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第二十四章 圆
考点1 正多边形与圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【例题1】 （2021 双流区模拟）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【例题2】 （2021 成都模拟）如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为
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A．或 B．或 C． D．
【例题3】 （2021 上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
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考点2 弧长的计算
（1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念， ( http: / / www.21cnjy.com )度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
考点3 扇形的面积计算
（1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例题1】 （2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
【例题2】 （2020秋 福州期末）若的半径为2，则的圆心角所对的弧长是 ．
【例题3】 （2021 砀山县一模）如图，在中，，以为直径的，交于点，交于点．若劣弧的长为，则 ．www.21-cn-jy.com
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【例题4】 （2021 道外区三模）某扇形的圆心角为，面积为，该扇形的弧长为 ．
考点4 圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
【例题1】 （2021 瓯海区模拟）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 21教育网
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A． B． C． D．
【例题2】 （2021 上城区二模）如图，在中，，，．把分别绕直线，和旋转一周，所得几何体的表面积分别记作，，，则表面积最大的是 www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．无法确定
1. （2021 雁塔区校级模拟）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为 21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
2. （2020秋 滨海新区期末）如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为4，则边心距的长为 21*cnjy*com
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A． B． C．2 D．
3. （2020秋 长春期末）如图，与正六边形的边、分别交于点、，点为劣弧的中点．若，则的半径为 【版权所有：21教育】
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A．2 B． C． D．
4. （2021 凉山州模拟）西昌市“北环线“是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程，如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，那么这段弯道的半径为
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A． B． C． D．
5. （2021 庐阳区校级模拟）如图，中，，，以为直径的交于点，则的长为
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A． B． C． D．
6. （2021 上城区校级一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为 21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
7. （2020秋 元阳县期末）如图，四边形是的内接四边形，的半径为12，，则的长为
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A． B． C． D．
8. （2021春 未央区校级月考）如图，菱形的边长为2，且点，，在上，则的长度为
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A． B． C． D．
9. （2021 东莞市模拟）如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为
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A． B． C． D．
10. （2020 漳州二模）如图，已知四边形的四个顶点在以为直径的半圆上，．若，则的长为 21*cnjy*com
A． B． C． D．
11. （2019秋 余姚市期末）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为
A． B． C． D．
12. （2021 平房区三模）一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为
A． B． C． D．
13. （2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
14. （2021 富阳区二模）已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的弧长为
A．4 B．2 C． D．
15. （2021 江阴市模拟）圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为
A． B． C． D．
16. （2021 海安市二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为
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A． B． C． D．
17. （2020秋 禹城市期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
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A．1 B．12 C．3 D．6
18. （2020秋 南沙区期末）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是 2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
19. （2021 河口区校级模拟）如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是
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A． B． C． D．
二．填空题（共21小题）
20. （2021 南岗区校级模拟）已知一个扇形的面积是，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
21. （2021 南岗区校级二模）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角为 度．
22. （2021 道里区三模）一个扇形所在圆的半径为3，扇形的面积是，则该扇形的圆心角为 度．
23. （2021 天桥区一模）如图，菱形的边长为2，点、、在以点为圆心、为半径的弧上，则图中阴影部分的面积是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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24. （2021 绥宁县一模）如图，以五边形各个顶点为圆心，为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留【出处：21教育名师】
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25. （2021 黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为，底面圆的半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 ．
26. （2021 西吉县一模）如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆的底面半径为 ．
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1. （2021 青海）如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动）那么小羊在草地上的最大活动区域面积是 21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
2. （2021 历下区一模）如图，正五边形的边长为2，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为 ．
