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第二十二章 二次函数
考点1 抛物线与x轴的交点
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b， ( http: / / www.21cnjy.com )c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．www.21-cn-jy.com
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．21*cnjy*com
△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．21教育名师原创作品
考点2 图像法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
考点3 二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不 ( http: / / www.21cnjy.com )变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21世纪教育网版权所有
【例题1】 （2021春 台江区校级月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．， B．， C．， D．，
【例题2】 在平面直角坐标系中，已知函数，，．设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，则
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例题3】 （2020秋 元阳县期末）关于二次函数，下列说法正确的是
A．图象的对称轴为直线
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为
【例题4】 （2021 金堂县模拟）二次函数的部分对应值如表，则方程的解是
0 1 2
0 3 4 3
A． B．， C．， D．，
【例题5】 （2021 禅城区校级一模）二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表：
0 1 3
3 5 3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为；③当时，随的增大而减少；④3是方程的一个根．其中正确的个数为 21*cnjy*com
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例题6】 （2021 南岗区校级二模）将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是
A．向左平移3个单位，向上平移4个单位
B．向左平移3个单位，向下平移4个单位
C．向右平移3个单位，向上平移4个单位
D．向右平移3个单位，向下平移4个单位
【例题7】 （2021 苏州）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是
A．或2 B． C．2 D．
1. （2021 平房区三模）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为
A． B． C． D．
2. （2021 道外区二模）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是
A． B． C． D．
3. （2021 龙湾区二模）二次函数图象平移后经过点，则下列可行的平移方法是
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
4. （2021春 道里区校级月考）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为
A． B． C． D．
5. （2020秋 庐阳区期末）把的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的的图象，则和的值分别为
A．1，3 B．3， C．1， D．3，
6. （2021 莲湖区二模）若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于、两点，若的长是6，则该抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
7. （2021 杭州模拟）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．或
8. （2021 绥宁县一模）二次函数为常数）与轴的交点个数为
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
9. （2021 广州模拟）对于二次函数，是常数）中自变量与函数的部分对应值如下表：
0 1 2 3 4
10 5 2 1 2 5
下列结论错误的是
A．函数图象开口向上
B．当时，
C．当时，随的增大而增大
D．方程有两个不相等的实数根
10.
11. （2020秋 禅城区期末）如下表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到为 21·cn·jy·com
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
0.56 1.25
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
12. （2020秋 濮阳期末）如表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是
A． B． C． D．
13. （2020秋 张店区期末）表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么方程的一个根的近似值可能是 21教育网
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
14. （2020秋 驿城区期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19
15. （2019秋 宜昌期中）已知二次函数中和的值如下表
0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
0.9 1.8
则的一个根的范围是
A． B． C． D．
16. （2018秋 伍家岗区期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.59 1.16
已知方程的一个近似根是1.2，则可能值范围为
A． B． C． D．
1. （2021 眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为 21cnjy.com
A． B． C． D．
2. （2021 无为市三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为、、、，若抛物线向下平移个单位长度与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的值不可能是 2·1·c·n·j·y
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A．5 B．6 C．35 D．36
3. （2021 碑林区校级二模）将一段抛物线的向右平移9个单位，得到一段新抛物线，若直线与这一段新抛物线有唯一的公共点，则的取值范围是
A． B．
C．或 D．
4. （2021 石家庄模拟）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，则的值为 【来源：21·世纪·教育·网】
A．27 B．9 C． D．
5. （2021 余杭区二模）已知二次函数的图象与轴交于，
A．若，则对称轴在轴右侧 B．若，则对称轴在轴左侧
C．若，则对称轴在轴右侧 D．若，则对称轴在轴左侧
6. （2021 上城区校级一模）二次函数第一象限的图象上有两点，，关于二次函数为任意实数）与轴交点个数判断错误的是
A．若，则与轴可能没有交点
B．若，则与轴必有2个交点
C．若，则与轴必有2个交点
D．若，则与轴必有2个交点
7. （2021 章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为（如图所示），当直线与图象有4个交点时，则的取值范围是 www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
8. （2021 莱芜区模拟）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
