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第二十二章 二次函数
考点1 二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地， ( http: / / www.21cnjy.com )形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先 ( http: / / www.21cnjy.com )是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
【例题1】 （2021 龙湾区模拟）下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：．是二次函数，故本选项符合题意；
．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
【例题2】 （2020秋 合肥期末）若是二次函数，则 ．
【分析】利用二次函数定义可得且，再解即可．
【解答】解：由题意得：且，解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
【例题3】 （2020秋 南丹县期中）若是二次函数，且开口向上，则的值为 ．
【分析】根据二次函数的定义列式求出的值，再根据开口向上可得二次项系数大于0求出的取值范围，从而得解．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：根据题意得，，
解得，
开口向上，，解得，
．故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的定义，二次函数的性质，熟记概念是解题的关键，要注意求出的取值范围．
考点2 二次函数的图像
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越 ( http: / / www.21cnjy.com )精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．21cnjy.com
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
【例题1】 （2020秋 临沭县期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除、，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除、；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，排除；
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
【例题2】 （2020秋 庐阳区期末）如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据一次函数与二次函数图象交点位置，即可判断函数的图像与轴在交点的位置．
【解答】解：一次函数与二次函数图象的交点在第二象限，
两个交点的横坐标都是负数，
函数的图像与轴的交点的横坐标都为负数，
函数的图像与轴的负半轴有两个交点，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，关键是根据图象确定出交点横坐标的符号．
【例题3】 （2020秋 合川区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】由的图象判断出，，于是得到一次函数的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
【解答】解：的图象的开口向下，
，
对称轴在轴的左侧，
，
一次函数的图象经过二，三，四象限．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断、的取值范围．
考点3 二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
【例题1】 （2020秋 灵山县期末）抛物线的对称轴是
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的对称轴是直线，然后代入数据计算即可．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【例题2】 （2020秋 卧龙区期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据抛物线的顶点在轴上，可知该抛物线顶点的纵坐标等于0，然后代入数据计算即可．
【解答】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【例题3】 （2021 河北模拟）对二次函数的性质描述正确的是
A．该函数图象的对称轴在轴左侧
B．当时，随的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
【解答】解：、对称轴为，在轴左侧，故符合题意；
、因对称轴为，时随的增大而减小，故不符合题意；
、，开口向上，故不符合题意；
、是，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴轴）交点是解决此类题的关键．21教育网
【例题4】 （2020秋 番禺区期末）抛物线与轴的交点坐标为
A． B． C． D．
【分析】令，求出的值即可．
【解答】解：令，则，
抛物线与轴的交点坐标为．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
考点4 二次函数图像与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个 ( http: / / www.21cnjy.com )交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【例题1】 （2021 宁波模拟）小甬从如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中结论正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图象易得a＞0，﹣＝，所以b＜0，2a+3b＝0，因此abc＞0，由此可以判定①③是正确的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣2b+c＞0②是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0④是正确的．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵﹣＝，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①是正确的；
对称轴x＝﹣＝，
∴3b＝﹣2a，
∴2a+3b＝0，
∴②是正确的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c＞0，
∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∴a﹣2b+c＞0
∴③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴c﹣4b＞0，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，还考查了同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质．【版权所有：21教育】
【例题2】 （2021 曹县一模）如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：（1），（2），（3）为任意实数），其中结论正确的个数为
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由抛物线开口方向和对称轴即可判断①；由时，即可判断②；由时，函数有最小值即可判断③．
【解答】解：①由图象可知：，
，
，故①正确；
②当时，，
，故②正确；
③当时，取到值最小，
，
故，即，故③正确，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
【例题3】 （2021春 龙华区月考）二次函数图象如图，下列结论中：①；②；③；④．正确的有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断可求解．
【解答】解：（1）由图象与轴有两个交点可判别，①正确；
（2）开口向下则，对称轴“左同右异”则，与轴交于正半轴则，则，②错误；
（3）由对称轴可得，则，由，可知，③错误；
（4）当时，④错误．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的图像与性质，灵活运用二次函数的性质判定是解题的关键．
【例题4】 （2021 娄星区模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数的图象，可以得到，，，对称轴在右边，时和时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照判断各个选项即可解答本题．