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3. （2021 江岸区校级模拟）边长为的正六边形中连接不相邻的两个顶点，组成如图所示的内部为六边形的图形．则阴影部分周长等于 ．2·1·c·n·j·y
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4. （2021 碑林区校级模拟）如图中，，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为弧，已知，则图中阴影部分的面积为 ．
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（第4题图） （第5题图）
5. （2021 镇平县模拟）如图，中，长为，，，将绕点逆时针旋转至△，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．
6. （2021 市中区一模）如图，在边长为8的菱形中，，以点为圆心、菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
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7. （2021 南海区一模）如图，将绕点逆时针旋转得到△，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
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1. （2020 日照）如图，是的直径，为的弦，于点，若，，则阴影部分的面积为
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A． B． C． D．
2. （2020 大庆）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为，则圆锥与圆柱的体积的比为
A． B． C． D．
3. （2020 东营）用一个半径为3，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为 21cnjy.com
A． B． C．2 D．1
4. （2020 湖北）一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是，则圆锥的母线长是
A． B． C． D．
5. （2020 青海）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 21·cn·jy·com
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A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
6. （2020 咸宁）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为
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A． B． C． D．
7. （2020 常德）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
8. （2020 镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
9. （2020 哈尔滨）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是 度．
10. （2020 呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是 度．
11. （2020 宿迁）用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
24.3
与圆的有关的计算
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
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第二十四章 圆
考点1 正多边形与圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【例题1】 （2021 双流区模拟）如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于
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A． B． C． D．
【分析】连接，．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：连接，．
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在正五边形中，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【例题2】 （2021 成都模拟）如图，是正六边形的外接圆，点在上不与，重合），则的度数为
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A．或 B．或 C． D．
【分析】构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【解答】解：连接，，如图所示：
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六边形是正六边形，
，
当点不在上时，
，
当点在上时，
，
故选：．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角．
【例题3】 （2021 上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．21世纪教育网版权所有
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【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
【解答】解：如图，，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
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【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出．
考点2 弧长的计算
（1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、 ( http: / / www.21cnjy.com )弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
考点3 扇形的面积计算
（1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；②和差法；③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例题1】 （2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
【分析】设扇形的半径为，根据扇形的圆心角为，它所对应的弧长为求出的值，由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，它所对应的弧长为，
，解得，
扇形．
故选：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
【例题2】 （2020秋 福州期末）若的半径为2，则的圆心角所对的弧长是 ．
【分析】根据弧长公式求即可．
【解答】解：的半径为2，圆心角是，
所对的弧长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，注意：已知圆的半径为，那么的圆心角所对的弧的长度为．
【例题3】 （2021 砀山县一模）如图，在中，，以为直径的，交于点，交于点．若劣弧的长为，则 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，，设，根据弧长公式得到，于是得到结论．
【解答】解：连接，
为的直径，
，
，
，
连接，，
设，
劣弧的长为，
，
，
，
，
故答案为：．
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【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【例题4】 （2021 道外区三模）某扇形的圆心角为，面积为，该扇形的弧长为 ．
【分析】根据扇形面积公式，求得，再由弧长公式，计算即可．
【解答】解：扇形的圆心角为，面积为，
，
，
，
，故答案为．
【点评】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握扇形面积公式和弧长公式．
考点4 圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧= 2πr l=πrl．
（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl
（5）圆锥的体积=×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
【例题1】 （2021 瓯海区模拟）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
【分析】这个圆锥的底面圆的半径是，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径是，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径是．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【来源：21·世纪·教育·网】
