中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆
考点1 点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d=r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【例题1】 （2021 花都区一模）平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为5，则点与的位置关系是
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定
【分析】本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系．
【解答】解：由题意可作图，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
点在内．
故正确，、、错误，
故选：．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据与的关系判断是解题关键．
【例题2】 （2021 天河区一模）已知与点在同一平面内，如果的直径为6，线段的长为4，则下列说法正确的是
A．点在上
B．点在内
C．点在外
D．无法判断点与的位置关系
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：的半径是3，线段的长为4，
即点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外．
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
考点2 直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r．
【例题1】 （2021 嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：的半径为，线段，，
即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，
点在外，点在上，
直线与的位置关系为相交或相切，
故选：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
【例题2】 （2021 道外区三模）如图，、为的切线，、为切点，点为弧上一点，过点作的切线分别交、于、，若，则的周长等于
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．12 C．9 D．18
【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：、为的切线，，
，
、为的切线，
，
同理，，
的周长，
故选：．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
【例题3】 （2020秋 九龙坡区校级期末）如图，为的直径，为圆上一点，过点的切线与直径的延长线交于点，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】连接，如图，根据切线的性质得，根据三角形内角和计算的度数，再利用等腰三角形的性质由得到即可．
【解答】解：连接，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
为切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【例题4】 （2021 九龙坡区模拟）如图，、是的切线，其中、为切点，点在上，，则等于
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后根据四边形内角和计算的度数．
【解答】解：连接、，如图，
、是的切线，
，，
，
，
，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
【例题5】 （2021春 瑞安市月考）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作．若与相切，则的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C．6 D．
【分析】根据切线的性质得到，根据含的直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：设与的切点为，连接，
则，
在中，，
，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
1. （2019秋 北仑区期末）下列四个结论，不正确的是
①过三点可以作一个圆；
②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；
④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，符合题意；
②圆内接四边形对角互补，错误，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故原命题错误，符合题意．
错误的有①②③④，
故选：．
【点评】考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角定理等知识，解题的关键是熟记圆的有关定义及性质，难度不大．
2. （2021 平房区一模）如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】连接，如图，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
3. （2021 新泰市模拟）如图，与相切于点，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】连接，，如图，根据切线的性质得，则可计算出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接，，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
4. （2020秋 海珠区期末）如图，，，分别与相切于、、三点，且，，，则的长为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．5
【分析】连接，如图，利用切线长定理和切线的性质得，，，再利用平行线的性质得到，则可利用勾股定理计算出，然后利用面积法计算出．
【解答】解：连接，如图，
，，分别与相切于、、三点，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和平行线的性质．
5. （2020 西宁）如图，，与分别相切于点，，，，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．2 C． D．3
【分析】先判断出，进而判断出是等边三角形，即可得出结论．
【解答】解：，与分别相切于点，，
，，
是等边三角形，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题主要考查了切线长定理，判断出是等边三角形是解题的关键．
6. （2020秋 虎林市期末）如图，、是的切线，切点分别是、，若，．则的半径是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】连接、、，、为圆的两条切线，由切线长定理可知：，，；可证明，可求得的度数，再由的正切值可得出的长，即圆半径的长．www.21-cn-jy.com
【解答】解：连接、、，如下图所示：
、为圆的两条切线，
由切线长定理可知：，，；
、为半径长，，
，
；
，
，
所以圆的半径为，
故此题应该填．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题主要考查了切线长定理的运用以及全等三角形的性质．
7. （2021 襄阳）点是的外心，若，则为 或125 ．
【分析】由题意可知，需要分两种情况：①是锐角三角形；②是钝角三角形，再分别求解即可．
【解答】解：①是锐角三角形，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
；
②△是钝角三角形，如图，
，
．
故答案为：或125．
【点评】本题主要考查圆周角定理，分类讨论思想等，对三角形形状的讨论是易错点．
8. （2021 包头）如图，在中，，以为直径的与相切于点，连接．若，则的周长为 ．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】连接，过点作交于点，利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形为矩形，利用勾股定理求得，进而求得平行四边形的周长．
【解答】解：连接，过点作交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形为平行四边形，
，，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
为直径，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
的周长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，解题的关键是利用辅助线构造矩形，通过矩形的性质求出平行四边形的边长．21教育名师原创作品
9. （2021 鼓楼区二模）如图，在矩形中，，，是上一点，，过点与交于点．