【解答】解：①根据函数图象的开口向下知，，
对称轴为直线在轴左边，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
．
故①正确；
②抛物线的对称轴在的右边，
，
，
，
，
，
故②错误；
③由函数图象可知，当时，，
即，
故③正确；
④，故④正确；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数图象的特点，运用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
考点5 二次函数图像上的点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．
【例题1】 （2021 郑州模拟）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系
是
A． B． C． D．
【分析】由对称轴为直线，可知，距离对称轴越近函数值越小即可．
【解答】解：对称轴为直线，
且，
到对称轴直线的距离为1，
到对称轴直线的距离为0，
到对称轴直线的距离为3，
，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据开口向上，离对称轴越近函数值越小是解决问题的关键．
【例题2】 （2021 于洪区一模）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
【解答】解：抛物线中，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
点的对称点为，
又，即、、三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
【例题3】 （2021 南平模拟）二次函数、是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
0 2 3
下列判断正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据表格中数据和二次函数的性质，可以得到、的值，从而可以直接求出、的值，即可判断．
【解答】解：当时，，
，
把代入中，得．
该二次函数解析式为．
当时，；
当时，．
．
故正确，、、皆错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解本题关键是求出二次函数解析式．
考点6 二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的 ( http: / / www.21cnjy.com )取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【例题1】 （2021 道外区一模）二次函数的最小值为2，则的值为 3 ．
【分析】先把配成顶点式得到，根据二次函数的性质得到当时，有最小值为，根据题意得，然后解方程即可．
【解答】解：，
，
当时，有最小值为，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
【例题2】 （2020秋 中站区期末）已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是 4 ．
【分析】把点代入抛物线的解析式，得到，等式两边同加得，得到关于的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：点在抛物线上，
，
，
当时，有最大值4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成用表示的形式是解题的关键．
【例题3】 （2020秋 覃塘区期末）二次函数的最大值为 5 ．
【分析】先利用配方法得到，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：，
由知当时，取得最大值5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当时，；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当时，；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【例题4】 （2020秋 番禺区校级期中）若函数，当时的最大值是，最小值是，则 9 ．
【分析】根据题意画出函数图象，即可由此找到和的值，从而求出的值．
【解答】解：原式可化为，
可知函数顶点坐标为，
当时，，
即，
解得，．
如图：，
当时，，即．
则．故答案为9．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了二次函数的最值，找到的取值范围，画出函数图象，根据图象找到的值和的值．
考点7 待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是 ( http: / / www.21cnjy.com )常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；21·世纪*教育网
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【例题1】 （2020秋 瑶海区期末）已知抛物线过点，，求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
【分析】利用待定系数法，将，的坐标代入即可求得二次函数的解析式．
【解答】解：把点，代入，
得，，
解得，
，
此抛物线解析式为：，顶点的坐标为．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【例题2】 （2020秋 越城区期末）已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断该二次函数的图象是否经过点，并解释你的判断．
【分析】（1）设二次函数的解析式为，再把代入求出的值，写出二次函数的表达式即可；
（2）把点，代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为：，
把点代入，得：，
，
函数解析式为：；
．
（2）二次函数的图象不经过点，理由如下：
当时，，
图象不经过点．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象以及二次函数图象上点的坐标特征．21*cnjy*com
考点8 二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k ( http: / / www.21cnjy.com )是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例题1】 （2021 贺兰县校级一模）用配方法将二次函数化成的形式是 ． ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】考查了二次函数的三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
【例题2】 （2021 天河区校级二模）将二次函数化成的形式应为 ．
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：
，
所以，．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
1. （2020秋 温江区校级期末）下列关于的函数一定为二次函数的是
A． B． C． D．
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、当时，不是二次函数，故此选项不合题意；
、的最高次数是3，故不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数，关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. （2020秋 肇源县期末）若函数是二次函数，那么的值是
A．2 B．或3 C．3 D．
【分析】让的次数为2，系数不为0即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
，
故选：．
【点评】二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2．
3. （2020秋 东莞市期末）如果，，，那么二次函数的图象大致是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据，，，可以得到二次函数的图象的开口方向、与轴的交点、顶点所在的位置，从而可以解答本题．
【解答】解：，，，
二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，顶点在轴右侧，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4. （2020秋 凤凰县期末）如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】由，，，推出，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在轴的右边，交轴于负半轴，由此即可判断．
