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第二十五章 概率
考点1 列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．www.21-cn-jy.com
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．【出处：21教育名师】
（3）列举法（树形图法）求概 ( http: / / www.21cnjy.com )率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
考点2 游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数总情况数．
【例题1】 （2021 武汉模拟）两个红球和两个白球，除颜色外无其他差别，随机从中一次抽取两个球，颜色相同的概率是 2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，颜色相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能的结果，颜色相同的结果有4种，
颜色相同的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解决本题的关键．
【例题2】 （2021 新洲区模拟）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，
恰好抽到甲、丙两人的概率为，
故选：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
【例题3】 （2021 青山区模拟）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，，卡片除数字不同外其他均相同，随机从这四张卡片中一次抽取两张，抽取的两张卡片上数字之积为非负数的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为非负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为非负数的结果有8种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为非负数的概率为．
故选：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
【例题4】 （2021 滨海县二模）小明和小强都想去观看“我和我的祖国”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，若两个转盘转出同种颜色，则小强去观看．
（1）利用树状图或列表的方法计算配成紫色的概率；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）用树状法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
（2）根据几何概率的意义求解即可；
【解答】解：（1）画树状图如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所有可能结果为：（蓝，蓝），（蓝，红），（蓝，黄），（红，蓝），（红，红），（红，黄），
共有6种等可能结果，其中能配成紫色的共有2种，
（配成紫色）；
（2）（颜色相同），
（配成紫色）（颜色相同），
游戏公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性，列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．
【例题5】 （2021 阜宁县二模）为 ( http: / / www.21cnjy.com )了减缓学生中考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果；
（2）从树状图中找到甲、乙获胜的结果数，根据概率公式分别计算出其获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）用树状图得出所有等可能的结果如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的．
理由：由树状图得，（甲获胜），（乙获胜）．
（甲获胜）（乙获胜），
这种作法对甲、乙双方是公平的．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
1. （2021 下城区模拟）在两个暗盒中，各自装有编号为1、2的两个球，两球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4种的课程的结果，两球上的编号的积为偶数的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有4种的课程的结果，两球上的编号的积为偶数的结果有3种，
两球上的编号的积为偶数的概率为，
故选：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
2. （2021 武汉模拟）一个不透明的袋子中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色不同外完全相同，随机摸出两个小球颜色相同的概率为 21教育网
A． B． C． D．
【分析】由题意画出树状图，共有20种等可能结果，随机摸出两个小球颜色相同的有8种结果，再由概率公式求解即可．21·世纪*教育网
【解答】解：根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有20种等可能结果，随机摸出两个小球颜色相同的有8种结果，
随机摸出两个小球颜色相同的概率为，
故选：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
3. （2021 宁波模拟）某校举行诗词大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三名同学，则甲、乙两位同学获得前两名的概率是
A． B． C． D．
【分析】先画出树状图，再求出概率即可．
【解答】解：画树状图如下，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知：所有等可能的结果有6种，其中甲、乙两位同学获得前两名的有2种，
甲、乙两位同学获得前两名的概率为，
故选：．
【点评】本题主要考查列表 ( http: / / www.21cnjy.com )法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
4. （2021 武汉模拟）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再有概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，
则至少有两辆车向左转的概率为：．
故选：．
【点评】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率所求情况数与总情况数之比求解．
5. （2021 拱墅区校级四模）一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
摸到1个红球和1个蓝球的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6. （2021 门头沟区二模）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论．
【解答】解：两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘，
指针落在每个数字上的可能性是相同的．
依据题意列树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在奇数上的可能有6种，
指针都落在奇数上的概率是：．
故选：．
【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键．21cnjy.com
7. （2021 安徽二模）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别写着数字1，2，3，4将它投掷于桌面上，连续投掷两次，则两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率是
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有16种等可能的结果，两次与桌面接触的面上的数字之和为5的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16种等可能的结果，两次与桌面接触的面上的数字之和为5的有4种情况，
两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率为，
故选：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8. （2021 江夏区模拟）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中，至少有两只雄鸟的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据题意列举出所有等可能结果，看三只雏鸟中至少有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共8种等可能结果，三只雏鸟中至少有两只雄鸟的有4种情况，
所以3只雏鸟中，至少有两只雄鸟的概率是，
故选：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概 ( http: / / www.21cnjy.com )率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
9. （2021 沐川县模拟）小张和小王两人玩“剪刀、石头、布”游戏，当两人手势一样为平局．现在两人随机出手一次，则出现平局的概率为
A． B． C． D．
【分析】列表得出共有9种等可能情况，出现平局的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：所有可能结果列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能情况，出现平局的情况有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
出现平局的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法以及概率公式；列表得出所有情况是解题的关键．
10. （2021 龙口市模拟）有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙．若从这4把钥匙中任取2把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为 【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把打开甲的钥匙记为，打开乙的钥匙记为，画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有4个，
打开甲、乙两把锁的概率为，
故选：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．www-2-1-cnjy-com
