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第二十五章 概率
考点1 利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件 ( http: / / www.21cnjy.com )发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21·世纪*教育网
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
考点2 模拟实验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．
（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．【来源：21·世纪·教育·网】
（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．21*cnjy*com
【例题1】 （2021春 崇川区校级期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为
A．10 B．12 C．16 D．20
【例题2】 （2021春 南京期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．则可估计袋中白球的个数是 【来源：21cnj*y.co*m】
A．10 B．15 C．20 D．25
【例题3】 （2021 深圳模拟）某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
【例题4】 （2021春 成都期末）在一个不透明的口袋中 ( http: / / www.21cnjy.com )有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球 个．21·cn·jy·com
【例题5】 （2021春 江宁区月考）给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是．
其中正确命题有 ．
1. （2021 衡水模拟）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则的值为 21cnjy.com
A．8 B．10 C．6 D．4
2. （2021 邵阳县模拟）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有四个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618；④若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是 www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
3. （2021春 泰兴市月考）在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有 21教育名师原创作品
A．18 B．27 C．36 D．30
4. （2021 石家庄模拟）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
5. （2020秋 吉水县期末）在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 42 54 84 205 328 401
摸到黑球的频率 0.42 0.3 0.42 0.41 0.41 0.401
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
6. （2020秋 长春期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是 21世纪教育网版权所有
A．6个 B．14个 C．20个 D．40个
7. （2020秋 丹东期末）某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为 www-2-1-cnjy-com
抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000
能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880
能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97
A．0.95 B．0.96 C．0.97 D．0.98
8. （2020 南充模拟）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替 2·1·c·n·j·y
A．两张扑克，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面”
B．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
C．扔一枚图钉
D．人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人
9. （2021 南开区一模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有 个．2-1-c-n-j-y
1. （2020 嘉峪关）在一个不透明的袋 ( http: / / www.21cnjy.com )中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 个．
2. （2020 广西）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位） 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
3. （2020 呼和浩特）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到，可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率（精确到
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
4. （2020 新疆）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数 200 500 800 2000 12000
成活的棵数 187 446 730 1790 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 ．（精确到
5. （2020 泰州）一只不透明袋子中 ( http: / / www.21cnjy.com )装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：21教育网
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 ．（精确到，由此估出红球有 个．21*cnjy*com
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．【版权所有：21教育】
6. （2020 盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
7. （2020 邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8. （2020 徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是
A．5 B．10 C．12 D．15
25.3
用频率估计概率
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
中考真题
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第二十五章 概率
考点1 利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事 ( http: / / www.21cnjy.com )件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
考点2 模拟实验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．
（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．
【例题1】 （2021春 崇川区校级期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为
A．10 B．12 C．16 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
答：的值大约为16．
故选：．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
【例题2】 （2021春 南京期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．则可估计袋中白球的个数是
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5，
摸到白球的频率为，
设袋子中，白球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即布袋中白球可能有10个，
故选：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量 ( http: / / www.21cnjy.com )重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【例题3】 （2021 深圳模拟）某班学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
【分析】先根据随着实验次数的逐渐增大，其频率逐渐稳定于0.33，即此结果发生的概率约为0.33，即，再利用概率公式求出各选项中时间发生的概率，从而得出答案．
【解答】解：由表知，随着实验次数的逐渐增大，其频率逐渐稳定于0.33，即此结果发生的概率约为0.33，即，
．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，符合题意；
．抛一枚硬币，出现正面的概率为0.5，不符合题意；
．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率及 ( http: / / www.21cnjy.com )概率公式，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2·1·c·n·j·y
【例题4】 （2021春 成都期末）在一个不透明 ( http: / / www.21cnjy.com )的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球 9 个．
【分析】设口袋中白球的个数为，根据摸到黑球的频率稳定在0.25及摸到黑球的概率为0.25，据此列出关于的方程，解之可得答案．
【解答】解：设口袋中白球的个数为，
根据题意，得：，
解得，
检验：当时，，
是分式方程的解，且符合题意，
原来口袋中有白球9个，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查利用频率 ( http: / / www.21cnjy.com )估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．www.21-cn-jy.com
【例题5】 （2021春 江宁区月考）给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是．
其中正确命题有 ④ ．
【分析】通过概率、频率的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，概率指的是在无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率，对选项一一判断真假即可．
【解答】解：①由定义知出 ( http: / / www.21cnjy.com )现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，故①错误；
②100次并不是无穷多次，只能说明100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误；
③根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，故③错误；
④频率是重复试验是，出现的次数与重复试验的次数的比值，故出现1点的频率是，故④正确．
故答案为：④．
【点评】本题考查了模拟试验中，概率与频率的关系，解决本题的关键就是理解概率跟频率的定义．
1. （2021 衡水模拟）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则的值为 www-2-1-cnjy-com
A．8 B．10 C．6 D．4
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：依题意有：，
解得：，
经检验是原方程的解．