【解答】解：，，，
，
抛物线的图象开口向上，对称轴在轴的右边，交轴于负半轴，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. （2020秋 涿鹿县期中）下列是抛物线的图象大致是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】利用二次函数的图象对四个选项逐一判断即可得到答案．
【解答】解：抛物线的图象，因为，所以开口向下，故错误；
抛物线的对称轴是直线，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．
6. （2020秋 大连期中）函数的图象可能是下列图象中的
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据函数，对的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．
【解答】解：在函数中，
当时，则该函数开口向下，顶点在轴左侧，抛物线与轴的负半轴相交，故选项错误；
当时，则该函数开口向上，顶点在轴左侧，抛物线与轴的正半轴相交，故选项、错误；
故选项正确；
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．
7. （2021 阿城区一模）抛物线的的对称轴为直线
A． B． C． D．
【分析】根据对称轴的公式记得即可．
【解答】解：根据题意可知，抛物线的的对称轴为
，
故选：．
【点评】本题主要考查抛物线的对称轴，二次函数的对称轴方程为．抛物线的对称轴是解题的关键．
8. （2020秋 济宁期末）关于抛物线，下列说法中错误的是
A．开口方向向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
【分析】根据二次函数性质及顶点公式，即可得到结论，也可以运用配方法将二次函数解析式化成顶点式，即可得出结论．
【解答】解：在抛物线中，，，．
，
抛物线开口方向向上，故答案是正确的．
对称轴为直线，故答案是正确的．
当时，，
顶点坐标为，故答案是正确的．
，在对称轴右侧图像是上升的，即当时，随的增大而增大．故答案是错误的．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，解题时要注意选错误的．
9. （2021 沈河区一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的是
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A．①② B．②④ C．③⑤ D．①⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．
所以．
故①正确．
②抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，
故②错误；
③抛物线对称轴为直线，
，即，
故③错误；
④抛物线与轴有两个交点，
，
，
故④错误；
⑤抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：，
，即，
故⑤正确；
故选：．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10. （2021 金牛区模拟）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数为
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据二次函数图象与系数的关系逐个判断．
【解答】解：抛物线开口向下，，
对称轴在轴左边，可得，
与轴交点在原点上方，，
，①正确；
图象上的点在轴下方，，故②不正确；
对称轴在直线右边，，而，可得，故③正确；
抛物线与轴有两个交点，得，故④正确；
正确的有①③④，
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握抛物线开口、对称轴、与轴轴交点等与、、的关系是解题的关键．
11. （2021 三水区一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D． 为任意实数）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由图象可得：，，△，，
，，故选项正确，
，故选项正确，
当时，，
，
，即，故选项正确，
当时，，
当时，有最大值为，
，
，故选项不正确，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
12. （2020秋 邛崃市期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是
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A． B． C． D．
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断的值，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：、抛物线对称轴位于轴左侧，则、同号，即．故错误．
、抛物线与轴交于正半轴3的位置，则．故错误．
、根据图象，抛物线与轴有两个交点，则，即．故正确．
、抛物线对称轴为直线，，即，故错误．
故选：．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
13. （2020秋 江阴市期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】首先根据开口方向确定，根据对称轴的位置确定，根据抛物线与轴的交点确定，则即可判断①；由时和时的函数值即可判断②③．
【解答】解：抛物线开口朝下，
，
对称轴，
，
抛物线与轴的交点在轴的上方，
，
，故①正确；
根据图象知道当时，，故②正确；
根据图象知道当时，，故③正确．
故选：．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，数形结合是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
14. （2020秋 玄武区期末）二次函数、、是常数，且的图象如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由图象可知：，，根据对称轴及与的符号关系可得，则可判断①的正误；由对称轴是直线，可判断②的正误；由当时，，可判断③的正误；由当时，，可判断④的正误．
【解答】解：由图象可知：，，
又对称轴是直线，
根据对称轴在轴左侧，，同号，可得，
，
故①错误；
对称轴是直线，
，
，
，
故②正确；
当时，，
，
故③正确；
对称轴是直线，且由图象可得：当时，，
当时，，
，
故⑤正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
15. （2021春 鹿城区校级月考）已知，，是抛物线上的点，则
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
16. （2021春 瑞安市月考）已知，，是抛物线上的点，则
A． B． C． D．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线，
图象开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
，，是抛物线上的点，
点关于对称轴的对称点是，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
17. （2020秋 肃州区期末）如果函数是二次函数，则的值是 0 ．
【分析】利用二次函数定义可得，且，再解出的值即可．
【解答】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
18. （2020秋 茂南区校级月考）已知是二次函数，则 1 ．
【分析】根据二次函数的定义得出且，再求出即可．
【解答】解：是二次函数，
且，
解得：，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
19. （2019秋 建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么 （填“”、“ ”或“” ．
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【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与的关系进而得出答案．
【解答】解：如图所示的开口大于的开口，开口向下，则，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与的关系是解题关键．
20. （2020秋 巴南区校级月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 ．
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【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
