2022-2023学年苏科版八年级数学上册第1章全等三角形 解答专项练习题（word、含解析）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》解答专项练习题（附答案）
1．如图，点A，F，C，D在同一直线上，BC，EF交于点G，∠B＝∠E＝90°，AF＝CD，AB＝DE．
求证：（1）Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）FG＝CG．
2．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝CD．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）求证：AB∥DE．
3．如图．已知点D和点B在线段AE上，且AD＝BE，点C和点F在AE的同侧，∠A＝∠E，AC＝EF，DF和BC相交于点H．
（1）求证：BC＝DF；
（2）当∠CHD＝120°时．猜想△HDB的形状，并说明理由．
4．如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．
5．如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）求证：AE＝AF．
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，连接CD．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝2，则BD＝　 　；
（2）如图2，作DF∥AC，且DF＝AC＝BD，连接BF，CF，求证：△ABF≌△BAC．
7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你判断：BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．
8．如图，△ABC中，两条高BD和CE相交于H，已知AB＝CH．试判断△BCD的形状并说明理由．
9．如图，已知B、D在线段AC上，且BF＝DE，AD＝CB，∠AED＝∠CFB＝90°．
（1）求证：△AED≌△CFB．
（2）求∠ADE+∠C的度数．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
（1）请说明△AEF≌△BEC的理由．
（2）如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
11．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
12．如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．
如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE于点F．
（1）求证：△ACD≌△BEC；
（2）若∠DCE＝120°，求∠CDE的度数，
（3）求证：CF平分∠DCE．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB＝DA，BE⊥AD于点E，F为BE的中点，连接AF．
（1）试说明∠BAC+∠EBD＝90°；
（2）过C作CG⊥BD，与AD交于点G，若∠BAC＝∠DAF，则AE＝CD吗？请说明理由．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上，且BD＝AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．
（1）求证：△ABC≌△BDE．
（2）求证：OC＝OE．
16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．
17．综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
18．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．
（1）求证：△ABF≌△ACG；
（2）求证：BE＝CG+EG．
20．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
参考答案
1．证明：（1）∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）由（1）知，Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠BCA＝∠EFD，
∴GF＝GC．
2．证明：（1）∵点A、F、C、D在一条直线上，AF＝CD，
∴AC＝DF．
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ABC≌△DEF，（SSS）；
（2）由（1）知∠A＝∠D，且∠A，∠D为内错角，
∴AB∥DE．
3．（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
∴AB＝DE．
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴BC＝DF；
（2）解：△HDB是等边三角形；理由：
∵△ABC≌△EDF，
∴∠HDB＝∠HBD．
∵∠CHD＝∠HDB+∠HBD＝120°，
∴∠DHB＝∠HDB＝∠HBD＝60°，
∴△HDB是等边三角形．
4．解：AP＝AQ且AP⊥AQ．
理由如下：
∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，∠ACQ+∠CAN＝90°．
∴∠ABP＝∠ACQ．
在△ACQ和△PBA中，
∴△ACQ≌△PBA（SAS）．
∴AP＝AQ，∠Q＝∠PAB．
∵∠Q+∠NAQ＝90°．
∴∠PAB+∠NAQ＝90°．
∴∠QAP＝90°．
∴AP⊥AQ．
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
5．证明：（1）∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）；
（2）∵△BED和△CFD，
∴DE＝DF，
∴BD+DF＝CD+DE，
∴BF＝CE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴AE＝AF．
6．（1）解：∵CD⊥AB，∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，
故答案为：3；
（2）证明：∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝60°，
又∵DF＝BD，
∴△BDF为等边三角形，
∴∠DBF＝∠BAC＝60°，BF＝DF，
即BF＝AC，
在△ABF和△BAC中，
，
∴△ABF≌△BAC（SAS）．
7．（1）证明：∵AC∥BG，
∴∠DBG＝∠DCF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DB，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG＝CF；
（2）BE+CF＞EF，
证明：∵△BDG≌△CDF，
∴DG＝DF，
∵ED⊥GF，
∴EG＝EF，
∵BG+BE＞EG，CF＝BG，
∴BE+CF＞EF．
8．解：△BCD是等腰直角三角形，理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠HCD＝90°，
∴∠ABD＝∠HCD，
∴在△ABD和△HCD中，
，
∴△ABD≌△HCD（AAS），
∴BD＝CD，
∴△BCD是等腰直角三角形．
9．证明：（1）∵∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△AED和△CFB都为直角三角形，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）；
（2）解：由（1）知，Rt△AED≌Rt△CFB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵∠CFB＝90°，
∴∠C+∠CBF＝90°，
∴∠ADE+∠C＝90°．
10．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（AAS）；
（2）由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
11．解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝5，BE＝3，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）AC＝BF，理由如下：
如图，延长AD到点G，使DG＝AD，
由（1）同理得，△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC＝BG，∠CAD＝∠G，
∵AE＝FE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠AFG，
∴∠BFG＝∠G，
∴BF＝BG，
∴AC＝BF．
12．（1）证明：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，
在△AME和△BMF中，
，
∴△AME≌△BMF（AAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵△AME≌△BMF，
∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴EC＝FD，
∴EC﹣CF＝FD﹣CF，
即EF＝CD＝4，
∴EM＝EF＝2．
13．（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝EC，
∵∠DCE＝120°，
∴∠CDE＝（180°﹣∠DCE）＝30°；
（3）证明：∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝EC，
又∵CF⊥DE，
∴CF平分∠DCE．
14．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠BDE＝180°﹣2∠ABC，
∴∠BAC＝∠BDE，
∵BE⊥AD，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，
∴∠BAC+∠EBD＝90°；
（2）AE＝CD．
理由如下：
∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠CAG，
∵∠BAC＝∠BDE，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠AFB＝∠DAF+90°，∠AGC＝∠BDE+90°，
∴∠AFB＝∠AGC，
∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF＝CG，
∵F是BE的中点，
∴BF＝EF＝CG，
∵∠AEF＝∠DCG＝90°，∠EAF＝∠CDG，
∴△AEF≌△DCG（AAS），
∴AE＝CD．
15．（1）证明：如图，设BE交AC于点F，
∵DE⊥BD于点D，
∴∠BDE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BE⊥AB于点F，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠DBE＝90°﹣∠ABE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（ASA）．
（2）证明：如图，连接OB，
∵AB＝DB，∠ABD＝90°，O为AD中点，
∴OB＝OD＝OA＝AD，∠BAD＝∠BDA＝45°，∠OBC＝∠OBA＝∠ABD＝45°，
∴∠ODE＝∠BDE﹣∠BDA＝45°，
∴∠OBC＝∠ODE，
∵△ABC≌△BDE，
∴BC＝DE，
在△OBC和△ODE中，
，
∴△OBC≌△ODE（SAS），
∴OC＝OE．
16．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
17．解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
18．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°﹣α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+α）
＝180°﹣2α+β．
19．（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAG，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（ASA）；
（2）证明：∵△ABF≌△ACG，
∴AF＝AG，BF＝CG，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠CAD＝∠CAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS）．
∴EF＝EG，
∴BE＝BF+FE＝CG+EG．
20．（1）解：方法一：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；
方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，
∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．