山东省百校联考2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·山东期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·山东期末）设命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2019高二上·濠江月考）已知定义在R上的函数 ， ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·山东期末）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：） 信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来2倍，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：）
A．110% B．120% C．130% D．140%
5．（2022高二下·山东期末）若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019高二下·湘潭月考）满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·山东期末）已知，，记，则（ ）
A．M的最小值为 B．M的最小值为
C．M的最小值为 D．M的最小值为
二、多选题
9．（2021·济南模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数
C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
10．（2022高二下·山东期末）下列说法不正确的是（ ）
A．已知集合，，若，则实数m组成的集合为
B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是
C．命题，成立的充要条件是
D．“”是“”的充分不必要条件
11．（2022高二下·山东期末）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·山东期末）已知函数，结论正确的有（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．在区间上单调递增
三、填空题
13．（2022高二下·山东期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
14．（2022高二下·山东期末）已知函数则 .
15．（2022高二下·山东期末）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，且）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ．
16．（2022高二下·山东期末）已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
（1）求 ；
（2）则实数a的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二下·山东期末）已知函数定义在上有恒成立，且当时，.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求函数的值域.
18．（2020高一上·厦门期中）已知 ，函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围；
19．（2022高二下·山东期末）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）设函数.
①若在区间上单调递增，实数的取值范围；
②若在区间内存在单调递减的区间，求实数的取值范围.
20．（2020高三上·莱州月考）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 （单位：万元）满足： （ 为常数），且曲线 与直线 在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.
（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据： ）
21．（2022高二下·山东期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
22．（2022高二下·山东期末）已知函数．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由已知，，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，先对集合A， B化简，再结合交集的运算，即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题，为特称量词命题，其否定为，；
故答案为：C
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题可得答案.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所以有 ，因为 ，函数 在 时，是增函数，所以 ，
故答案为：D.
【分析】先判断函数在 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到 ，比较 三个数的大小，然后根据函数在 时的单调性，比较出三个数 的大小.
4．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】当时，；
当时，信道宽度变为原来2倍，.
因为.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得C的增加值为，再由对数的运算性质进行求解，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由函数在上为减函数，可知
函数的定义域为或，故排除A，B
又，可知在单调递减，故排除D
故答案为：C
【分析】由函数在上为减函数，由此求得a的范围，结合g (x)的解析式，再根据对数函数的图象特征，逐项进行判断可得答案.
6．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】结合复合函数的单调性，函数 在 上单调递减的充要条件是 ，解得 ．
A中， 是函数在 上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；
B中， 是函数在 上单调递减的充要条件，所以B不正确；
C中， 是函数在 上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；
D中， 是函数在 上单调递减的充分不必要条件，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用复合函数的单调性结合已知条件，用充分、必要条件的判断方法找出满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件。
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；导数的几何意义
【解析】【解答】由题意，的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方.
，得，
与直线平行的直线斜率为，
令，解得，所以切点的坐标为
切点到直线的距离
即的最小值为.
故答案为：B
【分析】 根据题意，要求的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，利用导数计算即可求解出答案.
9．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】 ， ，
，
故 为奇函数，
又 ，
在R上单调递增，
， ， ，
， ，即函数值域为
令 ，即 ，解得 ，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC符合题意，BD不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用函数奇偶性的定义即可得出函数为奇函数，再由函数单调性的定义得出上的单调性，再利用函数的单调性即可得出不等式结合指数函数的性质即可求出，构造函数求解出x的值再结合零点的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,B,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于A：，，
若，则或或，即或或，
解得或或，即实数m组成的集合为，A错误，符合题意；
对于B：当时不等式恒成立，B错误，符合题意；
对于C：命题，为真命题，即在上成立，
令，，所以，
所以，C正确，不符合题意；
对于D：若即且，所以由推不出，即充分性不成立，
由推得出，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分要条件，D错误，符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断B、C、D，根据集合的包含关系求出参数的值，即可判断A.
11．【答案】A,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：对于A：当时，函数在上单调递增，函数具有性质，A符合题意．
对于B：当时，函数，则，
所以当或时，当时，
所以在的定义域上没有单调性，故函数不具有性质，B不符合题意；
对于C：当时，函数在的定义域上单调递减，故函数不具有M性质，C不符合题意；
对于D：当时，函数在的定义域上单调递增，故函数具有性质，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】根据所给定义，利用导数及指数函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】对于A，因为，
所以是周期函数，所以A符合题意，
对于B，因为，
所以不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，所以B不符合题意，
对于C，因为，所以，即，所以函数的值域为，所以C不符合题意，
对于D，令，则，因为在上单调递，在上递增，所以在区间上单调递增，所以D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用周期的定义分析判断A；利用函数的奇偶性判断B；利用复合函数求值域的方法求解可判断C；利用复合函数求单调性的方法求解可判断D.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得.
