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江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷
一、单选题
1．（2022·怀化模拟）二项式的展开式中的常数项是（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式的展开式通项为，
令，解得.
因此，二项式的展开式中的常数项是第9项.
故答案为：C.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，可得答案.
2．（2022高二下·泰兴期末）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】由已知，
所以，，
故答案为：D.
【分析】 利用空间向量的线性运算可得，再利用可求得结果.
3．（2022高二下·泰兴期末）设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，
设
则
故答案为：C
【分析】设，则，，求解即可.
4．（2022高二下·泰兴期末）《周髀算经》中给出了：冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，
可知数列为等差数列，设其公差为，
由题意得，，，
.
令，解得；令，解得.
从该地日影长小于尺的节气中随机抽取2个节气，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21个，
其中，事件“所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共15个，
因此，所求事件的概率为.
故答案为：D.
【分析】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，可知数列为等差数列，根据题意求得该数列的公差，确定数列中小于9尺和小于5尺的项，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
5．（2022高二下·泰兴期末）“莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】由题意，
则三个侧面的面积之和为
如图阴影部分的面积为
所以底面积为
所以上下两个底面面积之和为
故表面积为
故答案为：B
【分析】先求出底面的每一段圆弧的长，从而可求出侧面积，再求出底面面积，从而得出答案.
6．（2022高二下·泰兴期末）（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，故
同理可得：
即
故答案为：A
【分析】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.
7．（2022高二下·泰兴期末）已知球O的半径为2，A，B，C为球面上的三个点，，点P在AB上运动，若OP与平面ABC所成角的最大值为，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】记ABC外接圆圆心为，则平面ABC，
故为OP与平面ABC所成的角，
如图，当P移动到AB中点K时，OP的长度最小，
对应正切值最大，OP与平面ABC所成的角最大，
则为OP与平面ABC所成的最大角，
根据题意：，
设，则，，
在Rt与Rt中，有，
即，求得：，
故O到平面ABC的距离为
故答案为：A.
【分析】作出辅助线，找到为OP与平面所成的角，且P移动到AB中点K时，OP的长度最小，为OP与平面所成的最大角，设出边长，列出方程，求出O到平面ABC的距离.
8．（2022·韶关模拟）已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】设是函数图象的切点，
则，∴（1）
又（2），
将（1）代入（2）消去整理得：，∴，
设是函数的切点，
据题意，又
故，
令，，
∴，
故，在定义域上为增函数，
又，故，
故，
∴，在上是增函数
当时，；当时，；
由零点存在性定理可得，g(x)存在唯一一个
函数零点个数是1，
故答案为：B．
【分析】设是函数图象的切点，则由导数的几何意义可求得，设是函数的切点，同样利用导数的几何意义可求出，然后根据零点存在性定理可求出答案。
二、多选题
9．（2022高二下·泰兴期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是7
B．若事件，满足，且，则与独立
C．若随机变量，则
D．已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】对于A，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数为，所以A不符合题意，
对于B，若事件，满足，且，则与相互独立，所以与独立，所以B符合题意，
对于C，因为随机变量，所以，所以C不符合题意，
对于D，因为6个正整数极差最大，所以最小的数为1，因为唯一的众数为3，所以3只能出现2次，若超过2次，则中位数为3，与中位数是4相矛盾，所以前4个数为1，3，3，5，设另两个数为，因为平均数为5，所以，而要使极差最大，当且仅当最大，此时，所以这6个数为1，3，3，5，6，12，所以这6个数的方差为，所以D符合题意，
故答案为：BD
【分析】对于A，由百分位数的定义求解判断，对于B，由独立事件的根绝率公式判断，对于C，由二项分布的方差公式求解判断，对于D，根据题意可求出这6个数，然后再求其方差即可.
10．（2022高二下·泰兴期末）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的公差为d（）.
因为且成等比数列，所以.
解得：，所以.
对于A：.A符合题意；
对于B：因为，所以.B符合题意；
对于C：.C不符合题意；
对于D：因为，所以当时，，即.D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】先求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.
11．（2022高二下·泰兴期末）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率单调增大
【答案】A,C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，A符合题意；
对于B， 当时，
，B不符合题意；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C符合题意，D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】根据，可判断A；
由，判断B；
根据正态分布的准则可判断C，D.
