江苏省镇江市五校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

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江苏省镇江市五校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022·湖北二模）设，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·镇江期末）设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（　　）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
3．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·镇江期末）从中任取2个不同的数，则的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·镇江期末）已知P是圆上的动点，，，则的面积的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
6．（2022高二下·镇江期末）的展开式中的系数为（　　）
A．88 B．104 C．-40 D．-24
7．（2022高二下·镇江期末）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，＋∞） B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（e，＋∞）
8．（2022高二下·镇江期末）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A．（2，＋∞） B．（1，＋∞） C． D．[1，＋∞）
二、多选题
9．（2022高二下·曲靖期末）已知数列 的前n项和为 ， ，则下列选项中正确的是（　　）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
10．（2022高二下·福田期中）下列命题中，正确的命题的序号为（　　）
A．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为 ，且 ，则当 时概率最大
11．（2022高二下·镇江期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（　　）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
12．（2022高二下·镇江期末）如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是（　　）
A．BP的最小值为
B． 的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为
三、填空题
13．（2022高二下·镇江期末）已知p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是　 　．
14．（2022高二下·镇江期末）将（1＋x）n（n∈N*）的展开式中x2的系数记为，则　 　．
15．（2022高二下·镇江期末）柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为　 　．
16．（2022高二下·镇江期末）关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题
17．（2022高二下·镇江期末）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋1＋an＝3 2n，a1＝1，
（1）若bn＝an－2n，求证：{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
18．（2022高二下·镇江期末）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点．
（1）求证：PN∥面ACC1A1；
（2）求平面PMN与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
19．（2022高二下·镇江期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合
（1）求集合A；
（2）若________，求实数m的取值范围.
在①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
20．（2021高三上·高邮月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件)；另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表： .
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 4 4
（1）女性人数与组号x (组号变量x依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（参考公式： ）
（2）在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.
21．（2022高二下·镇江期末）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
22．（2022高二下·镇江期末）已知函数.
（1）若有两个零点，的取值范围；
（2）若方程有两个实根、，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由，即，解得，
所以，
又因为，所以，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再结合交集和补集的运算法则，进而得出集合。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；
直线和直线平行，则，解得或，
即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，
所以.
故答案为：C
【分析】 由题意可得是首项为2、公比为的等比数列，进一步根据等比数列前n项和公式即可求出 的值 .
4．【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有个基本事件，所以所求概率为
故答案为：B．
【分析】 从2，4， 6， 8中任取2个不同的数记为(a， b)，首先求得所有情况数，然后列出满足2个数之差的绝对值为4的基本事件数，再根据古典概型的概率公式即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：根据题意，点，
则直线AB的方程为，即，
且
圆，即，其圆心为，半径，
所以圆心到直线AB距离
则圆上的动点P到直线AB的距离最大值为，
面积的最大值；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由A、B的坐标可得直线AB的方程以及|AB|的值，由圆的方程分析圆心与半径，求出圆心到直线AB的距离，分析可得圆上的动点P到直线AB的距离最大值，由三角形面积公式计算可得 的面积的最大值 .
6．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题设，的通项为，的通项为；
∴原多项式的展开式通项可写为，
∴，可得或或，
∴的系数为.
故答案为：D.
【分析】 把和按照二项式定理展开，可得的系数.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由，得，
令，得，
当时，方程无解，
所以，化简得，令，则
，
当时，，当或时，，
所以在上递增，在和上递减，
作出的图象，，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个变号的实根，
即与的图象有两个不同的交点，
所以由图可得，
即实数a的取值范围是，
故答案为：B
【分析】根据题意，可令化简得，令，然后做出g (x)的图象，数形结合可求出a的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故答案为：A．
【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆过原点，可得答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵ ，①
∴，②
两式作差得：an+1=2an+1-2an ， ，
∴ an+1=2an， ，
又∵a1=S1=2a1+1，
∴a1=-1
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，
则an=(-1)·2n+1=-2n+1 ， .
由上述内容可知，选项A，C正确.
当n=5时，S5=-25+1=-31 ，则选项B错误.
∵ Sn-1=-2n， Sn+1-1=-2n+1，
∴，
数列{Sn-1}是首项为-2的等比数列.
则数列{Sn-1}的前n项和为 ，则选项D正确.