故答案为：
【分析】 根据复合函数定义域之间的关系即可求出函数的定义域 .
14．【答案】7
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为函数
所以，
所以7，
故答案为：7
【分析】 根据题意，由函数的解析式求出 的值，进而计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】∵是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，
∴存在满足，
∴，
∴，
构造函数，，
令，，
，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，即存在满足，即有根，求解可得实数的取值范围.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，可知方程有解，即有解，得在上有解，令（），则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，得，
所以a的取值范围是，
故答案为：；
【分析】(1)当代入f (x)即可得答案；
(2)由对称性求函数解析式得：设y= h(x)的图象与y=g (x )的图象关于原点对称，由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，利用导数研究函数的值域得在上有解，令（），则，易得在上递增，在上递减，所以，即可求出实数a的取值范围 .
17．【答案】（1）解：因为函数定义在上有恒成立
所以函数为奇函数，又当时，
所以．
当时，则．所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，即．
所以函数的解析式为．
（2）解：令，当时，，
则当时，可写为，所以．
由是定义在上的奇函数，所以当时．
即函数的值域为．
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)利用奇函数的性质进行计算，可得 的值 ，进而求出函数的解析式；
(2)利用换元法结合一元二次函数的性质求出当 x < 0时y的取值范围，再根据奇函数的性质，即可求出 函数的值域.
18．【答案】（1）解：当 时， ，
由 ，即 ，可得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
（2）解：由 （其中 ），
因为函数 只有一个零点，即 只有一个根，
即 在 上只有一个解，
即 在 上只有一个解，
①当 时，方程 ，解得 ，复合题意；
②当 时，设函数
当 时，此时函数 与 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；
当 时，要使得函数 与 轴的正半轴只有一个交点，
则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当 时，得到 ，根据 ，得出不等式 ，即可求解；（2）化简 （其中 ），根据函数 只有一个零点，得到方程 在 上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.
19．【答案】（1）解：，
函数的导数，
则函数在点处的切线斜率，
即切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，
，.
（2）解：①，，
，，
若在区间上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
在上单调递增，，
可得.
即实数的取值范围是.
②，依题意，存在，使不等式成立.
当时，，
满足要求的的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)求出导数，由题意得方程组解出b， c的值；
(2) ① 求出g (x)的解析式和导数，由题意可得 在上恒成立 ，运用参数分离和基本不等式，即可得到实数的取值范围；
② 求出g (x)的解析式和导数，由题意可得 在上恒成立 ，运用参数分离和基本不等式，即可得到实数的取值范围；
20．【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为 ，且 ，
∵点(1，3)在直线y=kx上，故有k=3
又曲线y=f(x)与直线y=3x在点(1，3)处相切，
故有 ，
∴甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为
由题意得乙产品投资与利润的关系式为
将点(4，4)代入（*）式，可得m=2
所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式
（2）解：设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且 ，则该公司所得利润为
故有 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以x=15为函数的极大值点，也是函数的最大值点
所以 （万元）
所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元
【知识点】函数的最大（小）值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】 (1)根据条件分别求出a，b，即可求出甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
(2)由已知条件即可设甲产品投资x万元，则乙产品投资(40-x)万元，建立函数关系，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
①若，则，在上单调递增；
②若，则由得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
③若，则由得，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：①若，则，所以，符合题意；
②若，
则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，
从而当且仅当，即时，；
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，
最小值为，
从而当且仅当，即时，；
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)对 求导，分a=0， a>0， a<0分别讨论得函数f (x)的单调性；
(2)分a=0， a>0， a<0分别解f(x)≥0，从而求解出a的取值范围.
22．【答案】（1）解：函数，
，
，当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，有极小值；
当时，，故，
在上单调递减，故此时无极值；
当时，，方程有两个不等的正根，．
可得，．
则当及时，
，单调递减；
当时， ；单调递增；
在处有极小值，在处有极大值．
综上所述：当时，有1个极值点；
当时，没有极值点；
当时，有2个极值点．
（2）解：由可知当且仅当时有极小值点
和极大值点，且，是方程的两个正根，
则，．
；
令，
；，
在上单调递减，故，
．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1)先求出函数的导函数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断出函数的极值点的个数；
(2) 由（1）可知当且仅当时有极小值点和极大值点，且，是方程的两个正根，则，，可得 ， 令， 通过对g(a)求导即可证明出 .
1 / 1山东省百校联考2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·山东期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由已知，，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，先对集合A， B化简，再结合交集的运算，即可得答案.
