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第二十一章 一元二次方程
考点1 一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 ( http: / / www.21cnjy.com )5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【例题1】 （2020秋 奈曼旗月考）关于的方程，当 时，是一元一次方程；当 时，是一元二次方程．21教育网
考点2 一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．21cnjy.com
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；b ( http: / / www.21cnjy.com )x叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．www.21-cn-jy.com
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【例题1】 （2020秋 环江县期中）已知一元二次方程，则它的二次项系数为 ，一次项为 ，常数项为 ．21·世纪*教育网
【例题2】 （2020秋 揭西县月考）若关于的一元二次方程没有一次项，则 ．
考点3 ：一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是 ( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．21·cn·jy·com
（2）一元二次方程一定有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
【例题1】 （2021春 余姚市校级期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是 ．
【例题2】 （2021 汝阳县一模）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为 ．
1. （2021 梁溪区一模）若方程是关于的一元二次方程，则下列结论正确的是
A． B． C．且 D．
2. （2021春 天心区期中）已知方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
3. （2020秋 双流区校级期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于 ．
4. （2021 历下区三模）若是一元二次方程的一个实数根，则的值为 ．
5. （2021 涟水县模拟）若是方程的一个根，则的值为 ．
6. （2020秋 古丈县期末）若关于的一元二次方程的解是，则的值是 ．
7. （2020 牡丹区二模）是关于的方程的根，则的值是 ．
8. （2020 青羊区校级模拟）已知是方程的一个根，则的值是 ．
1. （2020秋 泗阳县期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
2. （2020秋 岳阳县期末）已知是方程的一个根，则 ．
3. （2020秋 宝应县月考）小刚在解关于的方程时，只抄对了、，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根为 ．2·1·c·n·j·y
4. （2020秋 石狮市期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
5. （2020 常州模拟）已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
6. （2019秋 黄浦区校级期中）如果，那么关于的方程一定有的那个根是 ．
1. （2020 嘉峪关）已知是一元二次方程的一个根，则的值为
A．或2 B． C．2 D．0
2. （2020 黑龙江） 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是
A．0 B．1 C． D．
3. （2019 兰州）是关于的一元二次方程的解，则
A． B． C． D．
4. （2019 遂宁）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为
A．0 B． C．1 D．
5. （2020 枣庄）已知关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
6. （2020 毕节市）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ．
7. （2020 常州）若关于的方程有一个根是1，则 ．
8. （2019 资阳）是方程的一个根，则代数式的值是 ．
9. （2019 南京）已知是关于的方程的一个根，则 ．
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一元二次方程
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第二十一章 一元二次方程
考点1 一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注 ( http: / / www.21cnjy.com )意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【例题1】 （2020秋 奈曼旗月考）关于的方程，当 时，是一元一次方程；当 时，是一元二次方程．21世纪教育网版权所有
【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定义进行解答．
【解答】解：由题意得：，且，
解得：，
由题意得：，
解得：，
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义和一元一次方程定义，关键是掌握一元二次方程和一元一次方程定义．21*cnjy*com
考点2 一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．【来源：21cnj*y.co*m】
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数； ( http: / / www.21cnjy.com )bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【例题1】 （2020秋 环江县期中）已知一元二次方程，则它的二次项系数为 4 ，一次项为 ，常数项为 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
【解答】解：一元二次方程化成一般式为，
二次项系数，一次项，常数项分别为4，，，
故答案是：4，，．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【出处：21教育名师】
【例题2】 （2020秋 揭西县月考）若关于的一元二次方程没有一次项，则 ．
【分析】根据没有一次项可得，且再解即可．
【解答】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为．
考点3 ：一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数 ( http: / / www.21cnjy.com )的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一 ( http: / / www.21cnjy.com )定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
【例题1】 （2021春 余姚市校级期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是 ．
【分析】先由方程的解的含义，得出，变形得，再将要求的代数式变形，然后将代入，计算即可．
【解答】解：是关于的方程的解，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．21教育名师原创作品
【例题2】 （2021 汝阳县一模）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为 ．
【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：是方程根，
，
，
原式
．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
1. （2021 梁溪区一模）若方程是关于的一元二次方程，则下列结论正确的是
A． B． C．且 D．
【分析】根据一元二次方程的定义列式求出的值，即可进行选择．
【解答】解：是关于的一元二次方程，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．
2. （2021春 天心区期中）已知方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：方程是关于的一元二次方程，