【例题2】 （2021 上城区二模）如图，在中，，，．把分别绕直线，和旋转一周，所得几何体的表面积分别记作，，，则表面积最大的是 2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．无法确定
【分析】根据分别绕直线，和旋转一周，可以分别得到一个圆锥、一个圆锥和两个共底面的圆锥组合，再根据圆锥的表面积计算公式：圆锥的表面积底面积圆锥的侧面积分别计算即可，最后根据结果即可比较大小．21*cnjy*com
【解答】解：，，，
．
绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即；
绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即；
绕直线旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即．
．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的表面积计算公式，圆锥的表面积底面积圆锥的侧面积，其中圆锥的侧面积底面圆半径圆锥母线长．熟知使用公式是解题的关键．
1. （2021 雁塔区校级模拟）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为
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A． B． C． D．
【分析】连接，，，由圆内接四边形的性质可得到，，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到．
【解答】解：连接，，，
正方形内接于，
，，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
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【点评】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，证得是等边三角形是解决问题的关键．21教育网
2. （2020秋 滨海新区期末）如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为4，则边心距的长为
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A． B． C．2 D．
【分析】连接、．先证明是等边三角形，求出、，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，连接、．
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六边形是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
故选：．
【点评】本题考查正多边形与圆、等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．2·1·c·n·j·y
3. （2020秋 长春期末）如图，与正六边形的边、分别交于点、，点为劣弧的中点．若，则的半径为
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A．2 B． C． D．
【分析】连接，根据正六边形和点为劣弧的中点，可得是等边三角形，进而可得的半径．
【解答】解：如图，连接，
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正六边形，
，
点为劣弧的中点，
，，
是等边三角形，
．
则的半径为．
故选：．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．
4. （2021 凉山州模拟）西昌市“北环线“是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程，如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，那么这段弯道的半径为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】先连接，由垂径定理求出的长，再设，在中，利用勾股定理列出方程，求出的长，即可求出答案．21*cnjy*com
【解答】解：连接，
是的中点，与相交于点，
，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，
，
，
解得．
故选：．
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【点评】此题考查了垂径定理的应用，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，关键是根据定理列出方程，是一道典型题．
5. （2021 庐阳区校级模拟）如图，中，，，以为直径的交于点，则的长为
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A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，可以得到的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到的度数，再根据弧长公式，即可计算出的长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，为的直径，
，
的长为：，
故选：．
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【点评】本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧长公式和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．【出处：21教育名师】
6. （2021 上城区校级一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为
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A． B． C． D．
【分析】求出的度数，再利用弧长计算公式求出即可．
【解答】解：由题意可知：，
在中，，
，
，
，
，
故、、错误，
故选：．
【点评】本题考查弧长的计算，锐角三角函数，矩形的性质等知识，本题中根据、的长结合三角函数求出的度数是解题关键．
7. （2020秋 元阳县期末）如图，四边形是的内接四边形，的半径为12，，则的长为
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A． B． C． D．
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出的度数，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：连接、，
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四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
的半径为12，
的长是，
故选：．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长的计算等知识点，注意：①如果扇形的圆心角为，扇形的半径为，那么这个圆心角所对的弧长为，②圆内接四边形的对角互补．
8. （2021春 未央区校级月考）如图，菱形的边长为2，且点，，在上，则的长度为
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A． B． C． D．
【分析】连接，根据菱形的性质得出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：连接，
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四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
的长度是，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，弧长的计算等知识点，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为，那么这个圆心角所对的弧长为．
9. （2021 东莞市模拟）如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为
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A． B． C． D．
【分析】首先判定三角形为等边三角形，再利用弧长公式计算．
【解答】解：连接，
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，，
是等边三角形，
，
，
，
，
的长，
故选：．
【点评】此题主要考查了学生对等边三角形的判定和弧长公式，关键是得到是等边三角形．
10. （2020 漳州二模）如图，已知四边形的四个顶点在以为直径的半圆上，．若，则的长为
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A． B． C． D．
【分析】根据圆内接四边形的性质和弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的长，
故选：．
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【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
11. （2019秋 余姚市期末）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据，结合题意可得出扇形圆心角的度数．