21. （2020秋 武安市期末）二次函数的最小值是
A． B． C．1 D．2
【分析】根据抛物线的开口方向，和顶点坐标，确定其顶点坐标，从而确定函数的最小值．
【解答】解：二次函数的顶点坐标为，因此当时，，
故选：．
【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标是求函数的最值的常用方法．
22. （2021 南岗区模拟）二次函数的最小值是
A． B． C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：，
当时，函数有最小值2．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当，函数最小值；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当，函数最大值．
23. （2020秋 海珠区校级期中）二次函数在范围内的最大值是
A． B． C． D．4
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：，
对称轴为直线，
在的取值范围内，当时，有最大值4，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
24. （2020 洪山区期中）二次函数在的范围内有最大值为，则的值是
A． B．3 C． D．
【分析】首先把二次函数转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在内有最大值，得到，解得即可．
【解答】解：把二次函数转化成顶点坐标式为，
又知二次函数的开口向下，对称轴为，
故当时，二次函数有最大值为，
故，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
25. （2020秋 西林县期中）将二次函数化为的形式为
A． B．
C． D．
【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：，即，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
26. （2019秋 濉溪县期末）二次函数化为的形式，结果正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式、、为常数，；顶点式，顶点坐标为；交点式，、为抛物线与轴交点的横坐标．
27. （2019春 西湖区校级月考）将化成的形式为
A． B． C． D．
【分析】根据配方法整理即可得解．
【解答】解：
，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
1. （2020 东明县二模）在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】分及两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当时，函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象开口向下，
选项不符合题意；
当时，，
函数的图象经过第二、三、四象限，函数的图象开口向上，且对称轴在轴左侧，选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，分及两种情况考虑两函数的图象是解题的关键．
2. （2018秋 福田区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】可先根据二次函数的图象判断、的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：由二次函数图象，得出，，，
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．21·cn·jy·com
3. （2019 南沙区校级模拟）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能大致是
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】首先根据一次函数图象得出，的值，进而利用二次函数性质即可解决问题．
【解答】解：一次函数的图象经过一三四象限，
，，
故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，交轴于负半轴，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出，的值是解题关键．
4. （2021 泉州模拟）已知二次函数，当时，，则的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得的取值范围．
【解答】解：二次函数，
该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值，
当时，，当时，或，
，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5. （2020秋 宁津县期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中错误的结论有 21*cnjy*com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对①②进行判断；由于时，，再利用得到，则可对③④进行判断．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①②正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，
，
，
，，
，所以③错误；④正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
6. （2021 大石桥市一模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是
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A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【分析】由图象可知，，，对称轴，即；①当时，；②当时，；③；④当时，；⑤．
【解答】解：由图象可知，，，
对称轴，
，
①当时，，
，故正确；
②当时，，
，故正确；
③，故正确；
④由图可知当时，，
，故正确；
⑤，故正确；
①②③④⑤正确，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
7. （2021春 鼓楼区校级月考）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、，、，则、、为的大小关系是 2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【分析】由解析式可知抛物线开口向下，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数的图象经过点、、、
抛物线开口向下，点关于对称轴的对称点在5与6之间，
对称轴的取值范围为，
点到对称轴的距离最小，点到对称轴的距离最大，
，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
8. （2021 薛城区一模）若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由已知确定对称轴所在的范围，再根据离对称轴水平距离的大小即可得到答案．
【解答】解：图象大致如图：
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二次函数的图象过、、，
，
②①得：④，
③②得：⑤，
④⑤得：，
，
把代入⑤得：，
，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口向上，
离对称轴水平距离越小，对应函数值越小，
而，
，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是确定对称轴所在的范围．
9. （2020秋 淅川县期末）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由点、的对称性，可求函数的对称轴为，再由、，、与对称轴的距离，即可判断．
【解答】解：二次函数的图象经过、，
开口向上，对称轴为直线，
、，、与对称轴的距离最远，最近，
；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
10. （2020秋 丹阳市期末）二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表：
0 1 3
3 5 3
则代数式的值为
A． B． C．9 D．15
【分析】由当和时值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线，进而可得出的值，由时，可得出当时，即，再将及代入中即可求出结论．
【解答】解：当和时，值相等，
二次函数图象的对称轴为直线，
．
当时，，
当时，，
．
．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出和的值是解题的关键．