11. （2021春 江岸区校级月考）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把2件合格产品记为、，2件不合格记为、，
画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，
抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
12. （2021 江岸区模拟）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是
A． B． C． D．
【分析】画树状图（用、表示两把不同的锁，用、、、表示四把钥匙，其中能打开，能打开展示所有8种等可能的结果，找出一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用、表示两把不同的锁，用、、、表示四把钥匙，其中能打开，能打开，
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有8种等可能的结果，其中一次打开锁的结果数为2，
所以取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率．
故选：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
13. （2021 宽城区一模）甲、乙两名 ( http: / / www.21cnjy.com )同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球．若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到和为奇数和偶数的结果数，再根据概率公式分别求出两人获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
（甲获胜），（乙获胜）．
，
这个游戏对双方不公平．
【点评】此题考查的是游戏的公平性、 ( http: / / www.21cnjy.com )用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
14. （2020秋 市北区期末）在一个 ( http: / / www.21cnjy.com )不透明的盒子中只装2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它们除颜色外其余均相同．从这个盒子中随机地摸出1枚棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1枚棋子记下颜色．
（1）请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子是不同颜色的概率．
（2）若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的棋子颜色不同则小明获胜，否则小亮获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图，再由概率公式求解即可；
（2）分别求出小明获胜、小亮获胜的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16个等可能的结果，两次摸出的棋子是不同颜色的结果有8个，
（两次摸出的棋子是不同颜色）；
（2）由（1）得：（小明获胜），
两次摸出的棋子颜色相同的结果有8个，
（小亮获胜），
（小明获胜）（小亮获胜），
这个游戏公平．
【点评】本题考查的是列表法与树状图法、游戏公平性的判断．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15. （2021 鄂尔多斯）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）动物园；七星湖；鄂尔多斯大草原；康镇；蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中 10 ，表示的扇形的圆心角是 度；
（3）九年级准备在最喜欢景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
【分析】（1）用项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数分别减去其它项目的人数得到项目的人数，即可补全条形图；
（2）用项目人数除以总人数得到项目的百分比的值，用乘以项目人数所占比例可得其圆心角度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出2名学生都是女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）对应的圆心角为，的人数是50，
此次抽取的九年级学生共（人，
对应的人数是：，
补全条形统计图如图1所示：
（2）所占的百分比为，
，
表示的扇形的圆心角是；
故答案为：10，；
（3）画树状图为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有20种等可能的结果数，其中选出的2名学生都是女生的结果数为6，
选出的2名学生都是女生的概率为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了统计图．
16. （2021 邗江区二模）为了响应区教育局 ( http: / / www.21cnjy.com )“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文21世纪教育网老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．
（1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是： ；
（2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．
【分析】（1）本次家访的对象为班级 ( http: / / www.21cnjy.com )第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学，共有3种情况，其中李佳同学被王老师选为家访对象只有一种情况，利用概率公式计算即可．
（2）画树状图列出等可能的所有结果为9种，其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3种情况，利用概率公式计算即可．21*cnjy*com
【解答】解：（1）本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学，共有3种情况，
其中李佳同学被王老师选为家访对象只有一种情况，
所以李佳同学被王老师选为家访对象的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图列出等可能的所有结果为9种，其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3种情况．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（王老师和李老师家访的是同一个同学）．
【点评】本题考查了列举法求概率与画树状图或列表法求概率，掌握列举法求概率与画树状图或列表的方法，记准概率公式是关键．2-1-c-n-j-y
17. （2021 黄石）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：．铜绿山古铜矿遗址，．黄石国家矿山公园，．湖北水泥遗址博物馆，．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 50 人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入、两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）根据景点的人数和所占的百分比求出总人数，再用乘以部分所对占的百分比，即可得出部分所对应的扇形圆心角度数；
（2）用总人数减去其他旅游景点的人数，再补全统计图即可；
（3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出两位老师在同一个小组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：（人，
扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角是：；
故答案为：50，；
（2）景点的人数有：（人，补全统计图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）根据题意有四种情形：，，，，其中两位老师在同一个小组的有2种情况，
则两位老师在同一个小组的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率，也考查了条形统计图．
1. （2020 武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是；
故选：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
2. （2020 广西）九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为、、、，画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，
恰好抽到小华和小明的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
3. （2020 德阳）下列说法错误的是
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项正确；
抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项正确；
一组数据的众数有一个或者几个或者没有，故选项错误；
抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得，故选项正确；
故选：．
【点评】本题考查抽样调查、用样本估计总体、众数和方差，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
4. （2020 广西）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝 ( http: / / www.21cnjy.com )上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；
两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，
获得食物的概率是，
故选：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
5. （2020 东营）如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，
能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合，
则（能让两盏灯泡、同时发光）．
故选：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
6. （2020 湘西州）从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为
A． B． C． D．
【分析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．
【解答】解：从长度为、、、四条线段中随机取出三条，
