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江苏省扬州市2021-2022学年高二下学期数学期末试卷
一、单选题
1．（2022高二下·扬州期末）若全集，集合，，则（ ）
A．{3} B．{1} C．{5} D．
2．（2022高二下·扬州期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高二下·扬州期末）甲、乙分别从《扬州民间艺术》、《扬州盐商文化》、《扬州评话》和《大运河的前世今生》4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法有（ ）种.
A．6 B．8 C．12 D．16
4．（2022高二下·扬州期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·扬州期末）某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 50 70
已知关于的线性回归方程，现有四个命题：
甲：根据模型预测当时，的估计值为35；乙：；
丙：这组数据的样本中心为；丁：.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2022高二下·扬州期末）已知函数，则（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
7．（2022高二下·扬州期末）已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高二下·扬州期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·扬州期末）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
10．（2022高二下·扬州期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（ ）
A．女生甲不在排头的排法总数为24
B．男女生相间的排法总数为12
C．女生甲、乙相邻的排法总数为48
D．女生甲、乙不相邻的排法总数为72
11．（2022高二下·扬州期末）已知正方体、的棱长为1，点是对角线、上异于、的动点，则（ ）
A．当是的中点时，异面直线与所成角的余弦值为
B．当是的中点时，、、、四点共面
C．当平面时，
D．当平面时，
12．（2022高二下·扬州期末）若过点最多可以作出条直线与函数的图像相切，则（ ）
A．可以等于2022 B．不可以等于3
C． D．时，
三、填空题
13．（2022高二下·扬州期末）如果随机变量，且，则 .
14．（2022高二下·扬州期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 .
15．（2022高二下·扬州期末）已知，，若对，，使得，则实数的最小值为 .
16．（2022高二下·扬州期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
四、解答题
17．（2022高二下·扬州期末）设：，：.
（1）若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
18．（2022高二下·扬州期末）已知的展开式中，____.
现在有以下三个条件：
条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为；
条件②：只有第6项的二项式系数最大；
条件③：其前三项的二项式系数的和等于56.
请在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
19．（2022高二下·扬州期末）甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求和；
（2）求的标准差.
20．（2022高二下·扬州期末）如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面相互垂直，、分别为、的中点.
（1）求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值.
21．（2022高二下·扬州期末）随着科技的发展，看电子书刊的人越来越多在某市随机选出200人进行采访，经统计这200人中看电子书刊的人数占总人数的（假设被采访者只给出“看电子书刊”或“看纸质书刊”两种结果）.将这200人按年龄（单位：岁）分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组.这200人中看纸质书刊的人的年龄的频数分布表如下：
年龄
频数 15 22 58 42 13
附参考公式：（其中）.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010. 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024. 6.635 7.879 10.828
（1）年龄在内的称为青壮年，年龄在内的称为中老年.若选出的200入中看电子书刊的中老年有10人.
①请完成下面的列联表，并判断能否有95%的把握认为看书刊的方式与年龄层有关.
看电子书刊 看纸质书刊 合计
青壮年
中老年
合计 200
②将频率视为概率，现从该市所有青壮年和中老年人群中随机采访三人，求这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率；
（2）该市倡议：书香战“疫”，以“读”攻毒，同时许多人呼吁“回归纸质书刊”该市现有报刊亭每天早上从报刊发行处购进某报纸后零售，且规定的零售价格是1.5元/份.若晚上报纸卖不完，则可再退回发行处，此时退回的价格是0.4元/份.有一报刊亭根据市场调研，每天的需求量及其概率情况如下：
每天的需求量（单位：份） 300 400 500 600
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
报刊发行处每100份报纸为一包，并规定报刊亭只能整包购进，每包价格为100元.请为该报刊亭筹划一下，应该如何确定每天购进报纸的包数（，且），使得日收益的数学期望最大.
22．（2022高二下·扬州期末）已知函数，.
（1）令上，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，试探究是否存在极大值 若存在，求极大值点的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，集合，，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】 先利用补集的定义求出，再利用交集的定义求解即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故答案为：D
【分析】利用赋值法，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲、乙2位同学分别从4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则有种.
故答案为：C.
【分析】根据排列数公式计算可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
所以，
故答案为：B
【分析】 先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解出线段的长 .