12．（2022高二下·泰兴期末）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以，A符合题意；
因为，所以C符合题意；
因为，，所以，D符合题意；
因为，所以B不符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据古典概型求概率公式得到，由全概率公式计算，由条件概率计算BD选项中的概率.
三、填空题
13．（2022·保定模拟）若函数在处的切线过点，则实数 ．
【答案】6
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意，函数，可得，
可得，且，所以，解得．
故答案为：6.
【分析】根据题意，求出函数的导函数，将x=1代入求得，，再根据两点斜率公式即可求得m.
14．（2022高二下·泰兴期末）若，则被4除得的余数为 .
【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题知，时，①，
时，②，由①+②得，
，
故
所以被4除得的余数是1.
故答案为：1.
【分析】分别取，两式相加可以求得，进而根据二项式定理展开，判断被4除得的余数.
15．（2022·靖远模拟）3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意基本事件总数为，
若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法，
若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，
再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法，
故每名女生旁边都有男生的概率
故答案为：
【分析】由排列数确定基本事件总数，再由（1）女生都不相邻；（2）有两个女生相邻；确定要求事件包含的基本事件个数，由古典概型概率计算公式即可求解。
16．（2022高二下·泰兴期末）如图所示的木质正四棱锥模型，过点作一个平面分别交，，于点E，F，G，若，，则的值为 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；共线向量与共面向量
【解析】【解答】在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面，
以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，，， (a、b>0)，则，，，，
∴，，
由题意四点共面，则有，其中，
设，
∴
由方程组，即，解得，
所以，
故答案为：C.
【分析】以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，则，，，，可得，，由四点共面有，设，，求值即可得答案.
四、解答题
17．（2022高二下·泰兴期末）
（1）已知，求的值（用数字作答）；
（2）已知试求，的值．
【答案】（1）解：由可得，
即，
可得，整理可得，解得或，
因为，所以，
所以
．
（2）解：由可得（舍去）或，所以，
所以，即，
化简得，即，解得，所以．
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）（2）根据组合数公式及组合数的性质计算可得.
18．（2022高二下·泰兴期末）已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，
①求
②求
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，即，可得.
从而的通项公式为.
由，，即
又，可得，解得，
从而的通项公式为.
（2）解：①．当为奇数时，，
所以
②.当为偶数时，，
（1）
由（1）得（2）
由（1），（2）得，
由于，
从而得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列递推式
【解析】【分析】(1) 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 分别由等差等比数列的通项公式求出公差和公比，即可得出答案.
(2) ①当为奇数时，可得，由裂项相消求和即可.
②当为偶数时，，由错位相减法求和即可.
19．（2022高二下·泰兴期末）如图，三棱锥A-BCD中，，O为CD中点，平面AOB⊥平面BCD.
（1）证明：
（2）若三棱锥A-BCD的体积为，二面角的余弦值为，E为BC中点.求BD与平面AED所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，O为CD中点，
所以BO⊥CD，
又因为平面AOB⊥平面BCD，交线为BO，
所以CD⊥平面AOB，
因为平面AOB，
所以CD⊥AO，
由三线合一知：.
（2）解：过点A作AH⊥BO，
因为平面AOB⊥平面BCD，交线为BO，
所以AH⊥平面BCD，
在Rt△BCO中，，，
所以BO=，
由，即
解得：
由（1）可知：CD⊥BO，且CD⊥AO，
故为二面角A-CD-B的平面角，
在Rt△AHO中，，，
AO=1，，
以H为坐标原点，分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则
所以，，，
设平面AED的法向量为，
则，不妨取
设BD与平面AED所成角为，
则.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一证明出结论；
（2）由体积求出，由二面角求出，，建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角.
20．（2022高二下·泰兴期末）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.
参考公式及数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 50.24 6.635 7.879 10.282
（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，
①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.
学业优秀 学业不优秀 总计
体育成绩不优秀 100 200 300
体育成绩优秀 50 50 100
总计 150 250 400
请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
【答案】（1）解：①
即从1-5中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个，
又因为单次完成11-15个引体向上的人共有人，
记“单次完成11-15个引体向上的甲被抽中”为事件A，则.
②的可能取值为0，1，2，
则，，，
的分布列为：
0 1 2
．
（2）解：=.
