江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

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江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·海安期末）若，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】由，则，故．
故答案为：D
【分析】根据排列组合与阶乘公式计算即可.
2．（2022高二下·海安期末）根据样本点，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（　　）
A．6.6 B．5.1 C．4.8 D．3.8
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由已知得 ，而 ，所以 ，
解得 ．
故答案为：C
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得值．
3．（2022高二下·海安期末）一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数的期望为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意，取到红球的个数的取值为 ，
，， ，
1 2
．
故答案为：A
【分析】根据已知条件，结合超几何分布的期望公式，即可求解．
4．（2022高二下·海安期末）第十三届冬残奥会于2022年月4日至3月13日在中国成功举行已知从某高校4名男志愿者，2名女志愿者中选出3人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有1名女志愿者入选，则不同的选择方案共有（　　）
A．36种 B．42种 C．48种 D．72种
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由题意可得需要选2名男生，1名女生，所以不同安排方案有种
故答案为：D
【分析】先选出一名女志愿者，共有2种，再选出2名男志愿者，共有种，最后进行全排列即可．
5．（2022高二下·海安期末）投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表：
甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列
收益 -1 0 2 收益 0 1 2
概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3
则下列说法正确的是（　　）
A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大
C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：甲收益的期望，
方差，
乙收益的期望，
方差，
所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，分别求出甲、乙种股票期望与方差，通过比较，即可求解．
6．（2022高二下·海安期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】 ，
其中 为中点，有 ，故可知 ，
则知 为 的中点，故点 满足 ， ．
故答案为：A
【分析】利用向量的线性运算可得，再结合已知，根据向量的基本定理可求得的值．
7．（2022高二下·海安期末）六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途已知六氟化硫分子构型呈正八面体每个面都是正三角形，如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可得，假设四边形 取 ，则与 异面的直线为 ， ， ， ，
同理可得 ， ， 的异面直线，
所以第一条棱取自于四边形的一条边，第二次取的棱与第一次取的棱是异面直线的的方法数有种，
设事件为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自于四边形的一条边”，事件为“取的第二条棱与第一条棱成异面直线”，
则任取正八面体的两条棱有种方法，其中第一次取的棱是四边形的一条边有种方法，
所以，，
所以
故答案为：D
【分析】利用异面直线的定义求出满足条件的所有情况，再利用条件概率公式求解即可．
8．（2022高二下·海安期末）若，则（　　）
A．-54 B．-43 C．-27 D．54
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令 可得： ，
令 可得： ，
两式相加可得： ，
所以 ，
令 可得 ，
所以 ．
故答案为：B
【分析】分别令，和，即可得到关于展开式中奇数项系数和偶数项系数和的方程组，解出奇数项系数和即可．
二、多选题
9．（2022高二下·海安期末）对于样本相关系数，下列说法不正确的是（　　）
A．越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B．，成对样本数据没有任何相关关系
C．刻画了样本点集中于某条直线的程度
D．成对样本数据相关的正负性与的符号（正负）相同
【答案】A,B
【知识点】相关系数
【解析】【解答】解：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的，相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以A不符合题意，
相关系数为0说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，所以B不正确，
C、D的阐述均正确．
故答案为：AB.
【分析】根据已知条件，结合相关系数的概念，即可依次求解．
10．（2022高二下·海安期末）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，两两共面，则，，共面
C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】A,D
【知识点】空间向量的概念；空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：，，是空间的三个单位向量，
由，，则，A符合题意；
，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，B不符合题意；
由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，C不符合题意；
若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，D符合题意．
故答案为：AD.
【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断A、B、C、D的结论．
11．（2022高二下·海安期末）箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品，从中不放回地依次抽取2件，用表示“第一次取到正品”，用表示“第二次取到正品”，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】对A， ， ， ，
，A选项对；
对B， ，B选项错；
对C， ，C选项正确；
对D， ，D选项正确．
故答案为：ACD
【分析】根据题意分别求得，再根据概率的公式逐个判断即可．
12．（2022高二下·海安期末）在平行六面体中，，，点在线段上，则（　　）
A．
B．到和的距离相等
C．与所成角的余弦值最小为
D．与平面所成角的正弦值最大为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：
对于A，若，易得四边形为菱形，则，又，面，
可知面，则面，显然矛盾，A不符合题意；
对于B，其中 点在线段 上， 平分 ，且 为线段的垂直平分线 ，又，
可知 上所有点到 与 的距离相等，故 B 正确 ；
对于C，设平行六面体 的边长为 ，易得 ，其中 ，
可得 ，又，
则与所成角即为，当 点运动到 点处时，此时 最小，即 与 所成角的余弦值最小，
，故 C 正确；
易得当 点运动到 点处时，此时 与平面 所成角最大，即正弦值最大，
又
，则，又，，面，则面，
作，垂足为，则，又面且相交，则面，则即为与平面所成角，
则有 ，故正弦值最大为 ， D 正确．
故答案为：BCD.