9. （2021 杭州模拟）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有4个交点，则的取值范围为 【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
10. （2021 石景山区一模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为；②若点在这个二次函数图象上，则；
③该二次函数图象与轴的另一个交点为；④当时，．
所有正确结论的序号是
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A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11. （2021 碑林区校级一模）老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是 21·世纪*教育网
0 1 3 5
7 0 7
A．抛物线的对称轴为直线
B．是方程的一个根
C．当时，
D．若，，，是该抛物线上的两点，则
12. （2020秋 恩施市期中）根据下列表格的对应值，判断，，，为常数）的一个解的取值范围是 【出处：21教育名师】
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
1. （2019 莱芜区）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则的值为 【版权所有：21教育】
A．或 B．或2 C．或2 D．或
2. （2019 梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
3. （2019 荆门）抛物线与坐标轴的交点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共3小题）
4. （2019 兴安盟）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
5. （2019 武汉）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ．
6. （2019 泰安）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 ．
三．解答题（共1小题）
7. （2019 云南）已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．
（1）求的值；
（2）若点在抛物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．
22.2
二次函数与一元二次方程
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
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第二十二章 二次函数
考点1 抛物线与x轴的交点
求二次函数y=ax2+bx+c（ ( http: / / www.21cnjy.com )a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
考点2 图像法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
考点3 二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不 ( http: / / www.21cnjy.com )变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【例题1】 （2021春 台江区校级月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．， B．， C．， D．，
【考点】抛物线与轴的交点
【专题】推理能力；一元二次方程及应用
【分析】关于的一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
【解答】解：根据图象知，抛物线与轴的一个交点是，对称轴是直线．
设该抛物线与轴的另一个交点是．
则，
解得，，
即该抛物线与轴的另一个交点是．
所以关于的一元二次方程的根为，．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点．解题时，注意抛物线与关于的一元二次方程间的转换．
【例题2】 在平面直角坐标系中，已知函数，，．设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，则
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力
【分析】根据抛物线与轴交点个数由的符号决定即可判断．
【解答】解：在中，
，
抛物线与轴没有交点，
；
在中，
，
抛物线与轴有1个交点，
；
在中，
，
抛物线与轴有2个交点，
；
故选：．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点情况，熟练掌握的符号决定了抛物线与轴的交点情况是解题的关键．2-1-c-n-j-y
【例题3】 （2020秋 元阳县期末）关于二次函数，下列说法正确的是
A．图象的对称轴为直线
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】对于，令，解得或，令，则，即可求解．
【解答】解：对于，
令，解得或，令，则，
故抛物线和轴的交点坐标为、，函数的对称轴为直线，
，则抛物线有最小值为，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【例题4】 （2021 金堂县模拟）二次函数的部分对应值如表，则方程的解是
0 1 2
0 3 4 3
A． B．， C．， D．，
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力
【分析】方程的解为时二次函数的的值，根据图表即可得出此方程的解．
【解答】解：根据图表可得：抛物线的对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
方程的解是，．
故选：．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，明确方程的解为时二次函数的的值是解题的关键．
【例题5】 （2021 禅城区校级一模）二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表：
0 1 3
3 5 3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为；③当时，随的增大而减少；④3是方程的一个根．其中正确的个数为 21世纪教育网版权所有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴和开口方向，进而求解．
【解答】解：①由表格数据可知，和的函数值都是3，
二次函数的对称轴为直线，
从表格看，对称轴右侧，随的增大而减小，故抛物线开口向下，
故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，
故②错误，不符合题意；
③由①知，时，随的增大而减小，
故当时，随的增大而减小，正确，符合题意；
④方程可化为方程，
由表格数据可知，时，，则3是方程的一个根，从而也是方程的一个根，
故本选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【例题6】 （2021 南岗区校级二模）将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是
A．向左平移3个单位，向上平移4个单位
B．向左平移3个单位，向下平移4个单位
C．向右平移3个单位，向上平移4个单位
D．向右平移3个单位，向下平移4个单位
【考点】二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线的顶点为，平移后的抛物线顶点为，由顶点的平移规律确定抛物线的平移规律．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
点需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点．
抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．
故选：．
【点评】此题考查二次函数与几何变换问题，在寻找图形的平移规律时，往往需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律．【来源：21cnj*y.co*m】
【例题7】 （2021 苏州）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 21教育名师原创作品
