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（2021 营口）如图，中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为 【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
【分析】作所对的圆周角，如图，先利用等腰三角形的性质得到平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．【版权所有：21教育】
【解答】解：作所对的圆周角，如图，
，，
平分，
，
，
，
．
故选：．
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【点评】本题考查了圆周角定理：求出所对的圆周角的度数是解决问题的关键．
（2021 赤峰）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为 21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
【分析】连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：连接，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
为直径，
，
，
．
故选：．
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【点评】本题考查了圆周角定理：求出的度数是解决问题的关键．
（2021 常州）如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是
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A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理直接来求的度数，进而解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2021 贵港）如图，点，，，均在上，直径，点是的中点，点关于对称的点为，若，则弦的长是
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A． B．2 C． D．1
【分析】连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接、、、、，过点作于点，
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，
，
点关于对称的点为，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，，
直径，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．【出处：21教育名师】
（2021 雅安）如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为
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A． B． C． D．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可．
【解答】解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
（2021 黄石）如图，、是上的两点，，交于点，则等于
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A． B． C． D．
【分析】先根据垂径定理得到，则，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等 ( http: / / www.21cnjy.com )圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
（2021 台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？
A．30 B．60 C．105 D．210
【分析】根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．
【解答】解：由题意可求得圆形的周长，
其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，
设另一个扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式：，有：
，解得，
故选：．
【点评】本题考查弧长的计算，需要掌握弧长公式并灵活运用．
（2021 贵阳）如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是
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A． B． C． D．
【分析】先根据五边形的内角和求，由切线的性质得：，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
【解答】解：正五边形的内角，
，
、分别与相切于、两点，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：．
（2021 吉林）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为
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A． B． C． D．
【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
【解答】解：四边形内接于，
，
，
，
为的外角，
，只有满足题意．
故选：．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
（2021 海南）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是
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A． B． C． D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，，
是的直径，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
（2021 荆门）如图，，是的切线，，是切点，若，则
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A． B． C． D．
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据四边形的内角和等于得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，
，是的切线，，是切点，
，
，
，
，
，
故选：．
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【点评】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由、是的切线，可得．
（2021 青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为 2·1·c·n·j·y
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A．1.0厘米分 B．0.8厘米分 C．1.2厘米分 D．1.4厘米分
【分析】连接，过点作于，由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．www.21-cn-jy.com
【解答】解：设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，如图所示：
厘米，
（厘米），
厘米，
（厘米），
海平线以下部分的高度（厘米），
太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
“图上”太阳升起的速度（厘米秒），
故选：．
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【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共7小题）
（2021 黔东南州）小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端，量的弧的中心到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 ．www-2-1-cnjy-com
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【分析】先根据垂径定理的推论得到过圆心，，设圆心为，连接，如图，设的半径为，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可．2-1-c-n-j-y
【解答】解：点的中点，，
过圆心，，
设圆心为，连接，如图，
设的半径为，则，
在中，，解得，
所以圆形瓦片所在圆的半径为．
故答案为4．
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【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．21·cn·jy·com
（2021 襄阳）点是的外心，若，则为 或125 ．
【分析】由题意可知，需要分两种情况：①是锐角三角形；②是钝角三角形，再分别求解即可．
【解答】解：①是锐角三角形，如图，
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，
；
②△是钝角三角形，如图，
，
．
故答案为：或125．
【点评】本题主要考查圆周角定理，分类讨论思想等，对三角形形状的讨论是易错点．
（2021 张家界）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则 ．
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【分析】由圆周角定理可得，易证为等腰三角形，又为中点，根据三线合一可得为的角平分线，即可求得答案．
【解答】解：，
．
，
为等腰三角形，
又为中点，
为上中线，
根据等腰三角形三线合一性质可得为的平分线，
．
故答案为：
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，得到为的角平分线是解题的关键．
（2021 黑龙江）如图，在中，是直径，弦的长为，点在圆上且，则的半径为 5 ．
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【分析】连接，证明是等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接．
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，，