（1）求弦的长．
（2）求证：是的切线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）过作，根据勾股定理得到，由，得到，根据相似三角形的性质得到，确定，再根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接，在中，根据勾股定理得到，由勾股定理的逆定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：过作，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，在上，
是的切线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
10. （2021 崆峒区一模）如图，是的直径，交的中点于，．
（1）求证：是的切线．
（2）已知：，，求线段的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）连接，只要证得即可得到是的切线；
（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
是的中点，
．
，
．
又，
．
是的切线；
（2）是的中点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．21世纪教育网版权所有
11. （2021 东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）连接，根据等边三角形及圆性质求出，再由，推出求出，根据切线的判定推出即可；
（2）由，，可求得，，的长度，再根据中位线性质求出的长度，根据勾股定理即可求得的长．
【解答】（1）证明：连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
是的中位线，
，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，
线段的长为．
【点评】本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的关键．21·cn·jy·com
1. （2021 东港区校级二模）如图，点，的坐标分别是，，点为坐标平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为2的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为2，
取，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故选：．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．【来源：21·世纪·教育·网】
2. （2021 安徽二模）如图，直角中，，，，点是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】作的外接圆，连接，，，，过点作交的延长线于．想办法求出，，可得结论．
【解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，，过点作交的延长线于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出，，属于中考选择题中的压轴题．
3. （2021 姑苏区校级二模）如图，是半圆的直径，点在半圆上．，，是上的一个动点，连接．过点作于．连接，则的最小值是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】如图，取的中点，连接、．在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．21教育网
【解答】解：如图，取的中点，连接、．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，
是直径，
，
在中，，，
，
在中，，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考选择题中压轴题．【出处：21教育名师】
4. （2020秋 官渡区期末）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接、则线段的最大值是 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C． D．
【分析】连接，如图，先解方程得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心时，最大，然后计算出的最大值即可得到线段的最大值．
【解答】解：连接，如图，
当时，，解得，，则，，
是线段的中点，
为的中位线，
，
当最大时，最大，
而过圆心时，最大，如图，
，
的最大值，
线段的最大值是．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
5. （2020秋 文登区期末）以坐标原点为圆心，1为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】求出直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时的值，则相交时的值在相切时的两个的值之间．
【解答】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在中，令时，，则与轴的交点是，
当时，，则的交点是，
则，
即是等腰直角三角形，
，
连接圆心和切点．
则，，
，
，
，
同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，．
则若直线与相交，则的取值范围是，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质，一次函数的图像，正确证得直线与圆相切时，可得是等腰直角三角形是解题的关键．
6. （2021 安徽二模）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．4 D．
【分析】如图，在是上方，作，使得，，连接，过点作于，于．证明点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，推出当点落在线段上时，的值最小，想办法求出，，可得结论．
【解答】解：如图，在是上方，作，使得，，连接，过点作于，于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，
当点落在线段上时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
的最小值，
故选：．
【点评】本题考查点与圆的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7. （2021 鄂州）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C． D．
【分析】取中点，连接，，由勾股定理的逆定理可求，可得点在以为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得，当点在线段上时，有最小值，由锐角三角函数可求，即可求解．2-1-c-n-j-y
【解答】解：取中点，连接，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
点在以为直径的圆上运动，
在中，，
当点在线段上时，有最小值，
点是的中点，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的面积，
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，找到最小值时，点的位置是解题的关键．
8. （2021 台湾）如图，为的内心，有一直线通过点且分别与、相交于点、点．若，，则点到的距离为何？
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．3
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以求得的长，再根据等面积法，可以求得、的长，再根据三角形的内心是角平分线的交点，即可得到的长，从而可以得到点到的距离．21cnjy.com
【解答】解：连接，作于点，于点，作于点，作于点，如右图所示，
，，，
，，
，
设，
为的内心，
，
，
，
解得，
，
即点到的距离是，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解答本题的关键是知道三角形的内心是角平分线的交点，利用数形结合的思想解答．
9. （2020秋 渝北区期末）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，线段和相交于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，可得，证明可得，即点在以为直径的圆上，从而可得最短时点在上，利用勾股定理求得，继而求出和．
【解答】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，
，，，
为的中点，
为的中位线，
，
当最短时，最短，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