A．或2 B． C．2 D．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，求得的值．
【解答】解：抛物线的对称轴在轴右侧，
，
．
抛物线．
将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：，
将代入，得，
解得（舍去），．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．
1. （2021 平房区三模）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为 【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为，向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么新抛物线的顶点为；21·世纪*教育网
可设新抛物线的解析式为，代入得：．
故选：．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
2. （2021 道外区二模）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是，即．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3. （2021 龙湾区二模）二次函数图象平移后经过点，则下列可行的平移方法是
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：，
、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
4. （2021春 道里区校级月考）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为 www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为：，即．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5. （2020秋 庐阳区期末）把的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的的图象，则和的值分别为
A．1，3 B．3， C．1， D．3，
【考点】二次函数图象与几何变换
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是，则向左平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为：，
平移后抛物线的解析式为．
又平移后抛物线的解析式为．
，，
，，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
6. （2021 莲湖区二模）若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于、两点，若的长是6，则该抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【专题】数据分析观念；二次函数图象及其性质
【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，解得，
故抛物线的表达式为，
令，解得，
则，
解得，
故抛物线的表达式为，
当时，，
故顶点的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
7. （2021 杭州模拟）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是 2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．或
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8. （2021 绥宁县一模）二次函数为常数）与轴的交点个数为
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
【考点】抛物线与轴的交点
【专题】运算能力；二次函数图象及其性质
【分析】先求出△的取值范围，根据△的取值范围即可求出函数图象与轴交点的个数．
【解答】解：△，
抛物线与轴有2个交点．
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，能根据抛物线的解析式得到△的取值范围是解答此题的关键．
9. （2021 广州模拟）对于二次函数，是常数）中自变量与函数的部分对应值如下表：
0 1 2 3 4
10 5 2 1 2 5
下列结论错误的是
A．函数图象开口向上
B．当时，
C．当时，随的增大而增大
D．方程有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．21cnjy.com
【解答】解：．由表格可得，当时，随的值增大而减小；当时，随的值增大而增大，
该函数开口向上，故选项正确，不符合题意；
．由表格可得，当和点时，，故该抛物线的对称轴是直线．
点的对称点是，
点在该函数的图象上，故选项正确，不符合题意；
．由的分析知，正确，不符合题意；
．由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与轴没有交点，
方程无实数根，故选项错误，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21*cnjy*com
10. （2020秋 禅城区期末）如下表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到为
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
0.56 1.25
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【考点】二次函数的性质；图象法求一元二次方程的近似根
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力
【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由更接近于0即可得出结论．
【解答】解：当时，；当时，．
更接近于0，
方程的一个近似根为2.3．
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．21教育网
11. （2020秋 濮阳期末）如表是二次函数的几组对应值：
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
根据表中数据判断，方程的一个解的范围是
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当取6.18与6.19之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为．
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．
12. （2020秋 张店区期末）表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么方程的一个根的近似值可能是
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
【解答】解：时，；时，；
抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，
方程有一个根约为1.2．
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：通过表中数据确定抛物线与轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
13. （2020秋 驿城区期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【分析】设，根据表格，可以看出在上的值随的增大而增大，根据函数是增减性性，来确定一元二次方程的一个近似解．
【解答】解：令，根据表格，可以看出在上的值随的增大而增大，
当，即时，的值域取值范围是，它对应的定义域是，
与0.96相比，更接近于1.19，
方程的定义域更接近于1.7．
故选：．
【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．
14. （2019秋 宜昌期中）已知二次函数中和的值如下表
0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
0.9 1.8
则的一个根的范围是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点；：图象法求一元二次方程的近似根