【分析】由结合推出面，得出矛盾，即可判断A选项；由 为线段的垂直平分线，且，即可判断B选项；由异面直线夹角的求法即可判断C选项；由线面角的求法即可判断D选项．
三、填空题
13．（2022高二下·海安期末）试写出一个点的坐标：　 　，使之与点，三点共线．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】向量的共线定理
【解析】【解答】根据题意可得，设 ，则设，
即
故 ，不妨令，则，故．
故答案为：
【分析】由题意，设出点C的坐标，利用两个向量共线的性质，两个向量的加减法，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．
14．（2022高二下·海安期末）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相同，则展开式中项的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由已知可得，所以，
则二项式 的展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中的系数为
故答案为：.
【分析】先根据二项式系数的性质求出，然后再利用通项求出结论．
15．（2022高二下·海安期末）请在下面两题中选择一题作答：
题设点是抛物线与双曲线在第一象限的唯一公共点，点，分别是的准线与的两条渐近线的交点，则的面积为　 　．
题已知球的体积和表面积均是球半径的函数，分别记为，若球的半径满足，点到球心的距离为，过点作平面，则平面截球所得截面圆的面积的最小值为　 　．
【答案】；35π
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】（1）因为抛物线 与双曲线 在第一象限只有唯一公共点， 将 代入 内，有 ， ，解得 ． 可得点 ，双曲线的渐近线方程为 ，可知 ， ， 则 的面积 ，
（2） ， ，
其中 ，可得 ，故截面圆半径的最小值为 ，
则截面圆面积的最小值为 35π ．
故答案为：；35π
【分析】（1）联立抛物线与双曲线的方程有，根据题意可得，从而解得，再计算A，B，C的坐标求解面积即可；
（2）根据可得，进而根据垂直关系求出平面α截球O所得截面圆的面积的最小值即可.
16．（2022高二下·海安期末）某商场共有三层，最初规划第一层为35家生活用品店，第二层为35家服装店，第三层为30家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量单位：家统计如下表：
生活用品店 服装店 餐饮店
第一层 25 7 3
第二层 4 27 4
第三层 6 1 23
若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为　 　若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为　 　．
【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】若从第一层店铺中随机抽一家， 则该店铺与最初规划一致的概率为 ，
若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 ．
故答案为：；
【分析】根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得出答案．
四、解答题
17．（2022高二下·海安期末）已知是等差数列的前项和，且，，求：
（1）数列的通项公式
（2）数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，所以．
所以，即
（2）解：由（1）知，，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为 ，再根据前项和的公式求解即可；
（2）根据（1）可得，再裂项相消求和即可.