当点在上时，最短，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系及圆的性质，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
1. （2021 贺州）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．1
【分析】连接，过点作于，根据垂径定理得到，根据矩形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，计算即可．
【解答】解：连接，过点作于，
则，
是的切线，
，
，，
，四边形为矩形，
，，
，即，
解得：，
，
，
，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是能够利用切线的性质构造矩形．
2. （2021 十堰）如图，内接于，，，是的直径，若，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．3 D．4
【分析】根据，即可推出和的度数，然后由同弧所对圆周角相等以及直径所对圆周角为直角即可推出为直角三角形且，即可算出直径的长，再过点过点作于点，利用直角三角形中锐角三角函数计算出的长，再根据垂径定理即可计算出的长．
【解答】解：过点作于点，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
又对应圆周角为和，
，
而为直径，
，
在中，，，
，
，
，
又，，
，
又，
为直角三角形，
，
，
由垂径定理可得：，故正确，
故选：．
【点评】本题考查与圆有关的计算，本题正确作出辅助线，熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理等知识并能灵活运用是解题的关键．
3. （2021 荆门）如图，，是的切线，，是切点，若，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据四边形的内角和等于得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，
，是的切线，，是切点，
，
，
，
，
，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由、是的切线，可得．
4. （2021 山西）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余可计算出，再利用圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
【解答】解：连接，如图，
切于点，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
5. （2021 临沂）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】由切线的性质得出，利用四边形内角和可求，再利用圆周角定理可求，再根据圆内接四边形对角互补可求．
【解答】解：如图所示，连接，，在优弧上取点，连接，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
、是切线，
，
，
，
又圆内接四边形的对角互补，
．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接、，求出．
6. （2021 泰安）如图，在中，，以点为圆心，3为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接，与相切于点，
，
，
,，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
7. （2021 湖州）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理得出即可得到结果．
【解答】解：点为的外心，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
8. （2021 北京）如图，，是的切线，，是切点．若，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
【解答】解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
9. （2021 南京）如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则 180 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】设圆心为，连接，，，和，根据切线的性质和等腰三角形的性质得出即可求出．
【解答】解：如图，设圆心为，连接，，，和，
，，，，是五边形的外接圆的切线，
，
即，
，
，，，，，
五边形内角和，
，
故答案为：180．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
10. （2021 凉山州）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 3 ．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】连接、，作于，如图，根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，由切线的性质得到，根据勾股定理得到，推出当点运动到点时，最小，于是得到结论．
【解答】解：连接、，作于，如图，
等边三角形的边长为4，
，，
，，
为的切线，
，
在中，，
点是边上一动点，
当点运动到点时，最小，
即的最小值为，
的最小值为，
故答案为：3．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等边三角形的性质．
11. （2021 安徽）如图，圆的半径为1，内接于圆．若，，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，即是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．
【解答】解：如图，连接，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．21·世纪*教育网
三．解答题（共6小题）
12. （2021 本溪）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）连接，求出推出，根据切线的判定推出即可；
（2）连接，根据已知条件求出的直径，在中，求出，，在中，求出，根据，求出，进而得到，根据相似三角形的判定证得，根据相似三角形的性质即可求出．
【解答】证明（1）连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
是的直径，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，，
，
，
，
，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了切线的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，把化为直角三角形，灵活应用三角函数的定义解决问题．21*cnjy*com
13. （2021 湖北）如图，为直径，为上一点，于点，交于点，与的延长线交于点，平分．【版权所有：21教育】
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）连接，只要证明即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；
（2）连接交于，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到的三边长，再利用即可求得的长．
【解答】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明：连接，
平分．
，
又，
，
又，
，
，
，
即，
是的切线；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：连接交于点，
为直径，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定方法，如何利用垂径定理、勾股定理求线段的长度等知识点，能够求证四边形是矩形是解决本题的关键．
14. （2021 济宁）如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）由为直径，可得，又为中点，为中点，可得，从而．由得，又，，所以，又，得．又，从而可得，即．则可证为切线；
（2）由（1）可得，从而，可证明，从而得比例，解得，最后由勾股定理可求半径．
【解答】解：（1）证明：为直径，
，
又为中点，为中点，
故，，
．
，
，
又，，
，
又，
．
，
，
．
又为半径，
故是的切线．
（2），
由（1）得，
又，
．
，，
．
，即，
．
．
故的半径为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．
24.2
与圆有关的位置关系
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆
考点1 点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d=r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．21cnjy.com