【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力
【分析】由表格可发现的值和0.9最接近0，再看对应的的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当取0.12与0.13之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为．
故选：．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
15. （2018秋 伍家岗区期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.59 1.16
已知方程的一个近似根是1.2，则可能值范围为
A． B． C． D．
【考点】：图象法求一元二次方程的近似根
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】观察表格可得更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：根据二次函数图象的对称性，观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
，
故选：．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
1. （2021 眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．
【解答】解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
抛物线的顶点坐标是．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．21·cn·jy·com
2. （2021 无为市三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为、、、，若抛物线向下平移个单位长度与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的值不可能是
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A．5 B．6 C．35 D．36
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；正方形的性质
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入的横坐标和的横坐标求得对应的函数值，即可求得的取值范围．
【解答】解：设平移后的解析式为，
将点坐标代入，得
，解得，
将点坐标代入，得
，解得，
向下平移个单位与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是，
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了正方形性质和二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，把，的坐标代入是解题关键．【版权所有：21教育】
3. （2021 碑林区校级二模）将一段抛物线的向右平移9个单位，得到一段新抛物线，若直线与这一段新抛物线有唯一的公共点，则的取值范围是
A． B．
C．或 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的性质
【专题】推理能力；几何直观；二次函数图象及其性质
【分析】根据平移的规律求得平移后的解析式，然后画出函数的图形，利用图象法解决即可．
【解答】解：将一段抛物线的向右平移9个单位，得到一段新抛物线为
当直线经过时有两个公共点，此时，
当直线经过时有一个公共点，此时，
解，整理得，
若直线与新抛物线有1个公共点，
则△，
解得，
所以，当或时，直线与新抛物线有1个公共点，
故选：．
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【点评】本题考查抛物线与轴交点、二次函数的图象以及平移等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
4. （2021 石家庄模拟）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，则的值为
A．27 B．9 C． D．
【考点】抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，则根据抛物线的对称性得到和时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与轴的交点坐标为，，最后把代入可求得的值．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
和时，函数值相等，
当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，
抛物线与轴的交点坐标为，，
把代入得，解得．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5. （2021 余杭区二模）已知二次函数的图象与轴交于，
A．若，则对称轴在轴右侧 B．若，则对称轴在轴左侧
C．若，则对称轴在轴右侧 D．若，则对称轴在轴左侧
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数的性质
【专题】应用意识；函数思想
【分析】将图象与轴交代入函数关系式得出系数与的关系式，用带的代数式表示出对称轴，再判断选项即可．
【解答】解：将点代入函数关系式得，
，
即，
又对称轴，
当时，对称轴，
故对称轴在轴的左侧，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
6. （2021 上城区校级一模）二次函数第一象限的图象上有两点，，关于二次函数为任意实数）与轴交点个数判断错误的是
A．若，则与轴可能没有交点
B．若，则与轴必有2个交点
C．若，则与轴必有2个交点
D．若，则与轴必有2个交点
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】由点、在二次函数第一象限的图象上，得到，由△，即可求解．
【解答】解：点、在二次函数第一象限的图象上，
则且，即，
对于函数函数，△，
当时，△，
故，则与轴必有2个交点正确，故正确，不符合题意；
当时，同理可得：△，
，，
，
△，故正确，不符合题意；
当时，同理可得：△，故错误，符合题意；
同理可得：正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，确定、的数量关系是本题解题的关键．
7. （2021 章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为（如图所示），当直线与图象有4个交点时，则的取值范围是
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A． B． C． D．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围．
【解答】解：如图，当时，，解得，，则，，
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将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
8. （2021 莱芜区模拟）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是
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A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与轴的交点
【专题】函数思想；应用意识
【分析】根据图象可以判断当直线在过和与相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【解答】解：，
令，
即，
解得或3，
则，，
由于将向右平移两个单位得到，
则的解析式为，
由图象知当直线在过和与相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
①当与相切时，
令，
即，
△，
解得，
②当过点时，
即，
解得，
综上，当时，直线与、共有3个不同的交点，
故选：．
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【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的知识，正确找出临界值是解题的关键．
9. （2021 杭州模拟）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有4个交点，则的取值范围为