18．（2022高二下·海安期末）在中，已知，，，点在边上，且，求：
（1）
（2）
【答案】（1）解：在中，由余弦定理，
解得：，所以
（2）解：在中，由正弦定理，
得，
在中，由，
所以，故．
所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由余弦定理求出AD的长；
（2）由正弦定理得到，进而求出，进而利用正弦差角公式进行计算．
19．（2022高二下·海安期末）某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了100位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的在回答“不满意”的人中，女生人数占．
附
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
（1）请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关
满意 不满意 合计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
合计 　 　 　
（2）为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著已知这100名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著
附：若∽，则，，．
【答案】（1）解：由题意，回答“满意”的人数有人，且男生人数是女生人数的，故回答“满意”的男生有人，回答“满意”的女生有人，回答“不满意”的人中，女生人数，故补充列联表如图：
满意 不满意 合计
男生 15 40 55
女生 35 10 45
合计 50 50 100
则，
故认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001
（2）解：因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，
所以
．故该校增加锻炼时长后达标效果显著．
【知识点】独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
20．（2022高二下·海安期末）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，，与交于点．
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为和均为正三角形，所以．
又，所以为的中垂线．
所以为的中点．
又，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解：因为，为的中点，所以．
又因为，所以，，为全等三角形．
所以，所以．
结合（1）知，不妨以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以
设平面的一个法向量为，
则，故，令，则，，
所以．
设二面角的大小为，
则．
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2） 以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求解平面的一个法向量，利用空间向量求解二面角即可．
21．（2022高二下·海安期末）已知椭圆的左焦点，右顶点．
（1）求的方程
（2）设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，C的方程为：；
（2）证明：设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可知， ， ，则，即可求得椭圆方程；
（2）设，求得， 所以直线的方程为：， 令，所以点， 根据向量的坐标运算可得，即可证明．
22．（2022高二下·海安期末）已知函数．
（1）证明：
（2）若，求．
【答案】（1）证明：的定义域为，且
令，得．
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，所以
（2）解：令，则．
当时，有，与题设矛盾，故舍去．
当时，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以
由知，当且仅当时，取等号，
所以，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导得，分析的单调性，即可得出答案；
（2）由，则，令，只需，即可得出答案．
23．（2022高二下·海安期末）某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为．
（1）若，从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为，求的概率分布及数学期望
（2）对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡方案如下：按每只鸡一组分组，并把同组的只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组只鸡逐只化验设每只鸡的化验次数为随机变量，当且仅当时，的数学期望，求的取值范围
【答案】（1）解：依题意，的所有可能取值为0，1，2．
且，，，
所以的概率分布表为
0 1 2
0.01 0.18 0.81
所以；
（2）解：设．
若同一组的只鸡无感染，则否则，．
所以，．
所以．
又当且仅当，时，，即，
所以当且仅当且时，，
设，则，令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
由知，，，，，
所以，，，，
所以，
所以，
解得，所以的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的极值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1）由题意可得，所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；
（2）设，根据已知条件，结合期望公式可得，再通过构造函数，并运用导数研究函数的单调性，即可求解．
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江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·海安期末）若，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2022高二下·海安期末）根据样本点，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（　　）
A．6.6 B．5.1 C．4.8 D．3.8
3．（2022高二下·海安期末）一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数的期望为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·海安期末）第十三届冬残奥会于2022年月4日至3月13日在中国成功举行已知从某高校4名男志愿者，2名女志愿者中选出3人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有1名女志愿者入选，则不同的选择方案共有（　　）
A．36种 B．42种 C．48种 D．72种
5．（2022高二下·海安期末）投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表：
甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列
收益 -1 0 2 收益 0 1 2
概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3
则下列说法正确的是（　　）
A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大
C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高
6．（2022高二下·海安期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·海安期末）六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途已知六氟化硫分子构型呈正八面体每个面都是正三角形，如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·海安期末）若，则（　　）
A．-54 B．-43 C．-27 D．54
二、多选题
9．（2022高二下·海安期末）对于样本相关系数，下列说法不正确的是（　　）
A．越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B．，成对样本数据没有任何相关关系
C．刻画了样本点集中于某条直线的程度
D．成对样本数据相关的正负性与的符号（正负）相同
10．（2022高二下·海安期末）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，两两共面，则，，共面
C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
