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一．选择题（共10小题）
1．（2021 新疆）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（2021 怀化）对于一元二次方程，则它根的情况为
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可求出△，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证，两个选项）．
【解答】解：，，，
△，
一元二次方程没有实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△时，方程没有实数根”是解题的关键．
3．（2021 广安）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△且，
且，
解得：且，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．21cnjy.com
4．（2021 武汉）已知，是方程的两根，则代数式的值是
A． B． C．35 D．36
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，，即，，根据根与系数的关系得到,然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】解：，是方程的两根，
，，,
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程解的定义．
5．（2021 台州）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．21教育名师原创作品
6．（2021 眉山）已知一元二次方程的两根为，，则的值为
A． B． C．2 D．5
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出，是解题的关键．21·世纪*教育网
7．（2021 邵阳）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【分析】由直线解析式求得,然后确定△的符号即可．
【解答】解：直线不经过第一象限，
,
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
关于的方程,
△,
关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．21·cn·jy·com
8．（2021 临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．（2021 南充）已知方程的两根分别为，，则的值为
A．1 B． C．2021 D．
【分析】由题意得出，，，将代数式变形后再代入求解即可．
【解答】解：方程的两根分别为，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
10．（2021 云南）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式△，，继而可求得的范围．
【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，△，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△．21教育网
二．填空题（共8小题）
11．（2021 长沙）若关于的方程的一个根为3，则的值为 ．
【分析】把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
12．（2021 岳阳）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 9 ．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意，△，
解得,
故答案为9．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根．
13．（2021 上海）若一元二次方程无解，则的取值范围为 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后求出的取值范围．
【解答】解：一元二次方程无解，
△，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
14．（2021 白银）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 1 ．
【分析】根据根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
15．（2021 江西）已知，是一元二次方程的两根，则 1 ．
【分析】直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：，是一元二次方程的两根，
，．
则．
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．21世纪教育网版权所有
16．（2021 成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．www.21-cn-jy.com
【解答】解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．www-2-1-cnjy-com
17．（2021 广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 12 ．2-1-c-n-j-y
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．21*cnjy*com
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．2·1·c·n·j·y
18．（2021 连云港）若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
【分析】根据根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
19．（2021 南充）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且与都为整数，求所有可能的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为，，得出或，然后利用有理数的整除性确定的整数值；
【解答】（1）证明：△，
无论取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，即，
解得：或．
一元二次方程的两根为，，
或，
如果为整数，则为1的约数，
，
如果为整数，则为1的约数，
，
则为0或．
整数的所有可能的值为，0或．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出的整数值．
20．（2021 重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．
（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值．
【分析】（1）设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，根据1件产品与1件产品售价和为500元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设产品的销售单价为元，则产品的销售单价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：产品的销售单价为300元，产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，
依题意得：，
设，则原方程可化简为，
解得：，（不合题意，舍去），
．
答：的值为20．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（2021 重庆）重庆小面是重庆美食 ( http: / / www.21cnjy.com )的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求的值．【出处：21教育名师】
【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为元，每份“生食”小面的价格为元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；【版权所有：21教育】
（2）根据5月“堂食”小面的销售额 “生食”小面的销售额月的总销售额，用换元法解方程可得结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为元，每份“生食”小面的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）由题意得：，
设，则方程可化为：，
，
，
解得：（舍，，
．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，确定对应的等量关系．21*cnjy*com
22．（2021 常德）解方程：．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
第21章：一元二次方程
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
（2021 新疆）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
（2021 怀化）对于一元二次方程，则它根的情况为
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
（2021 广安）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
（2021 武汉）已知，是方程的两根，则代数式的值是
A． B． C．35 D．36
（2021 台州）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
（2021 眉山）已知一元二次方程的两根为，，则的值为
A． B． C．2 D．5
（2021 邵阳）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为 21教育网
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
（2021 临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
（2021 南充）已知方程的两根分别为，，则的值为
A．1 B． C．2021 D．
（2021 云南）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C．且 D．且
二．填空题（共8小题）
（2021 长沙）若关于的方程的一个根为3，则的值为 ．
（2021 岳阳）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
（2021 上海）若一元二次方程无解，则的取值范围为 ．
（2021 白银）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
（2021 江西）已知，是一元二次方程的两根，则 ．
（2021 成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
（2021 广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．21cnjy.com
（2021 连云港）若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
三．解答题（共4小题）
（2021 南充）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且与都为整数，求所有可能的值．
（2021 重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．21·cn·jy·com
（1）、两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值．
（2021 重庆）重庆小面是重庆美食的名片之 ( http: / / www.21cnjy.com )一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．www.21-cn-jy.com
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求的值．21世纪教育网版权所有
（2021 常德）解方程：．
第21章：一元二次方程
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