11. （2019 武汉模拟）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】利用配方法可找出：当时，取得最小值，最小值为；代入可求出或4，再结合“当时，的最小值为，最大值为3”，即可找出的取值范围．
【解答】解：，
当时，取得最小值，最小值为；
当时，有，
解得：，，
当或4时，．
又当时，的最小值为，最大值为3，
．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的最值及二次函数图象上点的坐标特征，找出是解题的关键．
12. （2018秋 和平区期末）当时，函数的最小值为4，则的值为
A． B．4 C．4或3 D．或3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值4，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值4，
或，
或，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
13. （2019 历城区二模）当时，关于的二次函数有最大值4，则实数的值为
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
【分析】分类讨论：，，，根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：当，时，，解得（舍，
当，时，，解得；
当，时，，
解得，
综上所述：的值为或2，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
14. （2020秋 马鞍山期末）当时，函数的最小值为1，则的值为 0或3 ．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值1，
或，
或，
故答案为：0或3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
15. （2020秋 中山市校级期中）二次函数在范围内的最小值为 1 ．
【分析】根据二次函数的性质，可以得到在范围内，该函数的最小值．
【解答】解：二次函数，
当时，随的增大而增大，
在范围内，当时，取得最小值，此时，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16. （2020秋 余杭区期中）二次函数，当时，的最大值是 35 ，最小值是 ．
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
在内，时，有最小值，时有最大值，分别是和．
故答案为：35，3．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
17. （2021春 无为市月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若为直线上方的抛物线上一点，且点的横坐标为，求四边形的面积关于点横坐标的函数解析式，并求的最大值．
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【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可求的值，可求点坐标，利用待定系数法可求解；
（2）过点做轴于点，与直线交于点，求得的坐标和的坐标，然后根据得到关于的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，
，
，
直线解析式为：，
当时，，
点，
抛物线经过点，，
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过点做轴于点，与直线交于点，
点的横坐标为，
点的坐标为，
点在直线上，
点的坐标为，
，
在中．令．则，
解得，，
点的坐标为，
，
当时，最大，最大值为．
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【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．21世纪教育网版权所有
18. （2021 河南二模）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，．2·1·c·n·j·y
（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标．
（2）垂直于轴的直线与直线交于点，，与抛物线相交于点，，，．若，结合函数图象，求的取值范围．21教育名师原创作品
【分析】（1）首先求得、点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线顶点坐标；
（2）如图，当直线在直线与直线之间时，，求出直线经过点、点时的的值即可解决问题．
【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于点，，
，
抛物线经过、两点，可得
，解得，
抛物线解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为；；
（2）如图，
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垂直于轴的直线与抛物线相交于点，，，．
，
抛物线，
抛物线的对称轴为：，
当直线经过点时，，，此时，
当直线经过点时，抛物线的顶点坐标为；，
，
此时，，
直线的解析式为，
时，即，
此时，
当直线在直线与直线之间时，，
．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等 ( http: / / www.21cnjy.com )知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（2）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．
19. （2021 商城县一模）如图，抛物线与轴负半轴，轴负半轴分别交于点，点，，它的对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）是直线上方对称轴上的一动点，过点作于点，若，求点的坐标．
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【分析】（1）由题意可知的坐标为，代入解析式即可求得的值，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）先设的坐标为，则可计算，由直线的解析式与对称轴直线可计算出其交点坐标，则可计算，由题意可知是等腰直角三角形，，，即可算出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，
，
，且点在轴负半轴上，
，
把，代入得，，
解得，（舍去），
抛物线为，
，
顶点为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
设点，如图，
则，
设直线的解析式为，
把，代入上式得，
，
解得，
直线得解析式为，
取直线与对称轴直线的交点为，
则，
点在直线的上方，
，
，
又，，
，
又，
，
，
，
即，
解得．，
点的坐标为或．
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【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据等腰直角三角形的性质列式计算是解决本题的关键．
20. （2021 温州一模）已知抛物线．
（1）若抛物线顶点在轴上，求该抛物线的表达式．
（2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解方程得到满足条件的的值，从而确定抛物线解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质：当点、点都在对称轴的右边时，有，则；当点、点在对称轴的两侧时，即，利用点到直线的距离小于点到直线的距离得到，从而确定此时的范围，然后综合两种情况得到的范围．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得，，
，
，
抛物线解析式为；
（2）抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
当点、点都在对称轴的右边时，，此时；
当点、点在对称轴的两侧时，即，，则，解得，此时的范围为，
综上所述，的范围为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
1. （2019 岳阳）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点、，且，则的取值范围是 【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【分析】由函数的不动点概念得出、是方程的两个实数根，由知△且时，据此得，解之可得．
【解答】解：由题意知二次函数有两个相异的不动点、是方程的两个不相等实数根，
且，
整理，得：，
由有两个不相等的实数根，且，知△，
令，画出该二次函数的草图如下：