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【例题1】 （2021 花都区一模）平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为5，则点与的位置关系是
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定
【例题2】 （2021 天河区一模）已知与点在同一平面内，如果的直径为6，线段的长为4，则下列说法正确的是 www.21-cn-jy.com
A．点在上
B．点在内
C．点在外
D．无法判断点与的位置关系
考点2 直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r．
【例题1】 （2021 嘉兴）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为 21世纪教育网版权所有
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【例题2】 （2021 道外区三模）如图，、为的切线，、为切点，点为弧上一点，过点作的切线分别交、于、，若，则的周长等于
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．12 C．9 D．18
【例题3】 （2020秋 九龙坡区校级期末）如图，为的直径，为圆上一点，过点的切线与直径的延长线交于点，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【例题4】 （2021 九龙坡区模拟）如图，、是的切线，其中、为切点，点在上，，则等于 2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【例题5】 （2021春 瑞安市月考）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作．若与相切，则的长为 ．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C．6 D．
1. （2019秋 北仑区期末）下列四个结论，不正确的是
①过三点可以作一个圆； ②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦； ④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
2. （2021 平房区一模）如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3. （2021 新泰市模拟）如图，与相切于点，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4. （2020秋 海珠区期末）如图，，，分别与相切于、、三点，且，，，则的长为 【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．5
5. （2020 西宁）如图，，与分别相切于点，，，，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．2 C． D．3
6. （2020秋 虎林市期末）如图，、是的切线，切点分别是、，若，．则的半径是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
7. （2021 襄阳）点是的外心，若，则为 ．
8. （2021 包头）如图，在中，，以为直径的与相切于点，连接．若，则的周长为 ．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
9. （2021 鼓楼区二模）如图，在矩形中，，，是上一点，，过点与交于点．
（1）求弦的长．
（2）求证：是的切线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
10. （2021 崆峒区一模）如图，是的直径，交的中点于，．
（1）求证：是的切线．
（2）已知：，，求线段的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11. （2021 东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
1. （2021 东港区校级二模）如图，点，的坐标分别是，，点为坐标平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
2. （2021 安徽二模）如图，直角中，，，，点是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3. （2021 姑苏区校级二模）如图，是半圆的直径，点在半圆上．，，是上的一个动点，连接．过点作于．连接，则的最小值是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4. （2020秋 官渡区期末）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接、则线段的最大值是 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．3 C． D．
5. （2020秋 文登区期末）以坐标原点为圆心，1为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是 【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
6. （2021 安徽二模）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．4 D．
7. （2021 鄂州）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C． D．
8. （2021 台湾）如图，为的内心，有一直线通过点且分别与、相交于点、点．若，，则点到的距离为何？
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．3
9. （2020秋 渝北区期末）如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，线段和相交于点，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为 ．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
1. （2021 贺州）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为 2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．1
2. （2021 十堰）如图，内接于，，，是的直径，若，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．3 D．4
3. （2021 荆门）如图，，是的切线，，是切点，若，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4. （2021 山西）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为 21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5. （2021 临沂）如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6. （2021 泰安）如图，在中，，以点为圆心，3为半径的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是 【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7. （2021 湖州）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
8. （2021 北京）如图，，是的切线，，是切点．若，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
9. （2021 南京）如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
10. （2021 凉山州）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
11. （2021 安徽）如图，圆的半径为1，内接于圆．若，，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三．解答题（共6小题）
12. （2021 本溪）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13. （2021 湖北）如图，为直径，为上一点，于点，交于点，与的延长线交于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
14. （2021 济宁）如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
( http: / / www.21cnjy.com / )
24.2
与圆有关的位置关系
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