2．（2022高二下·山东期末）设命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题，为特称量词命题，其否定为，；
故答案为：C
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题可得答案.
3．（2019高二上·濠江月考）已知定义在R上的函数 ， ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所以有 ，因为 ，函数 在 时，是增函数，所以 ，
故答案为：D.
【分析】先判断函数在 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到 ，比较 三个数的大小，然后根据函数在 时的单调性，比较出三个数 的大小.
4．（2022高二下·山东期末）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：） 信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来2倍，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：）
A．110% B．120% C．130% D．140%
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】当时，；
当时，信道宽度变为原来2倍，.
因为.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得C的增加值为，再由对数的运算性质进行求解，可得答案.
5．（2022高二下·山东期末）若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由函数在上为减函数，可知
函数的定义域为或，故排除A，B
又，可知在单调递减，故排除D
故答案为：C
【分析】由函数在上为减函数，由此求得a的范围，结合g (x)的解析式，再根据对数函数的图象特征，逐项进行判断可得答案.
6．（2019高二下·湘潭月考）满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】结合复合函数的单调性，函数 在 上单调递减的充要条件是 ，解得 ．
A中， 是函数在 上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；
B中， 是函数在 上单调递减的充要条件，所以B不正确；
C中， 是函数在 上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；
D中， 是函数在 上单调递减的充分不必要条件，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用复合函数的单调性结合已知条件，用充分、必要条件的判断方法找出满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件。
7．（2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
8．（2022高二下·山东期末）已知，，记，则（ ）
A．M的最小值为 B．M的最小值为
C．M的最小值为 D．M的最小值为
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；导数的几何意义
【解析】【解答】由题意，的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方.
，得，
与直线平行的直线斜率为，
令，解得，所以切点的坐标为
切点到直线的距离
即的最小值为.
故答案为：B
【分析】 根据题意，要求的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，利用导数计算即可求解出答案.
二、多选题
9．（2021·济南模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数
C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】 ， ，
，
故 为奇函数，
又 ，
在R上单调递增，
， ， ，
， ，即函数值域为
令 ，即 ，解得 ，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC符合题意，BD不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用函数奇偶性的定义即可得出函数为奇函数，再由函数单调性的定义得出上的单调性，再利用函数的单调性即可得出不等式结合指数函数的性质即可求出，构造函数求解出x的值再结合零点的定义对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二下·山东期末）下列说法不正确的是（ ）
A．已知集合，，若，则实数m组成的集合为
B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是
C．命题，成立的充要条件是
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】A,B,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于A：，，
若，则或或，即或或，
解得或或，即实数m组成的集合为，A错误，符合题意；
对于B：当时不等式恒成立，B错误，符合题意；
对于C：命题，为真命题，即在上成立，
令，，所以，
所以，C正确，不符合题意；
对于D：若即且，所以由推不出，即充分性不成立，
由推得出，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分要条件，D错误，符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断B、C、D，根据集合的包含关系求出参数的值，即可判断A.
11．（2022高二下·山东期末）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：对于A：当时，函数在上单调递增，函数具有性质，A符合题意．
对于B：当时，函数，则，
所以当或时，当时，
所以在的定义域上没有单调性，故函数不具有性质，B不符合题意；
对于C：当时，函数在的定义域上单调递减，故函数不具有M性质，C不符合题意；
对于D：当时，函数在的定义域上单调递增，故函数具有性质，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】根据所给定义，利用导数及指数函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
12．（2022高二下·山东期末）已知函数，结论正确的有（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．在区间上单调递增
【答案】A,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】对于A，因为，
所以是周期函数，所以A符合题意，
对于B，因为，
所以不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，所以B不符合题意，
对于C，因为，所以，即，所以函数的值域为，所以C不符合题意，
对于D，令，则，因为在上单调递，在上递增，所以在区间上单调递增，所以D符合题意，
故答案为：AD
【分析】利用周期的定义分析判断A；利用函数的奇偶性判断B；利用复合函数求值域的方法求解可判断C；利用复合函数求单调性的方法求解可判断D.
三、填空题
13．（2022高二下·山东期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得.
故答案为：
【分析】 根据复合函数定义域之间的关系即可求出函数的定义域 .
14．（2022高二下·山东期末）已知函数则 .
【答案】7
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为函数
所以，
所以7，
故答案为：7
【分析】 根据题意，由函数的解析式求出 的值，进而计算可得答案.
15．（2022高二下·山东期末）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，且）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】∵是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，
∴存在满足，
∴，
∴，
构造函数，，
令，，
，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，即存在满足，即有根，求解可得实数的取值范围.