11．（2022高二下·海安期末）箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品，从中不放回地依次抽取2件，用表示“第一次取到正品”，用表示“第二次取到正品”，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022高二下·海安期末）在平行六面体中，，，点在线段上，则（　　）
A．
B．到和的距离相等
C．与所成角的余弦值最小为
D．与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题
13．（2022高二下·海安期末）试写出一个点的坐标：　 　，使之与点，三点共线．
14．（2022高二下·海安期末）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相同，则展开式中项的系数为　 　．
15．（2022高二下·海安期末）请在下面两题中选择一题作答：
题设点是抛物线与双曲线在第一象限的唯一公共点，点，分别是的准线与的两条渐近线的交点，则的面积为　 　．
题已知球的体积和表面积均是球半径的函数，分别记为，若球的半径满足，点到球心的距离为，过点作平面，则平面截球所得截面圆的面积的最小值为　 　．
16．（2022高二下·海安期末）某商场共有三层，最初规划第一层为35家生活用品店，第二层为35家服装店，第三层为30家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量单位：家统计如下表：
生活用品店 服装店 餐饮店
第一层 25 7 3
第二层 4 27 4
第三层 6 1 23
若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为　 　若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为　 　．
四、解答题
17．（2022高二下·海安期末）已知是等差数列的前项和，且，，求：
（1）数列的通项公式
（2）数列的前项和．
18．（2022高二下·海安期末）在中，已知，，，点在边上，且，求：
（1）
（2）
19．（2022高二下·海安期末）某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了100位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的在回答“不满意”的人中，女生人数占．
附
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
（1）请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关
满意 不满意 合计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
合计 　 　 　
（2）为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著已知这100名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著
附：若∽，则，，．
20．（2022高二下·海安期末）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，且边长为，，，与交于点．
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值．
21．（2022高二下·海安期末）已知椭圆的左焦点，右顶点．
（1）求的方程
（2）设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
22．（2022高二下·海安期末）已知函数．
（1）证明：
（2）若，求．
23．（2022高二下·海安期末）某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为．
（1）若，从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为，求的概率分布及数学期望
（2）对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡方案如下：按每只鸡一组分组，并把同组的只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组只鸡逐只化验设每只鸡的化验次数为随机变量，当且仅当时，的数学期望，求的取值范围
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】由，则，故．
故答案为：D
【分析】根据排列组合与阶乘公式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由已知得 ，而 ，所以 ，
解得 ．
故答案为：C
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得值．
3．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意，取到红球的个数的取值为 ，
，， ，
1 2
．
故答案为：A
【分析】根据已知条件，结合超几何分布的期望公式，即可求解．
4．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由题意可得需要选2名男生，1名女生，所以不同安排方案有种
故答案为：D
【分析】先选出一名女志愿者，共有2种，再选出2名男志愿者，共有种，最后进行全排列即可．
5．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：甲收益的期望，
方差，
乙收益的期望，
方差，
所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，分别求出甲、乙种股票期望与方差，通过比较，即可求解．
6．【答案】A
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】 ，
其中 为中点，有 ，故可知 ，
则知 为 的中点，故点 满足 ， ．
故答案为：A
【分析】利用向量的线性运算可得，再结合已知，根据向量的基本定理可求得的值．
7．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可得，假设四边形 取 ，则与 异面的直线为 ， ， ， ，
同理可得 ， ， 的异面直线，
所以第一条棱取自于四边形的一条边，第二次取的棱与第一次取的棱是异面直线的的方法数有种，
设事件为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自于四边形的一条边”，事件为“取的第二条棱与第一条棱成异面直线”，
则任取正八面体的两条棱有种方法，其中第一次取的棱是四边形的一条边有种方法，
所以，，
所以
故答案为：D
【分析】利用异面直线的定义求出满足条件的所有情况，再利用条件概率公式求解即可．
8．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令 可得： ，
令 可得： ，
两式相加可得： ，
所以 ，
令 可得 ，
所以 ．
故答案为：B
【分析】分别令，和，即可得到关于展开式中奇数项系数和偶数项系数和的方程组，解出奇数项系数和即可．
9．【答案】A,B
【知识点】相关系数
【解析】【解答】解：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的，相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以A不符合题意，
相关系数为0说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，所以B不正确，
C、D的阐述均正确．
故答案为：AB.
【分析】根据已知条件，结合相关系数的概念，即可依次求解．
10．【答案】A,D
【知识点】空间向量的概念；空间向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：，，是空间的三个单位向量，
由，，则，A符合题意；
，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，B不符合题意；
由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，C不符合题意；
若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，D符合题意．
故答案为：AD.
【分析】直接利用共线向量和共面向量，向量的基底等基础知识和相关的定义判断A、B、C、D的结论．
11．【答案】A,C,D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】对A， ， ， ，
，A选项对；
对B， ，B选项错；
对C， ，C选项正确；
对D， ，D选项正确．
故答案为：ACD
【分析】根据题意分别求得，再根据概率的公式逐个判断即可．
12．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图：
对于A，若，易得四边形为菱形，则，又，面，
可知面，则面，显然矛盾，A不符合题意；
对于B，其中 点在线段 上， 平分 ，且 为线段的垂直平分线 ，又，
可知 上所有点到 与 的距离相等，故 B 正确 ；
对于C，设平行六面体 的边长为 ，易得 ，其中 ，
可得 ，又，
则与所成角即为，当 点运动到 点处时，此时 最小，即 与 所成角的余弦值最小，
，故 C 正确；
易得当 点运动到 点处时，此时 与平面 所成角最大，即正弦值最大，
又
，则，又，，面，则面，
作，垂足为，则，又面且相交，则面，则即为与平面所成角，
则有 ，故正弦值最大为 ， D 正确．
故答案为：BCD.