【解答】解：扇形的弧长为，半径为2，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的公式，及公式中所含字母代表的含义．
12. （2021 平房区三模）一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为
A． B． C． D．
【分析】设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是，
根据题意可知：，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键，此题难度不大．
13. （2021 南岗区校级一模）某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是
A． B． C． D．
【分析】设扇形的半径为，根据扇形的圆心角为，它所对应的弧长为求出的值，由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，它所对应的弧长为，
，解得，
扇形．
故选：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14. （2021 富阳区二模）已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的弧长为
A．4 B．2 C． D．
【分析】设扇形的面积为，先利用扇形的面积公式得到，则可求出，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：设扇形的面积为，
根据题意得，解得，
所以扇形的弧长．
故选：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．也考查了弧长公式．
15. （2021 江阴市模拟）圆锥的高是，其底面圆半径为，则它的侧面展开图的面积为
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解答】解：这个圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16. （2021 海安市二模）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为
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A． B． C． D．
【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
17. （2020秋 禹城市期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
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A．1 B．12 C．3 D．6
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为，则：，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
18. （2020秋 南沙区期末）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是
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A． B． C． D．
【分析】连接，，，过点作于．想办法求出圆锥的母线，底面圆半径即可解决问题．
【解答】解：连接，，，过点作于．
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，，
是等边三角形，
是的外心，
，
，
，，
，
圆锥底面圆的周长，
圆锥底面圆的半径为，
圆锥的高．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的计算，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21cnjy.com
19. （2021 河口区校级模拟）如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是
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A． B． C． D．
【分析】首先根据底面半径，高，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：它的底面半径，高．
，
这个圆锥漏斗的侧面积是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
二．填空题（共21小题）
20. （2021 南岗区校级模拟）已知一个扇形的面积是，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
【分析】根据扇形的面积公式，可以求得该扇形所在圆的半径，然后再根据弧长公式，即可计算出该扇形的弧长．
【解答】解：一个扇形的面积是，圆心角为，，
，
解得，
此扇形的弧长为：，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积公式、弧长的计算，解答本题的关键是求出扇形所在圆的半径．
21. （2021 南岗区校级二模）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角为 216 度．
【分析】根据扇形的面积公式，可以求得该扇形所在圆的半径，再根据，即可求得此扇形的圆心角的度数．
【解答】解：一个扇形的弧长是，面积是，，
，
解得，
，
，
解得，
即该扇形的圆心角为，
故答案为：216．
【点评】本题考查扇形面积计算、弧长的计算，解答本题的关键是求出扇形所在圆的半径．
22. （2021 道里区三模）一个扇形所在圆的半径为3，扇形的面积是，则该扇形的圆心角为 120 度．
【分析】利用得方程，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设该扇形的圆心角度数为，
扇形的面积为，半径为3，
，
解得：．
该扇形的圆心角度数为．
故答案为：120．
【点评】此题考查了扇形面积的计算．此题比较简单，注意熟记公式与性质是解此题的关键．
23. （2021 天桥区一模）如图，菱形的边长为2，点、、在以点为圆心、为半径的弧上，则图中阴影部分的面积是 ．
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【分析】先证得是等边三角形，进而利用扇形面积和等边三角形面积求出即可．
【解答】解：菱形的边长为2，
，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形判定和扇形的面积公式的应用，根据已知得出是等边三角形是解题关键．
24. （2021 绥宁县一模）如图，以五边形各个顶点为圆心，为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
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【分析】求出五边形的内角和，再根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：五边形的内角和为，
又为半径，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积．www-2-1-cnjy-com
25. （2021 黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为，底面圆的半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 ．
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：底面圆的半径为，
底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
这个冰淇淋外壳的侧面积
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
26. （2021 西吉县一模）如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆的底面半径为 2 ．
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【分析】扇形折叠成圆锥，根据“扇形”的弧长相当于圆锥底面周长，分别求出扇形的弧长，利用圆的周长公式求解即可．
【解答】解：扇形的弧长为，即圆锥底面周长为，
所以底面半径为，
故答案为：2．
【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提，理解扇形的弧长与圆锥底面周长之间的关系是解决问题的关键．
1. （2021 青海）如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动）那么小羊在草地上的最大活动区域面积是
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A． B． C． D．
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为和一个半径为1、圆心角为的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积；
小扇形的圆心角是，半径是，
则面积，
则小羊在草地上的最大活动区域面积．
故选：．
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【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
2. （2021 历下区一模）如图，正五边形的边长为2，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为 ．