故选：ACD
【分析】根据an与Sn的关系可知数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误
10．【答案】B,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布与n次独立重复试验的模型；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：对A：因为随机变量 服从二项分布 ， ，
所以np=30 ，n(1-p)=20 ，解得p= ，故选项A错误；
对B：根据方差公式D(ax+b)=a2D(x) ， (a，b为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确；
对C：因为随机变量 服从正态分布 ，由 ，可得 ，利用正态分布的对称性可得 ，故选项C正确；
对D：因为在10次射击中，击中目标的次数X满足 ，
所以对应的概率P(X=k)= ，
当k≥1，k∈N* 时， ，
令 ，解得 ，
因为k∈N*，
所以当X=9时，概率P(X=9)最大，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；
对B：根据方差公式可知方差恒不变；
对C：根据正态分布的对称性即可求解；
对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断.
11．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示：
A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；
B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；
C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；
D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.
故答案为：BD
【分析】 由|PQ|的最大值为长轴长判断A； 由椭圆的定义判断B； 由判断C；分别求得P、Q到直线AB的距离最大值判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离对．
对于B，解法一：以为坐标原点建系，以 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
，
表示平面上之间的距离，
表示平面上之间的距离，
错
解法二：将平面翻折到平面上，如图，
连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，
在三角形ADC中，，，B不符合题意；
对于C，，平面，
平面到平面的距离为定值，
为定值，则为定值，对．
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为正确．
故答案为：ACD
【分析】 求出，由此能求出B到直线A1D的距离，可判断A；以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；由A1D//B1C得A1D//平面AB1C，从而P到平面AB1C的距离为定值，为定值，则为定值，可判断C；由于平面，设与平面交于点，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，求出G为以为圆心，为半径的圆上此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，由此判断D.
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，
所以有解，
令，则，
所以，
故答案为：
【分析】 由命题p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，可得有解，令，根据二次函数的性质可求出a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式的展开式的通项为：
令可得，
，
故答案为：.
【分析】 利用二项式定理求出an ，然后根据裂项相消法求解数列和即可得答案.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的3双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为.
故答案为：
【分析】先求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的总数，再求出随机的取两只的总数，再利用古典概型的概率公式求解出它们不成对的概率 .
16．【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】①当时，原不等式不成立；
②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；
③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.
又因，且恰有一个整数解，所以，即.
综上，.
故答案为：.
【分析】根据题意，构造函数，通过讨论x的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件，即可求出实数的取值范围.
17．【答案】（1）证明：因为
所以，
因为 所以，
所以，
所以 ，
所以是首项和公比均为的等比数列．
（2）解：由（1）易得：
因为，所以 ，
所以 ，
，
.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据等比数列的定义，利用bn＝an－2n 以及an+1 +an=3 2n ，即可得到 ， 即可证得{bn}是等比数列；
(2)根据分组求和和等比数列求和公式即可求解出数列{an}的前n项和Sn．
18．【答案】（1）证明：解法一：
以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
取向量为平面的一个法向量，，
∴，
∴．
又∵平面，
∴平面．
解法二：
∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
（2）解：以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
∴，，
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，，则，
∴，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 解法一： 以点A为坐标原点， AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明 PN∥面ACC1A1；解法二： 利用线线平行证明线面平行，可证得 PN∥面ACC1A1；
(2)求出平面的一个法向量和平面PMN的法向量， 利用向量法求出平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值 .
19．【答案】（1）解：当时，显然恒成立，当时不等式对一切实数x都成立，
则，解得，综上可得；
（2）解：选①②都有又，即在上恒成立，
令，则，解得，所以m的取值范围为；
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)由不等式 对一切实数x都成立， 分k=0和k≠0两种情况讨论，当k≠0时可得 ，再求解即可得集合A；
(2)选①②③都有 即 在上恒成立， 得 ，再求解即可得实数m的取值范围.
20．【答案】（1）解：由题可得 ，
， ．
则
所以
当 时，
所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数．
（2）解：由题可知 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 的分布列为
X 0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，结合已知公式得 ，再解 ，计算可得从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（2）由题可知 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，再根据超几何分布求出 X的分布列与期望.
21．【答案】（1）解：由题可知，解得，则：；
（2）证明：由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
令，则，则．
联立得，，
则，即．
双曲线两条渐近线方程为，
联立得，，
联立得，，
，
故的面积为定值．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由双曲线C的一个焦点坐标为(3， 0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 ，求解出a、b，得到双曲线C的方程；
(2) 由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出 ，求出 ，进而求出M，N的坐标，通过 ，化简求解三角形的面积即可得 △MON的面积为定值 .
22．【答案】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
0
增 极大值 减
所以，函数的极大值为，如下图所示：
且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
（2）证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)对函数h (x)求导，分a= 0和 讨论即可得解 的取值范围；
(2) 令 ，根据题意可转化为证明 ，再令 转化为证明 ，构造函数 ，其中， 利用导数可证得 .