16．（2022高二下·山东期末）已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
（1）求 ；
（2）则实数a的取值范围是 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，可知方程有解，即有解，得在上有解，令（），则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，得，
所以a的取值范围是，
故答案为：；
【分析】(1)当代入f (x)即可得答案；
(2)由对称性求函数解析式得：设y= h(x)的图象与y=g (x )的图象关于原点对称，由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，利用导数研究函数的值域得在上有解，令（），则，易得在上递增，在上递减，所以，即可求出实数a的取值范围 .
四、解答题
17．（2022高二下·山东期末）已知函数定义在上有恒成立，且当时，.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）解：因为函数定义在上有恒成立
所以函数为奇函数，又当时，
所以．
当时，则．所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，即．
所以函数的解析式为．
（2）解：令，当时，，
则当时，可写为，所以．
由是定义在上的奇函数，所以当时．
即函数的值域为．
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)利用奇函数的性质进行计算，可得 的值 ，进而求出函数的解析式；
(2)利用换元法结合一元二次函数的性质求出当 x < 0时y的取值范围，再根据奇函数的性质，即可求出 函数的值域.
18．（2020高一上·厦门期中）已知 ，函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围；
【答案】（1）解：当 时， ，
由 ，即 ，可得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
（2）解：由 （其中 ），
因为函数 只有一个零点，即 只有一个根，
即 在 上只有一个解，
即 在 上只有一个解，
①当 时，方程 ，解得 ，复合题意；
②当 时，设函数
当 时，此时函数 与 轴的正半轴，只有一个交点，复合题意；
当 时，要使得函数 与 轴的正半轴只有一个交点，
则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当 时，得到 ，根据 ，得出不等式 ，即可求解；（2）化简 （其中 ），根据函数 只有一个零点，得到方程 在 上只有一个解，结合二次函数的性质，即可求解.
19．（2022高二下·山东期末）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）设函数.
①若在区间上单调递增，实数的取值范围；
②若在区间内存在单调递减的区间，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
函数的导数，
则函数在点处的切线斜率，
即切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，
，.
（2）解：①，，
，，
若在区间上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
在上单调递增，，
可得.
即实数的取值范围是.
②，依题意，存在，使不等式成立.
当时，，
满足要求的的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)求出导数，由题意得方程组解出b， c的值；
(2) ① 求出g (x)的解析式和导数，由题意可得 在上恒成立 ，运用参数分离和基本不等式，即可得到实数的取值范围；
② 求出g (x)的解析式和导数，由题意可得 在上恒成立 ，运用参数分离和基本不等式，即可得到实数的取值范围；
20．（2020高三上·莱州月考）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 （单位：万元）满足： （ 为常数），且曲线 与直线 在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.
（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据： ）
【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为 ，且 ，
∵点(1，3)在直线y=kx上，故有k=3
又曲线y=f(x)与直线y=3x在点(1，3)处相切，
故有 ，
∴甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为
由题意得乙产品投资与利润的关系式为
将点(4，4)代入（*）式，可得m=2
所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式
（2）解：设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且 ，则该公司所得利润为
故有 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以x=15为函数的极大值点，也是函数的最大值点
所以 （万元）
所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元
【知识点】函数的最大（小）值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】 (1)根据条件分别求出a，b，即可求出甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
(2)由已知条件即可设甲产品投资x万元，则乙产品投资(40-x)万元，建立函数关系，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，计算出结果即可。
21．（2022高二下·山东期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
①若，则，在上单调递增；
②若，则由得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
③若，则由得，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：①若，则，所以，符合题意；
②若，
则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，
从而当且仅当，即时，；
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，
最小值为，
从而当且仅当，即时，；
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)对 求导，分a=0， a>0， a<0分别讨论得函数f (x)的单调性；
(2)分a=0， a>0， a<0分别解f(x)≥0，从而求解出a的取值范围.
22．（2022高二下·山东期末）已知函数．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．
【答案】（1）解：函数，
，
，当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，有极小值；
当时，，故，
在上单调递减，故此时无极值；
当时，，方程有两个不等的正根，．
可得，．
则当及时，
，单调递减；
当时， ；单调递增；
在处有极小值，在处有极大值．
综上所述：当时，有1个极值点；
当时，没有极值点；
当时，有2个极值点．
（2）解：由可知当且仅当时有极小值点
和极大值点，且，是方程的两个正根，
则，．
；
令，
；，
在上单调递减，故，
．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1)先求出函数的导函数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断出函数的极值点的个数；
(2) 由（1）可知当且仅当时有极小值点和极大值点，且，是方程的两个正根，则，，可得 ， 令， 通过对g(a)求导即可证明出 .
1 / 1