有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）①从1-5中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个， 单次完成 11-15 个引体向上的人共有120人，利用古典概型、排列组合可求；
②的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出的分布列和数学期望；
（2）求出，从而有的99.5% 把握认为体育锻炼与学业成绩有关．
21．（2022高二下·泰兴期末）2022年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2022年1月份到7月份，销量y（单位：百件）与月份x之间的关系.
月份x 1 2 3 4 5 6 7
销量y 6 11 21 34 66 101 196
参考数据：
62.14 1.54 2535 50.12 3.47
其中，.参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
（1）根据散点图判断与（c，d均为大于零的常数）哪一个适合作为销量y与月份x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测2022年8月份的销量；
（3）考虑销量 产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2022年1月份到12月份（x的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为元，求2022年几月份该产品的利润Q最大.
【答案】（1）解：根据散点图判断，适合作为销量y与月份x的回归方程类型。
（2）解：对两边同时取常用对数得：，
设，则，因为，，，
所以，
把样本中心点代入，得：，所以，
即，
所以y关于x的回归方程为，
把代入上式，得，
所以预测2022年8月份的销量为347百件（34700件）.
（3）解：由题意得（且），
构造函数，
所以当或9时，取最大值，
即2022年8月份或9月份利润最大.
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据散点图，结合所给出函数图象可得出答案；
（2）对 两边同时取常用对数得：，再由公式以及给出的数据求出方程，然后把代入回归方程；
（3）由题意利润，然后求出其最大值即可.
22．（2022高二下·泰兴期末）已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.
【答案】（1）解：(方法一)当时，，，
当时，，
所以，当时，函数在上单调递增.
(方法二)当时，，，
由，
结合函数与图象可知：当时，，，
所以两函数图象没有交点，且.
所以当时，.
所以，当时，函数在上单调递增.
（2）证明：不妨设，由得，
，
.
设，则，故在上为增函数，
，从而，
，
，
要证只要证，
下面证明：，即证，
令，则，即证明，只要证明：，
设，，则在单调递减，
当时，，从而得证，即，
，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，函数在上单调递增；
（2）令，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.
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江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷
一、单选题
1．（2022·怀化模拟）二项式的展开式中的常数项是（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
2．（2022高二下·泰兴期末）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二下·泰兴期末）设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·泰兴期末）《周髀算经》中给出了：冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·泰兴期末）“莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·泰兴期末）（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022高二下·泰兴期末）已知球O的半径为2，A，B，C为球面上的三个点，，点P在AB上运动，若OP与平面ABC所成角的最大值为，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·韶关模拟）已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
二、多选题
9．（2022高二下·泰兴期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是7
B．若事件，满足，且，则与独立
C．若随机变量，则
D．已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是
10．（2022高二下·泰兴期末）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·泰兴期末）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率单调增大
12．（2022高二下·泰兴期末）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·保定模拟）若函数在处的切线过点，则实数 ．
14．（2022高二下·泰兴期末）若，则被4除得的余数为 .
15．（2022·靖远模拟）3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为 ．
16．（2022高二下·泰兴期末）如图所示的木质正四棱锥模型，过点作一个平面分别交，，于点E，F，G，若，，则的值为 .
四、解答题
17．（2022高二下·泰兴期末）
（1）已知，求的值（用数字作答）；
（2）已知试求，的值．
18．（2022高二下·泰兴期末）已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，
①求
②求
19．（2022高二下·泰兴期末）如图，三棱锥A-BCD中，，O为CD中点，平面AOB⊥平面BCD.
（1）证明：
（2）若三棱锥A-BCD的体积为，二面角的余弦值为，E为BC中点.求BD与平面AED所成角的正弦值.
20．（2022高二下·泰兴期末）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.
参考公式及数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 50.24 6.635 7.879 10.282
（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，
①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.
学业优秀 学业不优秀 总计
体育成绩不优秀 100 200 300
体育成绩优秀 50 50 100
总计 150 250 400
请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
21．（2022高二下·泰兴期末）2022年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2022年1月份到7月份，销量y（单位：百件）与月份x之间的关系.