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江苏省镇江市五校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022·湖北二模）设，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由，即，解得，
所以，
又因为，所以，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再结合交集和补集的运算法则，进而得出集合。
2．（2022高二下·镇江期末）设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（　　）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；
直线和直线平行，则，解得或，
即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，
所以.
故答案为：C
【分析】 由题意可得是首项为2、公比为的等比数列，进一步根据等比数列前n项和公式即可求出 的值 .
4．（2022高二下·镇江期末）从中任取2个不同的数，则的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有个基本事件，所以所求概率为
故答案为：B．
【分析】 从2，4， 6， 8中任取2个不同的数记为(a， b)，首先求得所有情况数，然后列出满足2个数之差的绝对值为4的基本事件数，再根据古典概型的概率公式即可求出答案.
5．（2022高二下·镇江期末）已知P是圆上的动点，，，则的面积的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：根据题意，点，
则直线AB的方程为，即，
且
圆，即，其圆心为，半径，
所以圆心到直线AB距离
则圆上的动点P到直线AB的距离最大值为，
面积的最大值；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由A、B的坐标可得直线AB的方程以及|AB|的值，由圆的方程分析圆心与半径，求出圆心到直线AB的距离，分析可得圆上的动点P到直线AB的距离最大值，由三角形面积公式计算可得 的面积的最大值 .
6．（2022高二下·镇江期末）的展开式中的系数为（　　）
A．88 B．104 C．-40 D．-24
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题设，的通项为，的通项为；
∴原多项式的展开式通项可写为，
∴，可得或或，
∴的系数为.
故答案为：D.
【分析】 把和按照二项式定理展开，可得的系数.
7．（2022高二下·镇江期末）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，＋∞） B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（e，＋∞）
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由，得，
令，得，
当时，方程无解，
所以，化简得，令，则
，
当时，，当或时，，
所以在上递增，在和上递减，
作出的图象，，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个变号的实根，
即与的图象有两个不同的交点，
所以由图可得，
即实数a的取值范围是，
故答案为：B
【分析】根据题意，可令化简得，令，然后做出g (x)的图象，数形结合可求出a的取值范围.
8．（2022高二下·镇江期末）在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A．（2，＋∞） B．（1，＋∞） C． D．[1，＋∞）
【答案】A
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故答案为：A．
【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆过原点，可得答案.
二、多选题
9．（2022高二下·曲靖期末）已知数列 的前n项和为 ， ，则下列选项中正确的是（　　）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵ ，①
∴，②
两式作差得：an+1=2an+1-2an ， ，
∴ an+1=2an， ，
又∵a1=S1=2a1+1，
∴a1=-1
∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，
则an=(-1)·2n+1=-2n+1 ， .
由上述内容可知，选项A，C正确.
当n=5时，S5=-25+1=-31 ，则选项B错误.
∵ Sn-1=-2n， Sn+1-1=-2n+1，
∴，
数列{Sn-1}是首项为-2的等比数列.
则数列{Sn-1}的前n项和为 ，则选项D正确.
故选：ACD
【分析】根据an与Sn的关系可知数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误
10．（2022高二下·福田期中）下列命题中，正确的命题的序号为（　　）
A．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为 ，且 ，则当 时概率最大
【答案】B,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布与n次独立重复试验的模型；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：对A：因为随机变量 服从二项分布 ， ，
所以np=30 ，n(1-p)=20 ，解得p= ，故选项A错误；
对B：根据方差公式D(ax+b)=a2D(x) ， (a，b为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确；
对C：因为随机变量 服从正态分布 ，由 ，可得 ，利用正态分布的对称性可得 ，故选项C正确；
对D：因为在10次射击中，击中目标的次数X满足 ，
所以对应的概率P(X=k)= ，
当k≥1，k∈N* 时， ，
令 ，解得 ，
因为k∈N*，
所以当X=9时，概率P(X=9)最大，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；
对B：根据方差公式可知方差恒不变；
对C：根据正态分布的对称性即可求解；
对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断.
11．（2022高二下·镇江期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（　　）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示：
A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；
B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；
C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；
D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.
故答案为：BD
【分析】 由|PQ|的最大值为长轴长判断A； 由椭圆的定义判断B； 由判断C；分别求得P、Q到直线AB的距离最大值判断D.