，
，
是等边三角形，
，
的半径为．
故答案为：5．
【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
（2021 广东）在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 ．
【分析】根据，，作的外接圆，连接，当、、三点共线时，的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得为等腰直角三角形，，同样可证也为等腰直角三角形，，由勾股定理可求得的长为，最后最小值为．
【解答】解：如图所示．
，，作的外接圆（因求最小值，故圆心在的右侧），连接，
当、、三点共线时，的值最小．
，
，
为等腰直角三角形，
．
，，
，作于点，
为等腰直角三角形．
，
，
在中，
．
当、、三点共线时，
最小为．
故答案为：．
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【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点的运动轨迹为一段优弧．【来源：21·世纪·教育·网】
（2021 盐城）如图，在内接四边形中，若，则 80 ．
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【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：80．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
（2021 南京）如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则 180 ．
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【分析】设圆心为，连接，，，和，根据切线的性质和等腰三角形的性质得出即可求出．
【解答】解：如图，设圆心为，连接，，，和，
，，，，是五边形的外接圆的切线，
，
即，
，
，，，，，
五边形内角和，
，
故答案为：180．
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【点评】本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键．21·世纪*教育网
三．解答题（共3小题）
（2021 东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．
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【分析】（1）连接，根据等边三角形及圆性质求出，再由，推出求出，根据切线的判定推出即可；
（2）由，，可求得，，的长度，再根据中位线性质求出的长度，根据勾股定理即可求得的长．21cnjy.com
【解答】（1）证明：连接，
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是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
是的中位线，
，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，
线段的长为．
【点评】本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的关键．21教育网
（2021 铜仁市）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
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【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，等边对等角及等量代换可得，根据切线的判定定理可得结论；21*cnjy*com
（2）如图，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式，设，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：连接，
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是的直径，
，
即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为15；
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，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题考查的是切线的判定，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明，确定和的关系是解（2）题的关键．21世纪教育网版权所有
（2021 威海）如图，是直径，弦，垂足为点．弦交于点，点在延长线上，且．
（1）求证：为切线；
（2）若，，，求的长．
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【分析】（1）连接，由，，得到，即可证明；
（2）连接，过点作，垂足为，由，，求得的长度，继而利用三角函数求得，，求出，，再利用，即可求出的长．
【解答】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为切线；
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（2）解：连接，过点作，垂足为，
是直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
的长为5．
【点评】本题考查了切线的判定方法， ( http: / / www.21cnjy.com )利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．21*cnjy*com
第24章：圆
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（2021 营口）如图，中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为 21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
（2021 赤峰）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为 21教育网
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（2021 常州）如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是
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（2021 贵港）如图，点，，，均在上，直径，点是的中点，点关于对称的点为，若，则弦的长是 21cnjy.com
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（2021 雅安）如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为
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（2021 黄石）如图，、是上的两点，，交于点，则等于
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（2021 台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？ 21·cn·jy·com
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（2021 贵阳）如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是
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（2021 荆门）如图，，是的切线，，是切点，若，则
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（2021 青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为 2·1·c·n·j·y
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A．1.0厘米分 B．0.8厘米分 C．1.2厘米分 D．1.4厘米分
二．填空题（共7小题）
（2021 黔东南州）小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端，量的弧的中心到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
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（2021 襄阳）点是的外心，若，则为 ．
（2021 张家界）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则 ．
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（2021 黑龙江）如图，在中，是直径，弦的长为，点在圆上且，则的半径为 ．
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（2021 广东）在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 ．
（2021 盐城）如图，在内接四边形中，若，则 ．
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（2021 南京）如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则 ．
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三．解答题（共3小题）
（2021 东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．
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（2021 铜仁市）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
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（2021 威海）如图，是直径，弦，垂足为点．弦交于点，点在延长线上，且．
（1）求证：为切线；
（2）若，，，求的长．
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第24章：圆
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