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第二十一章 一元二次方程
考点1 解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
考点2 ：解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．2·1·c·n·j·y
【例题1】 （2021 南充一模）方程的解是
A． B． C．， D．，
【例题2】 （2020秋 环江县期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【例题3】 （2021 岳阳二模）方程的根是 ．
【例题4】 （2021 丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
【例题5】 （2020秋 耒阳市期末）一元二次方程经过配方后可变形为
A． B． C． D．
考点3 解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
【例题1】 （2020秋 盐城期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为
A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，8
【例题2】 （2020秋 溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根
A． B． C． D．
【例题3】 （2021春 招远市期中）按要求解下列方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）．
考点4 解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边 ( http: / / www.21cnjy.com )化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．www-2-1-cnjy-com
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．【出处：21教育名师】
【例题1】 （2021 新疆）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【例题2】 （2021 天津模拟）一元二次方程的解是
A． B．，
C．， D．，
考点5 换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论 ( http: / / www.21cnjy.com )依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．21教育网
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未 ( http: / / www.21cnjy.com )知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．21cnjy.com
【例题1】 （2021 宣城模拟）已知、实数且满足，则的值为
A．3 B． C．3或 D．或2
【例题2】 （2020 凉山州一模），则的值是
A．4 B． C．4或 D．或2
【例题3】 （2020春 文登区期中）已知实数满足，那么的值为
A．或3 B．或1 C．3 D．1
考点6 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
【例题1】 （2021 安徽二模）一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【例题2】 （2021 南海区一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，，则的最大整数值为
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【例题3】 （2020秋 武汉期末）若关于的方程有两不相等实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【例题4】 （2021 郴州模拟）若关于的一元二次方程有实根，则实数的取值范围是 ．
【例题5】 （2021 平谷区二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【例题6】 （2021 海淀区二模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围．
考点7 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关 ( http: / / www.21cnjy.com )系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．21·cn·jy·com
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【例题1】 （2021春 诸暨市月考）一元二次方程的一个根为2，则的值以及另一个根为
A．1， B．1，1 C．， D．，1
【例题2】 （2021 江西模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为
A． B． C．1 D．7
【例题3】 （2021 江西模拟）已知，是方程的两根，则的值为
A．9 B．7 C．5 D．3
1. （2021春 西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为 2-1-c-n-j-y
A．17 B．11 C．15 D．11或15
2. （2020秋 绿园区期末）若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是 【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
3. （2020 福州模拟）关于的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是
A． B． C． D．
4. （2021 临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
5. （2020秋 茌平区期末）一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 21教育名师原创作品
A．9 B．11 C．13 D．9或13
6. （2020秋 射洪市期中）若，则的值是
A．3 B． C．3或1 D．3或
7. （2020秋 岳阳期末）一元二次方程的解是 ．
8. （2021 商城县一模）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 21*cnjy*com
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
9. （2020秋 奎文区期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
10. （2021春 包河区期中）方程的两根为，，则等于
A． B．1 C． D．3
11. （2021 桂平市模拟）若，是一元二次方程的两根，则的值是
A． B．1 C．5 D．
12. （2021 徐州模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13. （2021 栖霞区二模）已知方程的根是和，则 ．
14. （2021春 雨花区校级期中）解一元二次方程：
（1）； （2）．
15. （2020秋 普宁市期末）用配方法解方程：．
16. （2020秋 潮州期末）解方程：．
17. （2020秋 五常市期末）解方程：．
18. （2020秋 武功县期末）解方程：．
19. （2020秋 厦门期末）解方程：．
20. （2020秋 坪山区期末）解下列方程：
（1）； （2）．
21. （2020秋 丘北县期末）解方程．
（1）；（配方法） （2）．（公式法）
22. （2020秋 陇县期末）（1）； （2）．
23. （2020秋 冠县期末）根据要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）．
24. （2021 南岗区校级模拟）计算
（1）； （2）．
25.