【分析】由结合推出面，得出矛盾，即可判断A选项；由 为线段的垂直平分线，且，即可判断B选项；由异面直线夹角的求法即可判断C选项；由线面角的求法即可判断D选项．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】向量的共线定理
【解析】【解答】根据题意可得，设 ，则设，
即
故 ，不妨令，则，故．
故答案为：
【分析】由题意，设出点C的坐标，利用两个向量共线的性质，两个向量的加减法，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．
14．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由已知可得，所以，
则二项式 的展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中的系数为
故答案为：.
【分析】先根据二项式系数的性质求出，然后再利用通项求出结论．
15．【答案】；35π
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】（1）因为抛物线 与双曲线 在第一象限只有唯一公共点， 将 代入 内，有 ， ，解得 ． 可得点 ，双曲线的渐近线方程为 ，可知 ， ， 则 的面积 ，
（2） ， ，
其中 ，可得 ，故截面圆半径的最小值为 ，
则截面圆面积的最小值为 35π ．
故答案为：；35π
【分析】（1）联立抛物线与双曲线的方程有，根据题意可得，从而解得，再计算A，B，C的坐标求解面积即可；
（2）根据可得，进而根据垂直关系求出平面α截球O所得截面圆的面积的最小值即可.
16．【答案】；
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】若从第一层店铺中随机抽一家， 则该店铺与最初规划一致的概率为 ，
若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 ．
故答案为：；
【分析】根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得出答案．
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，所以．
所以，即
（2）解：由（1）知，，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为 ，再根据前项和的公式求解即可；
（2）根据（1）可得，再裂项相消求和即可.
18．【答案】（1）解：在中，由余弦定理，
解得：，所以
（2）解：在中，由正弦定理，
得，
在中，由，
所以，故．
所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由余弦定理求出AD的长；
（2）由正弦定理得到，进而求出，进而利用正弦差角公式进行计算．
19．【答案】（1）解：由题意，回答“满意”的人数有人，且男生人数是女生人数的，故回答“满意”的男生有人，回答“满意”的女生有人，回答“不满意”的人中，女生人数，故补充列联表如图：
满意 不满意 合计
男生 15 40 55
女生 35 10 45
合计 50 50 100
则，
故认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001
（2）解：因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，
所以
．故该校增加锻炼时长后达标效果显著．
【知识点】独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
20．【答案】（1）证明：因为和均为正三角形，所以．
又，所以为的中垂线．
所以为的中点．
又，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解：因为，为的中点，所以．
又因为，所以，，为全等三角形．
所以，所以．
结合（1）知，不妨以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以
设平面的一个法向量为，
则，故，令，则，，
所以．
设二面角的大小为，
则．
又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2） 以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求解平面的一个法向量，利用空间向量求解二面角即可．
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，C的方程为：；
（2）证明：设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可知， ， ，则，即可求得椭圆方程；
（2）设，求得， 所以直线的方程为：， 令，所以点， 根据向量的坐标运算可得，即可证明．
22．【答案】（1）证明：的定义域为，且
令，得．
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，所以
（2）解：令，则．
当时，有，与题设矛盾，故舍去．
当时，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以
由知，当且仅当时，取等号，
所以，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导得，分析的单调性，即可得出答案；
（2）由，则，令，只需，即可得出答案．
23．【答案】（1）解：依题意，的所有可能取值为0，1，2．
且，，，
所以的概率分布表为
0 1 2
0.01 0.18 0.81
所以；
（2）解：设．
若同一组的只鸡无感染，则否则，．
所以，．
所以．
又当且仅当，时，，即，
所以当且仅当且时，，
设，则，令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
由知，，，，，
所以，，，，
所以，
所以，
解得，所以的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的极值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1）由题意可得，所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；
（2）设，根据已知条件，结合期望公式可得，再通过构造函数，并运用导数研究函数的单调性，即可求解．
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