月份x 1 2 3 4 5 6 7
销量y 6 11 21 34 66 101 196
参考数据：
62.14 1.54 2535 50.12 3.47
其中，.参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
（1）根据散点图判断与（c，d均为大于零的常数）哪一个适合作为销量y与月份x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测2022年8月份的销量；
（3）考虑销量 产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2022年1月份到12月份（x的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为元，求2022年几月份该产品的利润Q最大.
22．（2022高二下·泰兴期末）已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式的展开式通项为，
令，解得.
因此，二项式的展开式中的常数项是第9项.
故答案为：C.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】由已知，
所以，，
故答案为：D.
【分析】 利用空间向量的线性运算可得，再利用可求得结果.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，
设
则
故答案为：C
【分析】设，则，，求解即可.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，
可知数列为等差数列，设其公差为，
由题意得，，，
.
令，解得；令，解得.
从该地日影长小于尺的节气中随机抽取2个节气，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21个，
其中，事件“所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共15个，
因此，所求事件的概率为.
故答案为：D.
【分析】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，可知数列为等差数列，根据题意求得该数列的公差，确定数列中小于9尺和小于5尺的项，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
5．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】由题意，
则三个侧面的面积之和为
如图阴影部分的面积为
所以底面积为
所以上下两个底面面积之和为
故表面积为
故答案为：B
【分析】先求出底面的每一段圆弧的长，从而可求出侧面积，再求出底面面积，从而得出答案.
6．【答案】A
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，故
同理可得：
即
故答案为：A
【分析】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.
7．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】记ABC外接圆圆心为，则平面ABC，
故为OP与平面ABC所成的角，
如图，当P移动到AB中点K时，OP的长度最小，
对应正切值最大，OP与平面ABC所成的角最大，
则为OP与平面ABC所成的最大角，
根据题意：，
设，则，，
在Rt与Rt中，有，
即，求得：，
故O到平面ABC的距离为
故答案为：A.
【分析】作出辅助线，找到为OP与平面所成的角，且P移动到AB中点K时，OP的长度最小，为OP与平面所成的最大角，设出边长，列出方程，求出O到平面ABC的距离.
8．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】设是函数图象的切点，
则，∴（1）
又（2），
将（1）代入（2）消去整理得：，∴，
设是函数的切点，
据题意，又
故，
令，，
∴，
故，在定义域上为增函数，
又，故，
故，
∴，在上是增函数
当时，；当时，；
由零点存在性定理可得，g(x)存在唯一一个
函数零点个数是1，
故答案为：B．
【分析】设是函数图象的切点，则由导数的几何意义可求得，设是函数的切点，同样利用导数的几何意义可求出，然后根据零点存在性定理可求出答案。
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】对于A，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数为，所以A不符合题意，
对于B，若事件，满足，且，则与相互独立，所以与独立，所以B符合题意，
对于C，因为随机变量，所以，所以C不符合题意，
对于D，因为6个正整数极差最大，所以最小的数为1，因为唯一的众数为3，所以3只能出现2次，若超过2次，则中位数为3，与中位数是4相矛盾，所以前4个数为1，3，3，5，设另两个数为，因为平均数为5，所以，而要使极差最大，当且仅当最大，此时，所以这6个数为1，3，3，5，6，12，所以这6个数的方差为，所以D符合题意，
故答案为：BD
【分析】对于A，由百分位数的定义求解判断，对于B，由独立事件的根绝率公式判断，对于C，由二项分布的方差公式求解判断，对于D，根据题意可求出这6个数，然后再求其方差即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的公差为d（）.
因为且成等比数列，所以.
解得：，所以.
对于A：.A符合题意；
对于B：因为，所以.B符合题意；
对于C：.C不符合题意；
对于D：因为，所以当时，，即.D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】先求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.
11．【答案】A,C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，A符合题意；
对于B， 当时，
，B不符合题意；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C符合题意，D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】根据，可判断A；
由，判断B；
根据正态分布的准则可判断C，D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以，A符合题意；
因为，所以C符合题意；
因为，，所以，D符合题意；
因为，所以B不符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据古典概型求概率公式得到，由全概率公式计算，由条件概率计算BD选项中的概率.
13．【答案】6
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意，函数，可得，
可得，且，所以，解得．
故答案为：6.
【分析】根据题意，求出函数的导函数，将x=1代入求得，，再根据两点斜率公式即可求得m.