共有以下4种结果（不分先后）
、、，
、、，
、、，
、、，
其中，能构成三角形的只有1种，
．
故选：．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．
7. （2020 荆州）若标有，，的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘前需先摘，直到摘完，则最后一只摘到的概率是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】第一次摘有两种可能，先摘或者先摘，两者概率一样，都为，如果先摘，那么一定会导致最后摘到，如先摘，画树状图，由概率公式得出最后摘到的概率为，两种情况之和即为所求．
【解答】解：（1）第一次摘有两种可能，先摘或者先摘，两者概率一样，都为，
如果先摘，那么一定会导致最后摘到；
（2）由（1）得：第一次摘有两种可能，先摘或者先摘，两者概率一样，都为，
如先摘，画树状图如下：
共有2个可能的结果，最后一只摘到的结果有1个，
最后摘到的概率为，
综上所述，最后一只摘到的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
8. （2020 湖北）有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有9种等可能的结果，两次取出的数字之和是奇数的有4种结果，
两次取出的数字之和是奇数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
9. （2020 玉林）经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是 ．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图知，共有4种等可能结果，其中至少有一辆向左转的有3种等可能结果，
所以至少有一辆向左转的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
10. （2020 咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，
，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果，是正确解答的关键．
11. （2020 河南）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16种等可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，
（两次颜色相同），
故答案为：．
【点评】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
12. （2020 滨州）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．21*cnjy*com
【分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三角形的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：3，5，8，10，13 ( http: / / www.21cnjy.com )，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；
共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为4，所以可以组成三角形的概率．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了三角形三边的关系．
13. （2020 重庆）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为 ．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有16种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为3，
所以点在第二象限的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了点的坐标．
14. （2020 黔东南州）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画出树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
15. （2020 铜仁市）从，，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有和这2种结果，
该点在第三象限的概率等于，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．【来源：21·世纪·教育·网】
16. （2020 烟台）奥体中心为 ( http: / / www.21cnjy.com )满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用，，，，表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）此次共调查的学生有：（名；
（2）足球的人数有：（人，补全统计图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）根据题意画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，
则他俩选择不同项目的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21教育名师原创作品
17. （2020 梧州）网络技术的发展对学生学习方 ( http: / / www.21cnjy.com )式产生巨大的影响，某校为了了解在空中课堂中学生参与互动的次数，在3月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表：
组别 参与互动（次 占调查人数的百分率
16次以上
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）共抽查学生 60 人， ，中位数落在 组，请将频数分布直方图补充完整；
（2）已知该校共有学生1800人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？
（3）该校计划在组随机抽取两人了解情况，已知组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比求出总人数，用整体1减去其它组所占的百分比，求出，从而得出组的人数，再根据中位数的定义即可得出中位数落在组，最后补全统计图即可；
（2）用该校的总人数乘以参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和抽取两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．21世纪教育网版权所有
【解答】解：（1）共抽查学生数是：（人，
；
组的人数有：（人，
共有60人，中位数是第30、31个数的平均数，
中位数落在组，
补全统计图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：60，，；
（2）该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有；（人．
（3）根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有6种等可能的情况数，其中抽取两名学生都是男生的有2种，
则抽取两名学生都是男生的概率是．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21·cn·jy·com
18. （2020 陕西）从一副扑克牌中取出红桃，，和黑桃，，这两种花色的六张扑克牌．
（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃的概率；
（2）将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是一张的概率．
【分析】（1）由概率公式即可求解；
（2）画出树状图，共有9个等可能的结果，其中一张是一张的结果有2个，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，则这张牌是红桃的概率为；
（2）画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有9个等可能的结果，其中一张是一张的结果有2个，
其中一张是一张的概率为．
【点评】本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
25.2
用列举法求概率
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
中考真题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二十五章 概率
考点1 列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．2·1·c·n·j·y
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．2-1-c-n-j-y
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列 ( http: / / www.21cnjy.com )举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
考点2 游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数总情况数．
【例题1】 （2021 武汉模拟）两个红球和两个白球，除颜色外无其他差别，随机从中一次抽取两个球，颜色相同的概率是 21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【例题2】 （2021 新洲区模拟）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是
A． B． C． D．
【例题3】 （2021 青山区模拟）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，，卡片除数字不同外其他均相同，随机从这四张卡片中一次抽取两张，抽取的两张卡片上数字之积为非负数的概率是
A． B． C． D．
【例题4】 （2021 滨海县二模）小明和小强都想去观看“我和我的祖国”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，若两个转盘转出同种颜色，则小强去观看．
（1）利用树状图或列表的方法计算配成紫色的概率；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【例题5】 （2021 阜宁县二模）为 ( http: / / www.21cnjy.com )了减缓学生中考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
1. （2021 下城区模拟）在两个暗盒中，各自装有编号为1、2的两个球，两球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为
A． B． C． D．