26. （2021 海淀区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求的值；
27. （2021 石景山区一模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求的取值范围．
28. （2021 黄石模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两根，满足，求的值．
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1. （2020秋 开江县期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为
A． B． C． D．
2. （2020秋 和平区期中）若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则
A． B． C． D．
3. （2020春 江阴市期中）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
4. （2021 硚口区模拟）已知实数满足，那么的值为
A．或1 B．或5 C．1 D．5
5. （2020秋 雁江区期末）若实数满足方程，那么的值为
A．或4 B．4 C． D．2或
6. （2020春 崇川区校级期中）已知实数满足，则
A． B．6或 C．6 D．3
7. （2021 河南四模）若关于的方程，为常数）的解是或，则方程的解是 ．
8. （2021春 西城区校级月考）对于实数、、、，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ．
9. （2020秋 杨浦区校级期中）若，为实数，，则 ．
10. （2021春 西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：．
解：（1）当时，原方程化为，
解得：，（不合题意，舍）．
（2）当时，原方程化为，
①解得： ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程，则此方程的根是 ．
11. （2021春 下城区期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个很，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
12. （2020秋 长寿区期末）如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是
A． B．0 C．1 D．或1
13. （2021 怀化模拟）已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是
A．3 B． C．7 D．1
14. （2021春 鱼台县月考）如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于
A．2 B． C． D．6
15. （2021 泸县模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是
A． B． C．1 D．2
16. （2021 九龙坡区校级模拟）如果方程的两个根为，，那么的值为
A．7 B．6 C． D．0
17. （2020秋 雅安期末）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．2020 B． C． D．2022
18. （2020 广汉市模拟）关于的方程的两个根是1和，则的值为
A． B．8 C．16 D．
19. （2021 温江区模拟）已知，分别为一元二次方程的两个实数根，则 ．
20. （2021 渌口区模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
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1. （2020 雅安）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
2. （2020 黔西南州）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
3. （2020 台湾）若一元二次方程式的解为、，且，则之值为何？
A． B． C．11 D．17
4. （2020 巴中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是
A．1 B． C． D．0
5. （2020 兰州）一元二次方程的解是
A． B． C．， D．，
6. （2020 沈阳）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7. （2020 南宁）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8. （2020 邵阳）设方程的两根分别是，，则的值为
A．3 B． C． D．
9. （2020 湖北）关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为
A． B． C．或1 D．或4
10. （2020 广州）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
11. （2020 通辽）关于的方程有实数根，的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
12. （2020 潍坊）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
13. （2020 营口）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
14. （2020 荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为 【来源：21·世纪·教育·网】
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
15. （2020 张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为 21·世纪*教育网
A．2 B．4 C．8 D．2或4
16. （2020 怀化）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A． B． C． D．
17. （2020 攀枝花）若关于的方程没有实数根，则的值可以为
A． B． C．0 D．1
18. （2020 黑龙江）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
19. （2020 菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为
A．3 B．4 C．3或4 D．7
20. （2020 临沂）一元二次方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
21. （2020 南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
22.
23. （2020 凉山州）一元二次方程的根为
A． B． C．或 D．或
24. （2020 河南）定义运算：☆．例如：4☆，则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
解一元二次方程
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
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第二十一章 一元二次方程
考点1 解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
考点2 ：解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2-1-c-n-j-y
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．21*cnjy*com
【例题1】 （2021 南充一模）方程的解是
A． B． C．， D．，
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题2】 （2020秋 环江县期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：，
，
由知，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能 ( http: / / www.21cnjy.com )力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题3】 （2021 岳阳二模）方程的根是 ．
【分析】先求4的平方根，然后解关于的一元一次方程．
【解答】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
【例题4】 （2021 丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程，
整理得：，
配方得：．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【例题5】 （2020秋 耒阳市期末）一元二次方程经过配方后可变形为
A． B． C． D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：，
，则，即，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力 ( http: / / www.21cnjy.com )，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
考点3 解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
【例题1】 （2020秋 盐城期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为
A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，8
【分析】整理为一般式即可得出答案．
【解答】解：，
，
则，，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能 ( http: / / www.21cnjy.com )力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题2】 （2020秋 溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根