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则，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于的不等式．
2. （2019 成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是
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A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【分析】二次函数
①常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
②抛物线与轴交点个数．
△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
【解答】解：．由于二次函数的图象与轴交于正半轴，所以，故错误；
．二次函数的图象与轴由2个交点，所以，故错误；
．当时，，即，故错误；
．因为，，所以对称轴为直线，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
3. （2019 陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的对称轴为
A． B． C． D．
【分析】根据平移的规律，得到平移后的解析式，根然后把代入得到关于的方程，解方程求得的值即可确定对称轴．
【解答】解：抛物线右移4个单位得到：，
平移后的抛物线与轴的交点为，
，
解得：，
平移后的抛物线，
对称轴：，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出顶点坐标是解题的关键．
4. （2019 阿坝州）二次函数的图象如图所示，则直线不经过的象限是
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先由二次函数的图象确定、的符号，再求出一次函数的图象所过的象限，即可得出答案．
【解答】解：由图象可知：
对称轴在轴右侧，
对称轴，
，
抛物线与轴的交点为在轴的正半轴上，
，
一次函数的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，本题将二次函数与一次函数综合在一起进行考查，增加了题目的研究性，也是中考中的热点题型．
5. （2019 德阳）对于二次函数，在下列几种说法中：①当时．随的增大而减小；②若函数的图象与轴有交点，则；③若，则二次函数的图象在轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转，则旋转后的函数图象的顶点坐标为，其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向可判断函数的增减变化；根据判别式△可得的取值范围；当时，解方程可得其与轴的交点坐标；将原抛物线解析式写成顶点式，得其顶点坐标，则易得旋转之后的函数图象的顶点坐标．
【解答】解：抛物线的对称轴为，且开口向上
当时．随的增大而减小，故①正确；
当△，即时，函数图象与轴有交点，故②错误；
当时，，解方程，得，
函数图象与轴交于、
函数图象开口向上
当时，函数图象在轴下方，故③正确；
顶点坐标为
函数图象绕坐标原点旋转后，顶点坐标为，故④正确．
综上，正确的有①③④
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，明确二次函数的对称性及其与轴的交点与一元二次方程的根的关系，同时明确二次函数的顶点式及其旋转后的顶点变化等知识点，这是解题的关键．
6. （2019 济南）关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是，
二次函数的图象过点，
，
，
而，
则，，
二次函数的图象的顶点在第一象限，
，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：，
故：，
故选：．
【点评】主要考查图象与二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )系数之间的关系，会利用抛物线顶点坐标所在象限确定系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换，方程根的代数意义的熟练运用．
7. （2019 阜新）如图，二次函数的图象过点和点，则下列说法正确的是
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A． B． C． D．
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用对称轴在轴的右侧得到，利用抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对进行判断；利用当时，可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对进行判断．www.21-cn-jy.com
【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴的右侧，
和异号，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以选项错误；
当时，，
，所以选项错误；
抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，所以选项正确；
抛物线与轴有2个交点，
△，
即，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点个数：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
8. （2019 葫芦岛）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】可先根据二次函数的图象判断、的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：由二次函数图象，得出，，，
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故错误；
、一次函数图象，得，，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9. （2019 日照）如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：
①；②；③有两个相等的实数根；④．其中正确结论的序号为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出，
与轴的交点为在轴的负半轴上可推出，
对称轴为，，得，
故，故①正确；
由对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点交于，之间，则另一个交点在，之间，
所以当时，，
所以，故②错误；
抛物线与轴的交点为，由图象知二次函数图象与直线有两个交点，
故有两个不相等的实数根，故③错误；
由对称轴为直线，由图象可知，
所以，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
10. （2019 西藏）把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是，
所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点，
即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象．
故选：．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
11. （2019 淄博）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】先利用配方法将化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将代入得到一元二次方程，然后根据判别式△列出不等式，求出的取值范围．
【解答】解：，
将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为，即，
将代入，得，即，
由题意，得△，解得．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数与一元二次方程的关系，一元一次不等式的解法，正确求出平移后的解析式是解题的关键．
12. （2019 百色）抛物线可由抛物线如何平移得到的
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：因为．
所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线．
故选：．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
22.1
二次函数的图象与性质
知识梳理
例题剖析
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第二十二章 二次函数