14．【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题知，时，①，
时，②，由①+②得，
，
故
所以被4除得的余数是1.
故答案为：1.
【分析】分别取，两式相加可以求得，进而根据二项式定理展开，判断被4除得的余数.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意基本事件总数为，
若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法，
若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，
再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法，
故每名女生旁边都有男生的概率
故答案为：
【分析】由排列数确定基本事件总数，再由（1）女生都不相邻；（2）有两个女生相邻；确定要求事件包含的基本事件个数，由古典概型概率计算公式即可求解。
16．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；共线向量与共面向量
【解析】【解答】在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面，
以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，，， (a、b>0)，则，，，，
∴，，
由题意四点共面，则有，其中，
设，
∴
由方程组，即，解得，
所以，
故答案为：C.
【分析】以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，则，，，，可得，，由四点共面有，设，，求值即可得答案.
17．【答案】（1）解：由可得，
即，
可得，整理可得，解得或，
因为，所以，
所以
．
（2）解：由可得（舍去）或，所以，
所以，即，
化简得，即，解得，所以．
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）（2）根据组合数公式及组合数的性质计算可得.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，即，可得.
从而的通项公式为.
由，，即
又，可得，解得，
从而的通项公式为.
（2）解：①．当为奇数时，，
所以
②.当为偶数时，，
（1）
由（1）得（2）
由（1），（2）得，
由于，
从而得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列递推式
【解析】【分析】(1) 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 分别由等差等比数列的通项公式求出公差和公比，即可得出答案.
(2) ①当为奇数时，可得，由裂项相消求和即可.
②当为偶数时，，由错位相减法求和即可.
19．【答案】（1）证明：因为，O为CD中点，
所以BO⊥CD，
又因为平面AOB⊥平面BCD，交线为BO，
所以CD⊥平面AOB，
因为平面AOB，
所以CD⊥AO，
由三线合一知：.
（2）解：过点A作AH⊥BO，
因为平面AOB⊥平面BCD，交线为BO，
所以AH⊥平面BCD，
在Rt△BCO中，，，
所以BO=，
由，即
解得：
由（1）可知：CD⊥BO，且CD⊥AO，
故为二面角A-CD-B的平面角，
在Rt△AHO中，，，
AO=1，，
以H为坐标原点，分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则
所以，，，
设平面AED的法向量为，
则，不妨取
设BD与平面AED所成角为，
则.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一证明出结论；
（2）由体积求出，由二面角求出，，建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角.
20．【答案】（1）解：①
即从1-5中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个，
又因为单次完成11-15个引体向上的人共有人，
记“单次完成11-15个引体向上的甲被抽中”为事件A，则.
②的可能取值为0，1，2，
则，，，
的分布列为：
0 1 2
．
（2）解：=.
有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）①从1-5中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个， 单次完成 11-15 个引体向上的人共有120人，利用古典概型、排列组合可求；
②的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，从而求出的分布列和数学期望；
（2）求出，从而有的99.5% 把握认为体育锻炼与学业成绩有关．
21．【答案】（1）解：根据散点图判断，适合作为销量y与月份x的回归方程类型。
（2）解：对两边同时取常用对数得：，
设，则，因为，，，
所以，
把样本中心点代入，得：，所以，
即，
所以y关于x的回归方程为，
把代入上式，得，
所以预测2022年8月份的销量为347百件（34700件）.
（3）解：由题意得（且），
构造函数，
所以当或9时，取最大值，
即2022年8月份或9月份利润最大.
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据散点图，结合所给出函数图象可得出答案；
（2）对 两边同时取常用对数得：，再由公式以及给出的数据求出方程，然后把代入回归方程；
（3）由题意利润，然后求出其最大值即可.
22．【答案】（1）解：(方法一)当时，，，
当时，，
所以，当时，函数在上单调递增.
(方法二)当时，，，
由，
结合函数与图象可知：当时，，，
所以两函数图象没有交点，且.
所以当时，.
所以，当时，函数在上单调递增.
（2）证明：不妨设，由得，
，
.
设，则，故在上为增函数，
，从而，
，
，
要证只要证，
下面证明：，即证，
令，则，即证明，只要证明：，
设，，则在单调递减，
当时，，从而得证，即，
，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，函数在上单调递增；
（2）令，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.
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