5．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；线性回归方程
【解析】【解答】，若，则，数据的样本中心为
则，得
根据模型预测当时，的估计值为37
即乙丙丁为真命题，甲为假命题
故答案为：A
【分析】 乙，丙命题同真假，由于只有一个假命题，即乙丙为真命题，再结合线性回归方程的性质，即可求解出答案.
6．【答案】A
【知识点】函数的值；导数的运算
【解析】【解答】，故，解得，故，故
故答案为：A
【分析】 先求出函数的导函数，进而求出f'(1)，进而求解出答案.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，
当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
故答案为：B.
【分析】先利用导数作出函数f (x)的大致图象，再将题意转化为斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，然后数形结合即可求得该直线斜率的取值范围 .
8．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故答案为：C
【分析】 根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析i=0， 1， 2三种情况求解，即可得答案.
9．【答案】B,D
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A选项，因为且
，所以既不是奇函数也不是偶函数，A不符合题意
对于B选项，因为，所以是奇函数，B符合题意
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，C不符合题意
对于D选项，因为，所以是偶函数，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据奇函数、偶函数的定义，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A. 女生甲在排头的排法有，所以女生甲不在排头的排法总数为，故错误；
B. 2名男同学全排列为种，产生3个空，再将3名女同学排上有种，所以男女生相间的排法总数为，故正确；
C.女生甲、乙相邻看作一个元素，则种，女生甲、乙再排列有种，所以女生甲、乙相邻的排法总数为种，故正确；
D.除女生甲、乙以外3人全排列有种，产生4个空，再将女生甲、乙排上有种，所以女生甲、乙不相邻的排法总数种，故正确
故答案为：BCD
【分析】 利用排除法求解判断A； 利用插空法求解判断B； 利用捆绑法求解判断C；利用插空法求解判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对AB，当是的中点时，连接，易得三点共线，连接，则异面直线与所成角即与所成角，因为，A符合题意；
此时显然平面，故、、、四点不共面，B不符合题意；
对CD，连接，由正方体的性质可得，则平面平面.又平面，故为与平面的交点.
又，故平面，故，同理可得，故平面，故.D符合题意；故，所以，故，C符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据正方体的结构特征，逐项进行分析判断，可得答案.
12．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，则，
因为，，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
令，则过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，
因为，
令，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以，函数的图像大致如图
由图可知当时，直线与曲线的图像没有公共点，即，
当或时，直线与曲线的图像有1个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有2个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有3个公共点，即，
对于A，当，此时，则符合题意，A符合题意；
对于B，当时，，B不符合题意；
对于C，当时，，则，C不符合题意；
对于D，当或时，，则当时，，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，利用导数的几何意义可得，构造函数，进而可得过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，利用导数研究函数的性质，画出函数的大致图象，利用数形结合可得n不同取值时t的取值，逐项进行判断，即可得答案.
13．【答案】0.3
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为随机变量，故
故答案为：0.3
【分析】根据正态分布曲线的对称性计算，可得答案.
14．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题可得，又是平面的一个法向量，
∴则点P到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可得点P到平面的距离.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】依题意可知
则，当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以
在上单调递增，则
所以，所以，即的最小值为
故答案为：
【分析】 求导得分析f'(x)的正负，进而可得f(x)单调性，进而可得，同理分析g (x)的单调性，进而可得，问题可转化为，求解可得的最小值.
16．【答案】
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，
则，因为，则，
解得或，
易知平面的一个法向量为，
所以，
则，
所以，
故答案为：.
【分析】 建立空间直角坐标系，设，由得到，根据得到或，然后利用向量法求解出 的取值范围 .
17．【答案】（1）解：因为：，：，即，
所以、均为真命题，
则取公共部分得实数构成的集合为；
（2）解：因为是的充分条件，且：，：，
所以，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)先解绝对值不等式得到 ： ，再由p、q均为真命题， 取公共部分得实数构成的集合；
(2)由p是q的充分条件，得到 ， 即可求解出实数的取值范围.
18．【答案】（1）解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为；
所以，即，
即，
解得（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大；
所以为偶数，且，
解得.
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56，
所以，
即，即，
所以（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和；
（2）解：由（1）二项式为，
其通项公式为：，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由题意，利用二项式系数的性质，先求得n的值，从而得出展开式中所有二项式系数的和；
(2)在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项.
19．【答案】（1）解：：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜.
；
：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜.
.
（2）解：根据题意可得可能的取值为.
：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜；
甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜；
.
，
，所以标准差为.