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【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
【解答】解：在正五边形中，，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得阴影扇形的圆心角，难度不大．
3. （2021 江岸区校级模拟）边长为的正六边形中连接不相邻的两个顶点，组成如图所示的内部为六边形的图形．则阴影部分周长等于 ．
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【分析】作于，根据正六边形的性质求出，根据多边形的周长公式计算即可．
【解答】解：作于，
六边形是边长为的正六边形，
外部正六边形的周长为，
六边形是正六边形，
，
，
由题意得，阴影部分是正六边形，
阴影周长为，
故答案为：．
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【点评】本题正多边形和圆，掌握正多边形的概念和性质、锐角三角函数的定义是解题的关键．
4. （2021 碑林区校级模拟）如图中，，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为弧，已知，则图中阴影部分的面积为 ．
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【分析】解直角三角形求出，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
由题意得，，，
则图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、旋转的性质，掌握扇形面积公式：是解题的关键．
5. （2021 镇平县模拟）如图，中，长为，，，将绕点逆时针旋转至△，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．
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【分析】根据直角三角形的性质求出、，边扫过区域扇形面积三角形的面积扇形三角形的面积．
【解答】解：，，
，
，，
边扫过区域的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转变换的性质，掌握扇形的面积公式：是解题的关键．
6. （2021 市中区一模）如图，在边长为8的菱形中，，以点为圆心、菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
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【分析】根据菱形的性质得出，，根据平行线的性质和已知条件求出，求出，求出，根据勾股定理求出，根据阴影部分的面积求出答案即可．
【解答】解：四边形是边长为8的菱形，
，，
，
，
，
菱形的高是，
，
，
，
，
，
，
，
即，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的性质，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，半径为，那么该扇形的面积为．
7. （2021 南海区一模）如图，将绕点逆时针旋转得到△，，，，则图中阴影部分的面积为 ．21教育名师原创作品
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【分析】观察图象可，只要求出，即可解决问题．
【解答】解：过点作于．
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在中，，，，
，
，
由题意，
，
故答案为．
【点评】本题考查旋转变换、扇形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
1. （2020 日照）如图，是的直径，为的弦，于点，若，，则阴影部分的面积为
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A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理得出，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出，进而结合扇形面积求出答案．21·cn·jy·com
【解答】 解：是的直径，为的弦，于点，
．
设的半径为，
在直角中，，即，
解得，，
，
，
，
，，
，
故选：．
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【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出是解题关键．【版权所有：21教育】
2. （2020 大庆）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为，则圆锥与圆柱的体积的比为
A． B． C． D．
【分析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为，圆锥的高为，则圆柱的高为，然后利用圆锥和圆柱的体积公式计算．
【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为，圆锥的高为，则圆柱的高为，
所以圆锥与圆柱的体积的比．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．
3. （2020 东营）用一个半径为3，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为
A． B． C．2 D．1
【分析】根据扇形的面积公式：为圆锥的底面半径，为扇形半径）即可求出圆锥的底面半径．
【解答】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，
扇形面积公式：为圆锥的底面半径，为扇形半径），得
，
．
所以圆锥的底面半径为1．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握扇形面积公式．
4. （2020 湖北）一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是，则圆锥的母线长是
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥侧面展开图的实际意义和圆锥的弧长公式求解即可．
【解答】解：圆锥的底面周长为，即为展开图扇形的弧长，
由弧长公式得，
解得，，即圆锥的母线长为．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．
5. （2020 青海）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是
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A．3.6 B．1.8 C．3 D．6
【分析】设这个圆锥的底面半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面半径是3.6．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6. （2020 咸宁）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为
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A． B． C． D．
【分析】由根据圆周角定理得出，根据可得出结论．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
7. （2020 常德）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解答】解：这个圆锥的母线长，
这个圆锥的侧面积．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．www.21-cn-jy.com
8. （2020 镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
【解答】解：圆锥侧面积．
故答案为．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9. （2020 哈尔滨）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是 130 度．
【分析】根据扇形面积公式，即可求得这个扇形的圆心角的度数．
【解答】解：设这个扇形的圆心角为，
，
解得，，
故答案为：130．
【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．
10. （2020 呼伦贝尔）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是 60 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：设圆心角都度数为度，
扇形的面积，
解得：，
又，
．
故答案为：60．
【点评】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．
11. （2020 宿迁）用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得，
所以这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
24.3
与圆的有关的计算
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
能力提升
中考真题
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