A． B． C． D．
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【解答】解：．此方程的解为，不符合题意；
．此方程的解为，不符合题意；
．此方程的解为，符合题意；
．此方程的解为，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题3】 （2021春 招远市期中）按要求解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【分析】（1）方程配方后，开方即可求出解；
（2）找出，，的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1），
，即，则，，；
（2），，，
△，
则，即，．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法与公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
考点4 解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化 ( http: / / www.21cnjy.com )为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2·1·c·n·j·y
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．21教育名师原创作品
【例题1】 （2021 新疆）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【例题2】 （2021 天津模拟）一元二次方程的解是
A． B．，
C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟 ( http: / / www.21cnjy.com )练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
考点5 换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论 ( http: / / www.21cnjy.com )依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．www.21-cn-jy.com
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中， ( http: / / www.21cnjy.com )某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【出处：21教育名师】
【例题1】 （2021 宣城模拟）已知、实数且满足，则的值为
A．3 B． C．3或 D．或2
【分析】设，则原方程化为，利用因式分解法解关于的方程得，，所以或，然后利用确定的值．21世纪教育网版权所有
【解答】解：设，
原方程化为，解得，，
即或，
而，
所以的值为3．
故选：．
【点评】本题考查了换元法解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【例题2】 （2020 凉山州一模），则的值是
A．4 B． C．4或 D．或2
【分析】本题可设，则原式可化为，对方程去括号得，解方程即可求得的值，即的值．
【解答】解：设，则原方程可化为：即
解得：或．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．21教育网
【例题3】 （2020春 文登区期中）已知实数满足，那么的值为
A．或3 B．或1 C．3 D．1
【分析】设，则化为，求出方程的解，再判断即可．
【解答】解：设，
，
，
解得：或1，
当时，，
即，此方程无解；
当时，，
此时方程有解，
故选：．
【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
考点6 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
【例题1】 （2021 安徽二模）一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】先将方程整理为一般式，再计算出方程根的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：将方程整理为一般式，得：，
△，
此方程有两个不相等的实数根，
故选：．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△时，方程无实数根．
【例题2】 （2021 南海区一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，，则的最大整数值为
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得，
所以的最大整数值为0．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
【例题3】 （2020秋 武汉期末）若关于的方程有两不相等实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【分析】据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
【例题4】 （2021 郴州模拟）若关于的一元二次方程有实根，则实数的取值范围是 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故答案为且．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
【例题5】 （2021 平谷区二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【分析】（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【解答】解：（1）△，
．
（2）由（1）可知：，
此时方程为：，
，
或．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【例题6】 （2021 海淀区二模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于的一元二次方程，求出的值即可；
（2）利用求根公式得到，．根据题意得到．即可求得．
【解答】（1）证明：，，，
△
，
此方程总有两个实数根．
（2）解：△，
．
，．
此方程有一个根小于1．
．
．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
考点7 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常 ( http: / / www.21cnjy.com )用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不 ( http: / / www.21cnjy.com )是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【例题1】 （2021春 诸暨市月考）一元二次方程的一个根为2，则的值以及另一个根为
A．1， B．1，1 C．， D．，1
【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，，然后解方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为，
根据题意得，，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【例题2】 （2021 江西模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为
A． B． C．1 D．7
【分析】利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【例题3】 （2021 江西模拟）已知，是方程的两根，则的值为
A．9 B．7 C．5 D．3
【分析】，是方程的两根，可得，，即可得出．
【解答】解：，是方程的两根，
则，，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
1. （2021春 西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为
A．17 B．11 C．15 D．11或15
【分析】求出方程的解得到原方程的解， ( http: / / www.21cnjy.com )即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．
【解答】解：，
，
解得，．
若，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为；
若时，，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程的解．运用三角形的三边关系解决问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形．
2. （2020秋 绿园区期末）若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：，
或，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3. （2020秋 普宁市期中）用公式法解方程时，正确代入求根公式的是
A．
B．
C．
D．
【分析】利用求根公式代入即可．
【解答】解：，
，，，
．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
4. （2020 福州模拟）关于的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．
【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，
关于的一元二次方程的两根分别为，，
，，
当时，，，则，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
5. （2021 临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6. （2020秋 茌平区期末）一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为