2. （2021 武汉模拟）一个不透明的袋子中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色不同外完全相同，随机摸出两个小球颜色相同的概率为 21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
3. （2021 宁波模拟）某校举行诗词大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三名同学，则甲、乙两位同学获得前两名的概率是 【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
4. （2021 武汉模拟）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是
A． B． C． D．
5. （2021 拱墅区校级四模）一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为
A． B． C． D．
6. （2021 门头沟区二模）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7. （2021 安徽二模）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别写着数字1，2，3，4将它投掷于桌面上，连续投掷两次，则两次与桌面接触的面上的数字之和为5的概率是
A． B． C． D．
8. （2021 江夏区模拟）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中，至少有两只雄鸟的概率是 21*cnjy*com
A． B． C． D．
9. （2021 沐川县模拟）小张和小王两人玩“剪刀、石头、布”游戏，当两人手势一样为平局．现在两人随机出手一次，则出现平局的概率为 21*cnjy*com
A． B． C． D．
10. （2021 龙口市模拟）有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙．若从这4把钥匙中任取2把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为
A． B． C． D．
11. （2021春 江岸区校级月考）4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是
A． B． C． D．
12. （2021 江岸区模拟）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是
A． B． C． D．
13. （2021 宽城区一模）甲、乙两名同 ( http: / / www.21cnjy.com )学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球．若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
14. （2020秋 市北区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）在一个不透明的盒子中只装2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它们除颜色外其余均相同．从这个盒子中随机地摸出1枚棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1枚棋子记下颜色．
（1）请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子是不同颜色的概率．
（2）若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的棋子颜色不同则小明获胜，否则小亮获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．21教育网
15. （2021 鄂尔多斯）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）动物园；七星湖；鄂尔多斯大草原；康镇；蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．
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（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中 ，表示的扇形的圆心角是 度；
（3）九年级准备在最喜欢景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
16. （2021 邗江区二模）为了 ( http: / / www.21cnjy.com )响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文21世纪教育网老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．
（1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是： ；
（2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．
17. （2021 黄石）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：．铜绿山古铜矿遗址，．黄石国家矿山公园，．湖北水泥遗址博物馆，．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．【来源：21cnj*y.co*m】
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入、两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．【出处：21教育名师】
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1. （2020 武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是 www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
2. （2020 广西）九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是
A． B． C． D．
3. （2020 德阳）下列说法错误的是
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．一组数据的众数有且只有一个
D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得
4. （2020 广西）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
5. （2020 东营）如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6. （2020 湘西州）从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为
A． B． C． D．
7. （2020 荆州）若标有，，的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘前需先摘，直到摘完，则最后一只摘到的概率是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
8. （2020 湖北）有3张看上去无差别的卡片 ( http: / / www.21cnjy.com )，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为 ．
9. （2020 玉林）经过人 ( http: / / www.21cnjy.com )民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是 ．
10. （2020 咸宁）某校开展以“我和我的 ( http: / / www.21cnjy.com )祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ．
11.
12. （2020 河南）如图所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是 ．
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13. （2020 滨州）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．
14. （2020 重庆）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为 ．
15. （2020 黔东南州）某校 ( http: / / www.21cnjy.com )九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 ．
16. （2020 铜仁市）从，，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
17. （2020 烟台）奥体中心为满足暑 ( http: / / www.21cnjy.com )期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：21cnjy.com
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用，，，，表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．
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18. （2020 梧州）网络技术的发展对学 ( http: / / www.21cnjy.com )生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在空中课堂中学生参与互动的次数，在3月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表：21·cn·jy·com
组别 参与互动（次 占调查人数的百分率
16次以上
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）共抽查学生 60 人， ，中位数落在 组，请将频数分布直方图补充完整；
（2）已知该校共有学生1800人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？www.21-cn-jy.com
（3）该校计划在组随机抽取两人了解情况，已知组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率．21·世纪*教育网
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19. （2020 陕西）从一副扑克牌中取出红桃，，和黑桃，，这两种花色的六张扑克牌．
（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃的概率；
（2）将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是一张的概率．
25.2
用列举法求概率
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
中考真题
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