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点
【专题】几何直观；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】如图所示，过点作直线，将直线向下平移到恰在点处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点处相切，此时与新图象也有三个公共点，
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令，解得：或6，即点坐标，
将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，
△，解得：，
当一次函数过点时，将点坐标代入：得：，解得：，
综上，直线与这个新图象有4个公共点，则的值为；
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
10. （2021 石景山区一模）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为；
②若点在这个二次函数图象上，则；
③该二次函数图象与轴的另一个交点为；
④当时，．
所有正确结论的序号是
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A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】根据函数图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为，抛物线和轴的一个交点坐标为，
则设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
故抛物线的表达式为，故①错误，不符合题意；
②从点、的横坐标看，点距离抛物线对称轴远，故正确，符合题意；
③抛物线的对称轴为直线，抛物线和轴的一个交点坐标为，则另外一个交点为，
故③正确，符合题意；
④从图象看，当时，，故④错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
11. （2021 碑林区校级一模）老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是
0 1 3 5
7 0 7
A．抛物线的对称轴为直线
B．是方程的一个根
C．当时，
D．若，，，是该抛物线上的两点，则
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【专题】应用意识；二次函数图象及其性质
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：、由表格可知：抛物线的对称轴为直线，故此选项正确，不符合题意；
、当时，，则是方程的一个根，故此选项正确，不符合题意；
、由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确，不符合题意；
、抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，若，，，是该抛物线上的两点，分两种情况：当与在对称轴左侧时，则，当与在对称轴右侧时，则，故此选项不正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. （2020秋 恩施市期中）根据下列表格的对应值，判断，，，为常数）的一个解的取值范围是
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间．
【解答】解：当时，；
当时，；
方程的一个解的范围是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了用函数的图象求一元二次方程的近似根，要用到数形结合思想，应熟练掌握．
1. （2019 莱芜区）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则的值为
A．或 B．或2 C．或2 D．或
【分析】如图所示，过点作直线，将直线向下平移到恰在点处相切，则一次函数在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点处相切，此时与新图象也有三个公共点，
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令，解得：或6，即点坐标，
将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，
△，解得：，
当一次函数过点时，将点坐标代入：得：，解得：，
综上，直线与这个新图象有3个公共点，则的值为或；
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
2. （2019 梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】可以将关于的方程的解为，看作直线与二次函数交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出与的取值范围，进而做出判断．
【解答】解：二次函数的图象如图所示：
它与轴的交点坐标为，，
关于的一元二次方程的解为，，可以看作是直线与二次函数交点的横坐标，
由图象可知，；
，
故选：．
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【点评】理清一元二次方程与二次函数的关系，将的方程的解为，的问题转化为二次函数与轴交点的横坐标，借助图象得出答案．
3. （2019 荆门）抛物线与坐标轴的交点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
二．填空题（共3小题）
4. （2019 兴安盟）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
【分析】根据抛物线与轴没有交点，可知当时，，△，从而可以求得的取值范围．
【解答】解：抛物线与轴没有交点，
当时，，
△，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5. （2019 武汉）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ， ．
【分析】由于抛物线沿轴向右平移1个单位得到，由于方程的解为，得到对于方程，则或，解得或，从而得到一元二方程的解．21*cnjy*com
【解答】解：关于的一元二次方程变形为，
因为抛物线经过点、，
所以方程的解为，，
对于方程，则或，解得或，
所以一元二方程的解为，．
故答案为，．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6. （2019 泰安）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 ， ．
【分析】根据对称轴方程求得，再解一元二次方程得解．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
，
得，
则可化为：，
解得，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，一元二次方程等知识，利用抛物线的对称性求得的值是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
7. （2019 云南）已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．
（1）求的值；
（2）若点在抛物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为轴，则，可求出的值，再根据抛物线与轴有两个交点，进而确定的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为轴，点到轴的距离为2，可以转化为点的横坐标为2或，求相应的的值，确定点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是轴，
，解得，；
又抛物线与轴有两个交点．
即抛物线与轴有两个交点．
，
即，
也就是，
又，，
．
此时抛物线的关系式为，
因此的值为．
（2）点在抛物线上，且到轴的距离是2，
点的横坐标为2或，
当时，
当时，．
或
因此点的坐标为：或．
【点评】主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，善于将线段的长转化为坐标，或将坐标转化为线段的长．
22.2
二次函数与一元二次方程
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
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