布列为：
0 2 3 5
数学期望.
（2）解：设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，
则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，都选择方案B投篮得分和的均值为，
有，，则，，
若，即，解得，若，即，解得，
若，即，解得，
所以，当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大，
当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等，
当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出及的可能值，再求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答；
（2）求出都选择方案A，都选择方案B投篮得分之和的均值，再比较大小即可作答.
21．【答案】（1）解：设，根据题意，，其中表示M到直线l的距离.
整理得，
曲线C的方程为：．
（2）解：的面积为定值，理由如下：
设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，由题可得，
故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切
得：①
，
，则直线MO的方程为：
，，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即
设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为.
故
综上：面积为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设轨迹方程上的动点，利用已知几何关系式，列式，得轨迹方程；
（2）先由已知关系，确定直线方程中参数关系，然后根据位置关系计算确定点M，N的坐标关系，从而得到，设 ，，， ， 将直线代入椭圆的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，即可得到所求面积为定值．
22．【答案】（1）解：因为，则，
对，由可得，则，
构造函数，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，则，故，
所以，函数在上为减函数，，故.
（2）解：，该函数的定义域为，且，
.
①当时，若时，，此时函数单调递增，
若时，，此时函数单调递减，所以，，
即函数的零点个数为；
②当时，由，可得或.
若时，即当时，对任意的，且不恒为零，
则在上单调递增，由于，此时函数的零点个数为；
若时，即当时，列表如下：
1
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，，
设，其中，则，所以，在上为增函数，
所以，，即，所以，，
所以，，
此时函数有且只有2个零点，一个为，另一个在区间内；
若时，即当时，列表如下：
1
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，，
因为，
此时，函数有两个零点，一个为1，另一个在区间内.
综上所述，当或时，函数的零点个数为1；
当或时，函数的零点个数为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数的零点个数.
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