A．9 B．11 C．13 D．9或13
【分析】先利用因式分解法解方程，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【解答】解：，
，
，，
三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，，，
三角形的第三边长是6，
该三角形的周长为：．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7. （2020秋 射洪市期中）若，则的值是
A．3 B． C．3或1 D．3或
【分析】设，则原方程可变形为，解二元一次方程即可求得．
【解答】解：设，则原方程可变形为．
解得，．
不小于0，
，
故选：．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确用换元法解方程的方法．
8. （2020秋 岳阳期末）一元二次方程的解是 ， ．
【分析】先移项，再二次项的系数化成1，再开方，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
开方得：，
解得：，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
9. （2021 商城县一模）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】计算判别式的值即可判断．
【解答】解：，，
△，
有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．
10. （2020秋 奎文区期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【分析】分方程为一元二次方程和一元一次方程两种情况来讨论，当是一元二次方程时，由一元二次方程根的判别式可得到关于的不等式，求解即可，当是一元一次方程时，利用一元一次方程的定义可求得的取值，可求得答案．
【解答】解：当时，即时，此时方程为，该方程有解，此时；
当时，则方程为一元二次方程，其判别式为△，
方程有实数根，
，解得；
此时的取值范围是且；
综上可知的取值范围是，
故选：．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键，即①一元二次方程有两个不相等的实数根△，②一元二次方程有两个相等的实数根△，③一元二次方程无实数根△．
11. （2021春 包河区期中）方程的两根为，，则等于
A． B．1 C． D．3
【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出的值．
【解答】解：方程的两根为、，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
12. （2021 桂平市模拟）若，是一元二次方程的两根，则的值是
A． B．1 C．5 D．
【分析】直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：，是一元二次方程的两根，
；．
则．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
13. （2021 徐州模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
14. （2021 栖霞区二模）已知方程的根是和，则 2 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【解答】解：方程的两个实数根为、，
、，
．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
15. （2021春 雨花区校级期中）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）两边都除以2后，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1），
，
则，
，；
（2），
，
则，
或，
解得，．
【点评】本题主要考查解一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16. （2020秋 普宁市期末）用配方法解方程：．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：，
，
，即，
，
或，
，．
【点评】本题主要考查解一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17. （2020秋 潮州期末）解方程：．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：
，．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握配方法．
18. （2020秋 五常市期末）解方程：．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：，
，
，即，
，
则，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19. （2020秋 武功县期末）解方程：．
【分析】找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里，，，
△，
，
，．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出，，，求出△的值，是解此题的关键．
20. （2020秋 厦门期末）解方程：．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：，
，即，
则，
．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21. （2020秋 坪山区期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先求出的值，再代入公式求出答案即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1），
这里，，，
，
，
解得：，；
（2），
，
，
或，
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程， ( http: / / www.21cnjy.com )能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．21·世纪*教育网
22. （2020秋 丘北县期末）解方程．
（1）；（配方法）
（2）．（公式法）
【分析】（1）将常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；21*cnjy*com
（2）将方程整理为一般形式，找出，及的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1），
，
，即，
解得，，；
（2）．
，，，
，
，
，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法 ( http: / / www.21cnjy.com )．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
23. （2020秋 陇县期末）（1）；
（2）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）整理成一般式，然后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1），，，
△，
，
，；
（2），
，
故，
，
故或，
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
24. （2020秋 冠县期末）根据要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
【解答】解：（1），
移项，得，
配方，得，
则，
，
，
，；
（2），
整理得，，
，，，
△，
方程有两个不相等的实数根，
，
，．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
25. （2021 南岗区校级模拟）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）移项后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程得出答案即可．
【解答】解：（1），
，
，
，；
（2），
，
或，
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
26. （2021 海淀区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求的值；
【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得△，再根据非负数的性质得到△，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（2）根据求根公式可得，，再根据方程有两个互不相等的负整数根，得到或2或3，再进行讨论得到的值；
【解答】解：（1）关于的一元二次方程．
△，
无论为任何实数，方程总有实根．
（2），
，．
方程有两个互不相等的负整数根，
．
或，
．
为整数，
或2或3．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，但不是整数，不符合题意．
．
【点评】考查了一元二次方程根的判别式，求根公式，分类思想的运用是解题的关键．
27. （2021 石景山区一模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求的取值范围．
【分析】（1）先计算出判别式的值得到△，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先解方程得到，，则根据题意得到，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：△
，
方程总有两个实数根；
（2），
，，
该方程有一个根大于1，
，解得，
即的范围为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．【来源：21·世纪·教育·网】