故选：．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）是解题关键．
2. （2021 邵阳县模拟）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有四个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618；④若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是 21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，不符合题意，
随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率 ( http: / / www.21cnjy.com )总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，符合题意，
③当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.618，正确，符合题意，
若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故④错误，不符合题意．
合理的有②③
故选：．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
3. （2021春 泰兴市月考）在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有
A．18 B．27 C．36 D．30
【分析】由摸到黑球的频率稳定在0.4附近得出口袋中得到黑色球的概率，进而求出黑球个数即可．
【解答】解：设袋子中黑球的个数为，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以袋子中黑球的个数为30，
故选：．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
4. （2021 石家庄模拟）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【解答】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：．
【点评】本题主要考查的是利用频率 ( http: / / www.21cnjy.com )估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．21cnjy.com
5. （2020秋 吉水县期末）在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 42 54 84 205 328 401
摸到黑球的频率 0.42 0.3 0.42 0.41 0.41 0.401
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.4左右，即为摸出黑球的概率．
【解答】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.4左右，
所以摸到黑球的概率约是0.4，
故选：．
【点评】本题考查了利用频率估计概 ( http: / / www.21cnjy.com )率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21教育网
6. （2020秋 长春期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是 【来源：21·世纪·教育·网】
A．6个 B．14个 C．20个 D．40个
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数，即可求出答案．
【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是（个．
故选：．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．【出处：21教育名师】
7. （2020秋 丹东期末）某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为
抽查车辆数 100 500 1000 2000 3000 4000
能礼让的驾驶员人数 95 486 968 1940 2907 3880
能礼让的频率 0.95 0.972 0.968 0.97 0.969 0.97
A．0.95 B．0.96 C．0.97 D．0.98
【分析】根据6次调查从100辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，从而求得答案．
【解答】解：抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，
可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.97．
故选：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率： ( http: / / www.21cnjy.com )大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
8. （2020 南充模拟）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替 21教育名师原创作品
A．两张扑克，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面”
B．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
C．扔一枚图钉
D．人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人
【分析】分析替代试验出现的概率后，与“抛一枚均匀硬币”的实验中的概率比较．
【解答】解：、两张扑克，质地均匀，可以用“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面；
、两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球可以代替；
、因为图钉有大小头，所以不能代替．
、人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人，可以代替．
故选：．
【点评】在此类实验中，只要所选的代替物与“抛一枚均匀硬币”的实验中出现的概率相同就可代替．
9. （2021 南开区一模）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有 6 个．
【分析】球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．
【解答】解：红球个数为：个．
故答案为：6．
【点评】具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．
1. （2020 嘉峪关）在一个不透明的袋中 ( http: / / www.21cnjy.com )装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有 17 个．
【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
假设有个红球，
，
解得：，
经检验是分式方程的解，
口袋中红球约有17个．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
2. （2020 广西）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位） 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 0.8 （结果保留小数点后一位）．21·cn·jy·com
【分析】大量重复试验时，事件发生的 ( http: / / www.21cnjy.com )频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21·世纪*教育网
【解答】解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
3. （2020 呼和浩特）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 0.9 （精确到；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到，可获得12000元利润．21*cnjy*com
柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率（精确到
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
【分析】利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答．21*cnjy*com
【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是；
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为4.7元，
故答案为：0.9，4.7．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键．
4. （2020 新疆）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数 200 500 800 2000 12000
成活的棵数 187 446 730 1790 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 0.9 ．（精确到
【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量 ( http: / / www.21cnjy.com )重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2-1-c-n-j-y
5. （2020 泰州）一只不透明袋子中装有1个白 ( http: / / www.21cnjy.com )球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 ．（精确到，由此估出红球有 个．
（2）现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．
【分析】（1）通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，估计得出答案；
（2）画树状图，共有6个等可能的结果，恰好是1个白球，1个红球的情况数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．
故答案为：0.33，2；
（2）将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则个白球，1个红球）；
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了利用频率估计概率．
6. （2020 盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【分析】先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不低于的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是0.68．
故选：．
【点评】本题考查了利用频率估计概 ( http: / / www.21cnjy.com )率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
7. （2020 邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计 ( http: / / www.21cnjy.com )概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
8. （2020 徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是
A．5 B．10 C．12 D．15
【分析】设袋子中红球有个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于的方程，求出的值，从而得出答案．
【解答】解：设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是5个，
故选：．
【点评】本题主要考查利用频率 ( http: / / www.21cnjy.com )估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【版权所有：21教育】
25.3
用频率估计概率
知识梳理
例题剖析
好题速递
基础巩固
中考真题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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