【知识点】极差、方差与标准差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)分析X = 2，X = 3两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式计算即可；
(2)分别求得X的可能取值及对应概率，再根据离散型随机变量的期望与方差公式求解即可求得 的标准差.
20．【答案】（1）证明：在四棱锥中，是正三角形，是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
则有平面，而平面，
所以.
（2）解：取的中点，连接，
在直角梯形中，，、分别为、的中点，则，又，即有，
由（1）知平面，又、平面，则，.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
由（1）知，平面，则是平面的一个法向量，
，
因二面角的余弦值为，则，又，解得，
的值是6.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)根据给定条件，证明SO⊥AD，再利用线面垂直、面面垂直的性质推出 ；
(2) 取的中点，连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用空间向量法可得 ，求解可得 的值 .
21．【答案】（1）解：①填写列联表如下：
看电子书刊 看纸质书刊 合计
青壮年 40 95 135
中老年 10 55 65
合计 50 150 200
假设：看书刊的方式与年龄层没有关系.
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有95%的把握认为看书刊方式与年龄层有关.
②随机采访的一人为中老年且看电子书刊的概率为，且每次采访相互独立，
所以这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率为.
（2）解：时，（元）；
时，（元）；
时，
（元）；
时，
（元）.
综上所述，当时，利润的数学期望最大.
【知识点】独立性检验的基本思想；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据数据列表计算，然后利用独立性检验得出结论；
(2)分别求出X = 3，X =4，X= 5，X = 6时，E(Y)的值比较，即可得结论.
22．【答案】（1）解：由题可知，.
若的单调递减区间是，无增区间
若
当当
所以的单递减区间是，单调增区间是
（2）解：因为对于任意的恒成立
所以，所以
因为，记
则，所以单调递减
又
所以存在，使得，即
当在上单调递增
当在上单调递减
所以当时，取极大值
令
则
对于任意的恒成立，所以
又因，所以，所以化简不等式，可得
又，所以
所以极大值点的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求出g (x)，求出g (x)的导数，通过讨论a的范围，判断 的单调区间；
(2)根据 恒成立，得到存在 ， 使得 ， 令 ，得到关于 的不等式组，求解可得极大值点的取值范围 .
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江苏省扬州市2021-2022学年高二下学期数学期末试卷
一、单选题
1．（2022高二下·扬州期末）若全集，集合，，则（ ）
A．{3} B．{1} C．{5} D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，集合，，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】 先利用补集的定义求出，再利用交集的定义求解即可得答案.
2．（2022高二下·扬州期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故答案为：D
【分析】利用赋值法，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．（2022高二下·扬州期末）甲、乙分别从《扬州民间艺术》、《扬州盐商文化》、《扬州评话》和《大运河的前世今生》4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法有（ ）种.
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲、乙2位同学分别从4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则有种.
故答案为：C.
【分析】根据排列数公式计算可得答案.
4．（2022高二下·扬州期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
所以，
故答案为：B
【分析】 先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解出线段的长 .
5．（2022高二下·扬州期末）某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 50 70
已知关于的线性回归方程，现有四个命题：
甲：根据模型预测当时，的估计值为35；乙：；
丙：这组数据的样本中心为；丁：.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；线性回归方程
【解析】【解答】，若，则，数据的样本中心为
则，得
根据模型预测当时，的估计值为37
即乙丙丁为真命题，甲为假命题
故答案为：A
【分析】 乙，丙命题同真假，由于只有一个假命题，即乙丙为真命题，再结合线性回归方程的性质，即可求解出答案.
6．（2022高二下·扬州期末）已知函数，则（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
【答案】A
【知识点】函数的值；导数的运算
【解析】【解答】，故，解得，故，故
故答案为：A
【分析】 先求出函数的导函数，进而求出f'(1)，进而求解出答案.
7．（2022高二下·扬州期末）已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，
当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
故答案为：B.
【分析】先利用导数作出函数f (x)的大致图象，再将题意转化为斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，然后数形结合即可求得该直线斜率的取值范围 .
8．（2022高二下·扬州期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故答案为：C
【分析】 根据题意，先分析求解设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析i=0， 1， 2三种情况求解，即可得答案.