28. （2021 黄石模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两根，满足，求的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【解答】解：（1），，，
△，即，
．
（2）关于的一元二次方程的两根为，，
，．
，
，即，
整理，得：，
解得：，．
又，
．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系及，找出关于的一元二次方程．
1. （2020秋 开江县期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为
A． B． C． D．
【分析】设所求方程的根为，则，据此知，再将代入方程，化简可得答案．
【解答】解：设所求方程的根为，则，
所以，
将代入方程，得：，
化简，得：，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2. （2020秋 和平区期中）若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则
A． B． C． D．
【分析】根据公式得出，求出即可．
【解答】解：的两个实数根中较小的一个根是，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
3. （2020春 江阴市期中）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【分析】根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可．
【解答】解：由勾股定理得，，
，
解方程得，
线段的长是方程的一个根．
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
4. （2021 硚口区模拟）已知实数满足，那么的值为
A．或1 B．或5 C．1 D．5
【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则．
整理，得．
解得（舍去）或．
即的值为1．
故选：．
【点评】本题主要考查了换 ( http: / / www.21cnjy.com )元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．www-2-1-cnjy-com
5. （2020秋 雁江区期末）若实数满足方程，那么的值为
A．或4 B．4 C． D．2或
【分析】设，则原方程化为，求出，即可得出选项．
【解答】解：设，则原方程化为，
解得：或，
当时，，此时方程有解，
当时，，此时方程无解，舍去，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．21cnjy.com
6. （2020春 崇川区校级期中）已知实数满足，则
A． B．6或 C．6 D．3
【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
【解答】解：设，则原方程可化为：，
即，
或6，即或6，
当时，方程无解．
，
故选：．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
7. （2021 河南四模）若关于的方程，为常数）的解是或，则方程的解是 ， ．
【分析】先将，化为，继而化为，再利用换元法，从而可以得到答案．
【解答】解：，
，
关于的方程的解是或，
，
设，则，
解得，，，
即，，
解得：，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用换元法求一元二次方程的解是解题的关键．
8. （2021春 西城区校级月考）对于实数、、、，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 2或4 ．
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：，
即，
分解因式得：，
解得：或2．
故答案为：2或4．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9. （2020秋 杨浦区校级期中）若，为实数，，则 36 ．
【分析】设，则原方程变为，解关于的方程求得的值，进而即可求得的值．
【解答】解：设，则原方程变为，
即，
，
，，
，
，即，
．
故答案为36．
【点评】本题考查了解一元二次方程、解根式方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
10. （2021春 西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：．
解：（1）当时，原方程化为，
解得：，（不合题意，舍）．
（2）当时，原方程化为，
①解得： ，（不合题意，舍去） ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程，则此方程的根是 ．
【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：①当时，原方程化为，
解这个方程，，（不合题意，舍去）．
故答案为：，（不合题意，舍去）．
②综上，原方程的根是，；
故答案为：，；
③当时，原方程化为，
解得：，（均不合题意，舍）．
当时，原方程化为，
解得：，．
原方程的根为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目信息，理解分情况讨论去掉绝对值号把方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11. （2021春 下城区期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个很，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
△，
则方程的判别式△，
方程必有两个不相等的实根，故②正确；
③是方程的一个根，
则，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，故③不正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，故④正确．
故正确的有①②④，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，灵活运用根的判别式式解题的关键．
12. （2020秋 长寿区期末）如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是
A． B．0 C．1 D．或1
【分析】先利用判别式的意义得到且△，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解得到且，然后求出几个不等式的公共部分，在此公共部分内确定整数即可．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且△，解得且，
关于的方程去分母得，
解得，
关于的方程有正数解，
且，解得且，
的范围为且，，
符合条件的整数的值是．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了分式方程的解．
13. （2021 怀化模拟）已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是
A．3 B． C．7 D．1
【分析】找出一元二次方程的系数，及的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出的值．
【解答】解：的两个解分别为、，
，，
，
解得：，
经检验，符合题意，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
14. （2021春 鱼台县月考）如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于
A．2 B． C． D．6
【分析】由已知得出，是方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算即可．
【解答】解：，是两个不相等实数，且满足，，
，是方程的两个不相等的实数根，
则，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
15. （2021 泸县模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是
A． B． C．1 D．2
【分析】先根据△得到的范围；再将所求式子变形，用韦达定理把它表示成的代数式；最后根据的范围得到所求代数式的最小值．
【解答】解：有两个实数根，
△即，
解得；
、是的两个实数根，
，，
，
当时，的值随的增大而增大，
时，的值最小为．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，涉及到二次函数单调性，比较综合．
16. （2021 九龙坡区校级模拟）如果方程的两个根为，，那么的值为
A．7 B．6 C． D．0
【分析】根据方程的两个根为，，得到，，，将变形为后代入即可求值．
【解答】解：方程的两个根为，，
，，，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【来源：21cnj*y.co*m】
17. （2020秋 雅安期末）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．2020 B． C． D．2022
【分析】由根与系数的关系可求得与的值，代入求值即可．
【解答】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
18. （2020 广汉市模拟）关于的方程的两个根是1和，则的值为
A． B．8 C．16 D．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出、的值，将其代中即可求出结论．
【解答】解：关于的方程的两个根是1和，
，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出、的值是解题的关键．
19. （2021 温江区模拟）已知，分别为一元二次方程的两个实数根，则 2021 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，即，则化简为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：为一元二次方程的根，
，
，
，分别为一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为2021．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