考点1 二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右 ( http: / / www.21cnjy.com )边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【出处：21教育名师】
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
【例题1】 （2021 龙湾区模拟）下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
【例题2】 （2020秋 合肥期末）若是二次函数，则 ．
【例题3】 （2020秋 南丹县期中）若是二次函数，且开口向上，则的值为 ．
考点2 二次函数的图像
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越 ( http: / / www.21cnjy.com )精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．21·cn·jy·com
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
【例题1】 （2020秋 临沭县期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【例题2】 （2020秋 庐阳区期末）如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【例题3】 （2020秋 合川区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
考点3 二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
【例题1】 （2020秋 灵山县期末）抛物线的对称轴是
A． B． C． D．
【例题2】 （2020秋 卧龙区期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为
A．2 B．4 C． D．
【例题3】 （2021 河北模拟）对二次函数的性质描述正确的是
A．该函数图象的对称轴在轴左侧
B．当时，随的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴
【例题4】 （2020秋 番禺区期末）抛物线与轴的交点坐标为
A． B． C． D．
考点4 二次函数图像与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．21教育名师原创作品
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个 ( http: / / www.21cnjy.com )交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【例题1】 （2021 宁波模拟）小甬 ( http: / / www.21cnjy.com )从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中结论正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题2】 （2021 曹县一模）如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：（1），（2），（3）为任意实数），其中结论正确的个数为
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A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例题3】 （2021春 龙华区月考）二次函数图象如图，下列结论中：①；②；③；④．正确的有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题4】 （2021 娄星区模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点5 二次函数图像上的点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．21世纪教育网版权所有
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．
【例题1】 （2021 郑州模拟）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系
是
A． B． C． D．
【例题2】 （2021 于洪区一模）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【例题3】 （2021 南平模拟）二次函数、是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
0 2 3
下列判断正确的是
A． B． C． D．
考点6 二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的 ( http: / / www.21cnjy.com )取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
【例题1】 （2021 道外区一模）二次函数的最小值为2，则的值为 ．
【例题2】 （2020秋 中站区期末）已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是 ．
【例题3】 （2020秋 覃塘区期末）二次函数的最大值为 ．
【例题4】 （2020秋 番禺区校级期中）若函数，当时的最大值是，最小值是，则 ．
考点7 待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y=ax2+bx+c（a， ( http: / / www.21cnjy.com )b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题 ( http: / / www.21cnjy.com )目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
【例题1】 （2020秋 瑶海区期末）已知抛物线过点，，求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
【例题2】 （2020秋 越城区期末）已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断该二次函数的图象是否经过点，并解释你的判断．
考点8 二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k ( http: / / www.21cnjy.com )是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（ ( http: / / www.21cnjy.com )a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例题1】 （2021 贺兰县校级一模）用配方法将二次函数化成的形式是 ．
【例题2】 （2021 天河区校级二模）将二次函数化成的形式应为 ．
1. （2020秋 温江区校级期末）下列关于的函数一定为二次函数的是
A． B． C． D．
2. （2020秋 肇源县期末）若函数是二次函数，那么的值是
A．2 B．或3 C．3 D．
3. （2020秋 东莞市期末）如果，，，那么二次函数的图象大致是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4. （2020秋 凤凰县期末）如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是 21·世纪*教育网
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5. （2020秋 涿鹿县期中）下列是抛物线的图象大致是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6. （2020秋 大连期中）函数的图象可能是下列图象中的
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7. （2021 阿城区一模）抛物线的的对称轴为直线
A． B． C． D．
8. （2020秋 济宁期末）关于抛物线，下列说法中错误的是
A．开口方向向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
9. （2021 沈河区一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的是 www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②④ C．③⑤ D．①⑤
10. （2021 金牛区模拟）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11. （2021 三水区一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D． 为任意实数）