二、多选题
9．（2022高二下·扬州期末）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】B,D
【知识点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A选项，因为且
，所以既不是奇函数也不是偶函数，A不符合题意
对于B选项，因为，所以是奇函数，B符合题意
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，C不符合题意
对于D选项，因为，所以是偶函数，D符合题意
故答案为：BD
【分析】根据奇函数、偶函数的定义，逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二下·扬州期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（ ）
A．女生甲不在排头的排法总数为24
B．男女生相间的排法总数为12
C．女生甲、乙相邻的排法总数为48
D．女生甲、乙不相邻的排法总数为72
【答案】B,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A. 女生甲在排头的排法有，所以女生甲不在排头的排法总数为，故错误；
B. 2名男同学全排列为种，产生3个空，再将3名女同学排上有种，所以男女生相间的排法总数为，故正确；
C.女生甲、乙相邻看作一个元素，则种，女生甲、乙再排列有种，所以女生甲、乙相邻的排法总数为种，故正确；
D.除女生甲、乙以外3人全排列有种，产生4个空，再将女生甲、乙排上有种，所以女生甲、乙不相邻的排法总数种，故正确
故答案为：BCD
【分析】 利用排除法求解判断A； 利用插空法求解判断B； 利用捆绑法求解判断C；利用插空法求解判断D.
11．（2022高二下·扬州期末）已知正方体、的棱长为1，点是对角线、上异于、的动点，则（ ）
A．当是的中点时，异面直线与所成角的余弦值为
B．当是的中点时，、、、四点共面
C．当平面时，
D．当平面时，
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对AB，当是的中点时，连接，易得三点共线，连接，则异面直线与所成角即与所成角，因为，A符合题意；
此时显然平面，故、、、四点不共面，B不符合题意；
对CD，连接，由正方体的性质可得，则平面平面.又平面，故为与平面的交点.
又，故平面，故，同理可得，故平面，故.D符合题意；故，所以，故，C符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据正方体的结构特征，逐项进行分析判断，可得答案.
12．（2022高二下·扬州期末）若过点最多可以作出条直线与函数的图像相切，则（ ）
A．可以等于2022 B．不可以等于3
C． D．时，
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，则，
因为，，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
令，则过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，
因为，
令，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以，函数的图像大致如图
由图可知当时，直线与曲线的图像没有公共点，即，
当或时，直线与曲线的图像有1个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有2个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有3个公共点，即，
对于A，当，此时，则符合题意，A符合题意；
对于B，当时，，B不符合题意；
对于C，当时，，则，C不符合题意；
对于D，当或时，，则当时，，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，利用导数的几何意义可得，构造函数，进而可得过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，利用导数研究函数的性质，画出函数的大致图象，利用数形结合可得n不同取值时t的取值，逐项进行判断，即可得答案.
三、填空题
13．（2022高二下·扬州期末）如果随机变量，且，则 .
【答案】0.3
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为随机变量，故
故答案为：0.3
【分析】根据正态分布曲线的对称性计算，可得答案.
14．（2022高二下·扬州期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由题可得，又是平面的一个法向量，
∴则点P到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可得点P到平面的距离.
15．（2022高二下·扬州期末）已知，，若对，，使得，则实数的最小值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】依题意可知
则，当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以
在上单调递增，则
所以，所以，即的最小值为
故答案为：
【分析】 求导得分析f'(x)的正负，进而可得f(x)单调性，进而可得，同理分析g (x)的单调性，进而可得，问题可转化为，求解可得的最小值.
16．（2022高二下·扬州期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，
则，因为，则，
解得或，
易知平面的一个法向量为，
所以，
则，
所以，
故答案为：.
【分析】 建立空间直角坐标系，设，由得到，根据得到或，然后利用向量法求解出 的取值范围 .
四、解答题
17．（2022高二下·扬州期末）设：，：.
（1）若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为：，：，即，
所以、均为真命题，
则取公共部分得实数构成的集合为；
（2）解：因为是的充分条件，且：，：，
所以，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)先解绝对值不等式得到 ： ，再由p、q均为真命题， 取公共部分得实数构成的集合；
(2)由p是q的充分条件，得到 ， 即可求解出实数的取值范围.
18．（2022高二下·扬州期末）已知的展开式中，____.
现在有以下三个条件：
条件①：第4项和第2项的二项式系数之比为；
条件②：只有第6项的二项式系数最大；
条件③：其前三项的二项式系数的和等于56.
请在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）解：选条件①：因为第4项和第2项的二项式系数之比为；
所以，即，
即，
解得（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件②：因为只有第6项的二项式系数最大；
所以为偶数，且，
解得.