20. （2021 渌口区模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 4 ．
【分析】由题意得，，再代入所要求的代数式，即可得出答案．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
、，
，
故答案为4．
1. （2020 雅安）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
【分析】根据关于的一元二次方程有两个实数根，知△且，解之可得．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△且，
解得且，
故选：．
【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2. （2020 黔西南州）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．【版权所有：21教育】
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
3. （2020 台湾）若一元二次方程式的解为、，且，则之值为何？
A． B． C．11 D．17
【分析】先利用直接开平方法解方程求出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：，
，
则或，
解得，，
，
，，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4. （2020 巴中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是
A．1 B． C． D．0
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△，
解得，
则的最大整数值是0．
故选：．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
5. （2020 兰州）一元二次方程的解是
A． B． C．， D．，
【分析】利用因式分解法求得方程的解即可．
【解答】解：，
移项，得
，
提公因式，得
，
或，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查解解一元二次方程因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．
6. （2020 沈阳）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．
7. （2020 南宁）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先根据方程的一般式得出、、的值，再计算出△的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．
【解答】解：，，，
△，
有两个相等的实数根，
故选：．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8. （2020 邵阳）设方程的两根分别是，，则的值为
A．3 B． C． D．
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
由根与系数的关系：．
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率
9. （2020 湖北）关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为
A． B． C．或1 D．或4
【分析】根据方程的根的判别式，得出的取值范围，然后根据根与系数的关系可得，，
结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：关于的方程有两个实数根，
△，
解得：．
关于的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或（舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于的一元二次方程．
10. （2020 广州）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到，再判断△，从而得到方程根的情况．
【解答】解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一次方程，解为，
当时，关于的方程是二次方程，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
11. （2020 通辽）关于的方程有实数根，的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
【分析】分两种情况：时，是一元一次方程，有实数根；不等于0时，是一元二次方程，若有实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．
【解答】解：时，是一元一次方程，有实数根；
不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△，
△，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△方程有两个不相等的实数根；
（2）△方程有两个相等的实数根；
（3）△方程没有实数根．
12. （2020 潍坊）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△，然后根据非负数的性质得到△，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【解答】解：△
，
，即△，
方程总有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
13. （2020 营口）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：，
或，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
14. （2020 荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△可判断方程根的情况．
【解答】解：为实数）是关于的方程，
，
整理得，
△
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
15. （2020 张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【解答】解：
解得：或，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
16. （2020 怀化）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A． B． C． D．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的方程，解之即可得出值．
【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
17. （2020 攀枝花）若关于的方程没有实数根，则的值可以为
A． B． C．0 D．1
【分析】根据关于的方程没有实数根，判断出△，求出的取值范围，再找出符合条件的的值．
【解答】解：关于的方程没有实数根，
△，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
18. （2020 黑龙江）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
△，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个实数根”是解题的关键．
19. （2020 菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为
A．3 B．4 C．3或4 D．7
【分析】当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△，解之可得出值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意．21·cn·jy·com
【解答】解：当3为腰长时，将代入，得：，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，，
，，
符合题意；
当3为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
当时，原方程为，
解得：，
，，
符合题意．
的值为3或4．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出值是解题的关键．
20. （2020 临沂）一元二次方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：一元二次方程，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21. （2020 南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程化为，再根据可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论．
【解答】解：关于的方程为常数），
，
，
方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为，
一个正根，一个负根，
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
22. （2020 凉山州）一元二次方程的根为
A． B． C．或 D．或
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23. （2020 河南）定义运算：☆．例如：4☆，则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆，
△，
有两个不相等的实数根
故选：．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
解一元二次方程
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基础巩固
能力提升
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