12. （2020秋 邛崃市期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
13. （2020秋 江阴市期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14. （2020秋 玄武区期末）二次函数、、是常数，且的图象如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为 www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15. （2021春 鹿城区校级月考）已知，，是抛物线上的点，则
A． B． C． D．
16. （2021春 瑞安市月考）已知，，是抛物线上的点，则
A． B． C． D．
17. （2020秋 肃州区期末）如果函数是二次函数，则的值是 ．
18. （2020秋 茂南区校级月考）已知是二次函数，则 ．
19. （2019秋 建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么 （填“”、“ ”或“” ．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
20. （2020秋 巴南区校级月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 ．
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21. （2020秋 武安市期末）二次函数的最小值是
A． B． C．1 D．2
22. （2021 南岗区模拟）二次函数的最小值是
A． B． C．1 D．2
23. （2020秋 海珠区校级期中）二次函数在范围内的最大值是
A． B． C． D．4
24. （2020 洪山区期中）二次函数在的范围内有最大值为，则的值是
A． B．3 C． D．
25. （2020秋 西林县期中）将二次函数化为的形式为
A． B．
C． D．
26. （2019秋 濉溪县期末）二次函数化为的形式，结果正确的是
A． B．
C． D．
27. （2019春 西湖区校级月考）将化成的形式为
A． B． C． D．
1. （2020 东明县二模）在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2. （2018秋 福田区校级期末）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3. （2019 南沙区校级模拟）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能大致是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4. （2021 泉州模拟）已知二次函数，当时，，则的取值范围为
A． B． C． D．
5. （2020秋 宁津县期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中错误的结论有 【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. （2021 大石桥市一模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
7. （2021春 鼓楼区校级月考）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、，、，则、、为的大小关系是 21*cnjy*com
A． B． C． D．
8. （2021 薛城区一模）若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
9. （2020秋 淅川县期末）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
10. （2020秋 丹阳市期末）二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表：
0 1 3
3 5 3
则代数式的值为
A． B． C．9 D．15
11. （2019 武汉模拟）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为
A． B． C． D．
12. （2018秋 和平区期末）当时，函数的最小值为4，则的值为
A． B．4 C．4或3 D．或3
13. （2019 历城区二模）当时，关于的二次函数有最大值4，则实数的值为
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
14. （2020秋 马鞍山期末）当时，函数的最小值为1，则的值为 ．
15. （2020秋 中山市校级期中）二次函数在范围内的最小值为 ．
16. （2020秋 余杭区期中）二次函数，当时，的最大值是 35 ，最小值是 ．
17. （2021春 无为市月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若为直线上方的抛物线上一点，且点的横坐标为，求四边形的面积关于点横坐标的函数解析式，并求的最大值．21教育网
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18. （2021 河南二模）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，．21cnjy.com
（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标．
（2）垂直于轴的直线与直线交于点，，与抛物线相交于点，，，．若，结合函数图象，求的取值范围．
19. （2021 商城县一模）如图，抛物线与轴负半轴，轴负半轴分别交于点，点，，它的对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）是直线上方对称轴上的一动点，过点作于点，若，求点的坐标．
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20. （2021 温州一模）已知抛物线．
（1）若抛物线顶点在轴上，求该抛物线的表达式．
（2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
1. （2019 岳阳）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点、，且，则的取值范围是 【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
2. （2019 成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
3. （2019 陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的对称轴为
A． B． C． D．
4. （2019 阿坝州）二次函数的图象如图所示，则直线不经过的象限是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. （2019 德阳）对于二次函数，在下列几种说法中：①当时．随的增大而减小；②若函数的图象与轴有交点，则；③若，则二次函数的图象在轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标【版权所有：21教育】
原点旋转，则旋转后的函数图象的顶点坐标为，其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6. （2019 济南）关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是
A． B． C． D．
7. （2019 阜新）如图，二次函数的图象过点和点，则下列说法正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8. （2019 葫芦岛）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9. （2019 日照）如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：
①；②；③有两个相等的实数根；④．其中正确结论的序号为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
10. （2019 西藏）把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
11. （2019 淄博）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
12. （2019 百色）抛物线可由抛物线如何平移得到的
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
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22.1
二次函数的图象与性质
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
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