12．（2022高二下·镇江期末）如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是（　　）
A．BP的最小值为
B． 的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离对．
对于B，解法一：以为坐标原点建系，以 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
，
表示平面上之间的距离，
表示平面上之间的距离，
错
解法二：将平面翻折到平面上，如图，
连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，
在三角形ADC中，，，B不符合题意；
对于C，，平面，
平面到平面的距离为定值，
为定值，则为定值，对．
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为正确．
故答案为：ACD
【分析】 求出，由此能求出B到直线A1D的距离，可判断A；以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；由A1D//B1C得A1D//平面AB1C，从而P到平面AB1C的距离为定值，为定值，则为定值，可判断C；由于平面，设与平面交于点，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，求出G为以为圆心，为半径的圆上此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，由此判断D.
三、填空题
13．（2022高二下·镇江期末）已知p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，
所以有解，
令，则，
所以，
故答案为：
【分析】 由命题p：“ x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，可得有解，令，根据二次函数的性质可求出a的取值范围.
14．（2022高二下·镇江期末）将（1＋x）n（n∈N*）的展开式中x2的系数记为，则　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式的展开式的通项为：
令可得，
，
故答案为：.
【分析】 利用二项式定理求出an ，然后根据裂项相消法求解数列和即可得答案.
15．（2022高二下·镇江期末）柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的3双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为.
故答案为：
【分析】先求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的总数，再求出随机的取两只的总数，再利用古典概型的概率公式求解出它们不成对的概率 .
16．（2022高二下·镇江期末）关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】①当时，原不等式不成立；
②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；
③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.
又因，且恰有一个整数解，所以，即.
综上，.
故答案为：.
【分析】根据题意，构造函数，通过讨论x的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件，即可求出实数的取值范围.
四、解答题
17．（2022高二下·镇江期末）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋1＋an＝3 2n，a1＝1，
（1）若bn＝an－2n，求证：{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）证明：因为
所以，
因为 所以，
所以，
所以 ，
所以是首项和公比均为的等比数列．
（2）解：由（1）易得：
因为，所以 ，
所以 ，
，
.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据等比数列的定义，利用bn＝an－2n 以及an+1 +an=3 2n ，即可得到 ， 即可证得{bn}是等比数列；
(2)根据分组求和和等比数列求和公式即可求解出数列{an}的前n项和Sn．
18．（2022高二下·镇江期末）如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点．
（1）求证：PN∥面ACC1A1；
（2）求平面PMN与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：解法一：
以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
取向量为平面的一个法向量，，
∴，
∴．
又∵平面，
∴平面．
解法二：
∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
（2）解：以点A为坐标原点，AB AC 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
∴，，
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，，则，
∴，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1) 解法一： 以点A为坐标原点， AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明 PN∥面ACC1A1；解法二： 利用线线平行证明线面平行，可证得 PN∥面ACC1A1；
(2)求出平面的一个法向量和平面PMN的法向量， 利用向量法求出平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值 .
19．（2022高二下·镇江期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合
（1）求集合A；
（2）若________，求实数m的取值范围.
在①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
【答案】（1）解：当时，显然恒成立，当时不等式对一切实数x都成立，
则，解得，综上可得；
（2）解：选①②都有又，即在上恒成立，
令，则，解得，所以m的取值范围为；
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)由不等式 对一切实数x都成立， 分k=0和k≠0两种情况讨论，当k≠0时可得 ，再求解即可得集合A；
(2)选①②③都有 即 在上恒成立， 得 ，再求解即可得实数m的取值范围.
20．（2021高三上·高邮月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件)；另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表： .
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 4 4
（1）女性人数与组号x (组号变量x依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（参考公式： ）
（2）在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.
【答案】（1）解：由题可得 ，
， ．
则
所以
当 时，
所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数．
（2）解：由题可知 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 的分布列为
X 0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，结合已知公式得 ，再解 ，计算可得从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（2）由题可知 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，再根据超几何分布求出 X的分布列与期望.
21．（2022高二下·镇江期末）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
【答案】（1）解：由题可知，解得，则：；
（2）证明：由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
令，则，则．
联立得，，
则，即．
双曲线两条渐近线方程为，
联立得，，
联立得，，
，
故的面积为定值．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由双曲线C的一个焦点坐标为(3， 0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 ，求解出a、b，得到双曲线C的方程；
(2) 由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出 ，求出 ，进而求出M，N的坐标，通过 ，化简求解三角形的面积即可得 △MON的面积为定值 .
22．（2022高二下·镇江期末）已知函数.
（1）若有两个零点，的取值范围；
（2）若方程有两个实根、，且，证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：
0
增 极大值 减
所以，函数的极大值为，如下图所示：
且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
（2）证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)对函数h (x)求导，分a= 0和 讨论即可得解 的取值范围；
(2) 令 ，根据题意可转化为证明 ，再令 转化为证明 ，构造函数 ，其中， 利用导数可证得 .
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