且，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
3. （2020秋 双流区校级期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于 1 ．
【分析】根据一元二次方程的常数项为0得出的值，再由二次项系数不能为0得出答案．
【解答】解：关于的一元二次方程的常数项为0，
且，
解得或（舍，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，根据常数项为0进而求出的值是解题关键．21·cn·jy·com
4. （2021 历下区三模）若是一元二次方程的一个实数根，则的值为 ．
【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5. （2021 涟水县模拟）若是方程的一个根，则的值为 2020 ．
【分析】将代入方程即可求出所求式子的值．
【解答】解：将代入方程得：，
则，
所以．
故答案为：2020．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6. （2020秋 古丈县期末）若关于的一元二次方程的解是，则的值是 2021 ．
【分析】根据是关于的一元二次方程的解，可以得到的值，然后代入代数式，即可求得所求式子的值．21*cnjy*com
【解答】解：关于的一元二次方程的解是，
，
，
，
，
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
7. （2020 牡丹区二模）是关于的方程的根，则的值是 1或0 ．
【分析】将代入已知方程来求的值即可．
【解答】解：把代入，得．
整理，得．
解得或．
综上所述，的值是1或0．
故答案是：1或0．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的定义．【版权所有：21教育】
8. （2020 青羊区校级模拟）已知是方程的一个根，则的值是 3 ．
【分析】将原式进行化简，然后代入原方程后可得，整体代入原式后即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
原式
，
故答案为：3
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
1. （2020秋 泗阳县期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 10 ．
【分析】根据一元二次方程解的意义将代入求出，进而将方程两边同时除以进而得出答案．
【解答】解：是方程的一个实数根，
，
，
故，
则
．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
2. （2020秋 岳阳县期末）已知是方程的一个根，则 ．
【分析】由是方程的一个根，将代入方程，得到关于的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．21教育网
【解答】解：是方程的一个根，
，即，，
则．
故答案是：．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3. （2020秋 宝应县月考）小刚在解关于的方程时，只抄对了、，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根为 ．www.21-cn-jy.com
【分析】把代入中计算求出
【解答】解：把代入得：，
把，代入得：，
解得：，
方程为，即，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，确定出正确的值是解本题的关键．
4. （2020秋 石狮市期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为 ．
【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【解答】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故答案是：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．21·世纪*教育网
5. （2020 常州模拟）已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 15 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再利用通分和整体代入的方法得到原式，然后约分后进行有理数乘法运算即可．
【解答】解：是方程的一个实根，
，即，
原式
．
故答案为15．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6. （2019秋 黄浦区校级期中）如果，那么关于的方程一定有的那个根是 ．
【分析】把代入方程得，然后利用因式分解法解方程得到．
【解答】解：把代入方程得，
，
，
，
所以或，
所以关于的方程一定有的那个根是．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
1. （2020 嘉峪关）已知是一元二次方程的一个根，则的值为
A．或2 B． C．2 D．0
【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．
【解答】解：把代入得：
，
，
解得：，，
是一元二次方程，
，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
2. （2020 黑龙江）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是
A．0 B．1 C． D．
【分析】把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值．
【解答】解：根据题意，得
，
解得；
解法二：对方程变形得：，再代入，得到：，
即，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解（根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．21cnjy.com
3. （2019 兰州）是关于的一元二次方程的解，则
A． B． C． D．
【分析】先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4. （2019 遂宁）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为
A．0 B． C．1 D．
【分析】直接把代入进而方程，再结合，进而得出答案．
【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，且，
则的值为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
5. （2020 枣庄）已知关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：把代入得，解得，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．www-2-1-cnjy-com
6. （2020 毕节市）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 1 ．
【分析】把代入方程计算，检验即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
，
可得或，
解得：或，
当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则的值为1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．2-1-c-n-j-y
7. （2020 常州）若关于的方程有一个根是1，则 1 ．
【分析】把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】解：关于的方程有一个根是1，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
8. （2019 资阳）是方程的一个根，则代数式的值是 8 ．
【分析】直接把的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【解答】解：是方程的一个根，
，
．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
9. （2019 南京）已知是关于的方程的一个根，则 1 ．
【分析】把代入方程得到关于的方程，然后解关于的方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
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21.1
一元二次方程
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