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件③：因为其前三项的二项式系数的和等于56，
所以，
即，即，
所以（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和；
（2）解：由（1）二项式为，
其通项公式为：，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由题意，利用二项式系数的性质，先求得n的值，从而得出展开式中所有二项式系数的和；
(2)在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项.
19．（2022高二下·扬州期末）甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求和；
（2）求的标准差.
【答案】（1）解：：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜.
；
：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜.
.
（2）解：根据题意可得可能的取值为.
：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜；
甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜；
.
，
，所以标准差为.
【知识点】极差、方差与标准差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)分析X = 2，X = 3两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式计算即可；
(2)分别求得X的可能取值及对应概率，再根据离散型随机变量的期望与方差公式求解即可求得 的标准差.
20．（2022高二下·扬州期末）如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面相互垂直，、分别为、的中点.
（1）求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明：在四棱锥中，是正三角形，是的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
则有平面，而平面，
所以.
（2）解：取的中点，连接，
在直角梯形中，，、分别为、的中点，则，又，即有，
由（1）知平面，又、平面，则，.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
由（1）知，平面，则是平面的一个法向量，
，
因二面角的余弦值为，则，又，解得，
的值是6.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)根据给定条件，证明SO⊥AD，再利用线面垂直、面面垂直的性质推出 ；
(2) 取的中点，连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用空间向量法可得 ，求解可得 的值 .
21．（2022高二下·扬州期末）随着科技的发展，看电子书刊的人越来越多在某市随机选出200人进行采访，经统计这200人中看电子书刊的人数占总人数的（假设被采访者只给出“看电子书刊”或“看纸质书刊”两种结果）.将这200人按年龄（单位：岁）分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组.这200人中看纸质书刊的人的年龄的频数分布表如下：
年龄
频数 15 22 58 42 13
附参考公式：（其中）.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010. 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024. 6.635 7.879 10.828
（1）年龄在内的称为青壮年，年龄在内的称为中老年.若选出的200入中看电子书刊的中老年有10人.
①请完成下面的列联表，并判断能否有95%的把握认为看书刊的方式与年龄层有关.
看电子书刊 看纸质书刊 合计
青壮年
中老年
合计 200
②将频率视为概率，现从该市所有青壮年和中老年人群中随机采访三人，求这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率；
（2）该市倡议：书香战“疫”，以“读”攻毒，同时许多人呼吁“回归纸质书刊”该市现有报刊亭每天早上从报刊发行处购进某报纸后零售，且规定的零售价格是1.5元/份.若晚上报纸卖不完，则可再退回发行处，此时退回的价格是0.4元/份.有一报刊亭根据市场调研，每天的需求量及其概率情况如下：
每天的需求量（单位：份） 300 400 500 600
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
报刊发行处每100份报纸为一包，并规定报刊亭只能整包购进，每包价格为100元.请为该报刊亭筹划一下，应该如何确定每天购进报纸的包数（，且），使得日收益的数学期望最大.
【答案】（1）解：①填写列联表如下：
看电子书刊 看纸质书刊 合计
青壮年 40 95 135
中老年 10 55 65
合计 50 150 200
假设：看书刊的方式与年龄层没有关系.
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有95%的把握认为看书刊方式与年龄层有关.
②随机采访的一人为中老年且看电子书刊的概率为，且每次采访相互独立，
所以这三人中恰有两人为中老年且看电子书刊的概率为.
（2）解：时，（元）；
时，（元）；
时，
（元）；
时，
（元）.
综上所述，当时，利润的数学期望最大.
【知识点】独立性检验的基本思想；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据数据列表计算，然后利用独立性检验得出结论；
(2)分别求出X = 3，X =4，X= 5，X = 6时，E(Y)的值比较，即可得结论.
22．（2022高二下·扬州期末）已知函数，.
（1）令上，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，试探究是否存在极大值 若存在，求极大值点的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题可知，.
若的单调递减区间是，无增区间
若
当当
所以的单递减区间是，单调增区间是
（2）解：因为对于任意的恒成立
所以，所以
因为，记
则，所以单调递减
又
所以存在，使得，即
当在上单调递增
当在上单调递减
所以当时，取极大值
令
则
对于任意的恒成立，所以
又因，所以，所以化简不等式，可得
又，所以
所以极大值点的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求出g (x)，求出g (x)的导数，通过讨论a的范围，判断 的单调区间；
(2)根据 恒成立，得到存在 ， 使得 ， 令 ，得到关于 的不等式组，求解可得极大值点的取值范围 .
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