2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.2平行线分线段成比例　解答专项练习题（word、含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.2平行线分线段成比例》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，延长△ABC的边BC到D，使CD＝BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求EC：AC的值．
2．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连接CF并延长，交AB于点E，已知CD：BD＝3：2，求的值．
3．如图，直线DE交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且BE：BC＝2：3，AD＝CD，求AF：BF的值．
4．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC，试求AF与FB的比．
5．如图，△ABD中，点C、F分别为BD、AB上一点，AC、DF交于E，且CD＝2BC，AE＝2CE．求的值．
6．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，BD：DC＝3：1，G为AD的中点，联结BG并延长AC交于E，求EG：GB的值．
7．如图所示，△ABC中，BC上有一点D，BD：DC＝1：3，F是AD的中点，BF的延长线交AC于点E，求的值．
8．如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且，射线CF交AB于E点，求．
9．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，DE∥BC，若AE＝4，AD＝5，EC＝3，求DE的长．
10．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　 　．
11．如图已知：△ABC中，F分AC为1：2两部分，D为BF中点，AD的延长线交BC于E，求：BE：EC．
12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB．F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P．
（1）求EP：PF的值．
（2）求AP：PD的值．
13．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，E是AC边上的点，BE交AD于点G，且＝，AD＝6，求AG的长．
14．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
（1）当＝时，＝；
（2）当＝时，＝；
（3）当＝时，＝；
…
猜想：当＝时，＝？并说明理由．
15．如图所示，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB的延长线上的一点，且＝．求证：AD＝EB．
16．已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB＝4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC＝2CD．
17．如图，AD为边BC边上中线，E为AD的中点，连BE交AC于F，则AF：AC＝　 　
（1）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝　 　；
（2）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝　 　，并证明．
（3）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝　 　．
18．一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．
求证：．
19．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．
（1）求线段BF的长；
（2）求AE：EC的值．
20．如图，△ABC中，AF：FD＝1：3，BD＝DC，求AE：EC的值．
21．已知：∠1＝∠2，CD＝DE，EF∥AB，求证：EF＝AC．
参考答案
1．解：取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，如图所示：
又∵F为AB中点，
∴FG∥AC，且FG＝AC，
∴EC∥FG，
∴，
∵CG＝BC，DC＝BC
设CG＝k，那么DC＝BC＝2k，DG＝3k
∴即，
∵FG＝AC
∴，
∴EC：AC＝1：3．
2．解：作DG∥CE，交AB于点G，如图，
∵DG∥CE，
∴，
设BG＝2x，则GE＝3x，
∵EF∥DG，
∴＝1，
∴AE＝EG＝3x，
∴．
3．解：过点D作DG∥AB交BC于点G，
∵AD＝CD，
∴DG＝AB，BG＝GC，
∵BE：BC＝2：3，
∴BE：BG＝2：1.5＝4：3，
∴＝＝，
∴＝4：14，
∴AF：BF＝10：4＝5：2．
4．解：过C作CG∥AB交DF于G，
∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，
∴，，
∵BC＝3CD，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝4CG，
∵AE＝2EC，
∴＝，
∴AF＝2CG，
∴＝．
5．解：
过C作CM∥DF交AB于M，
∵CM∥DF，
∴△CMB∽△DFB，
∴＝，
∵CD＝2BC，
∴＝，
∴CM＝DF，
∵CM∥DF，
∴△AFE∽△AMC，
∴＝，
∵AE＝2CE，
∴＝，
∴EF＝CM＝DF，
∴＝．
6．解：过D作DF∥AC交BE于F，
∴∠FDG＝∠EAG，
∵G是AD的中点，
∴AG＝DG，
在△AEG∽△DFG，
，
∴△AEG≌△DFG，（ASA）
∴FG＝EG，
∵DF∥AC，BD：DC＝3：1，
∴BF：EF＝3：1，
∴EG：BG＝1：7．
7．证明：如图，过点D作DM∥AC交BE于点M．
∵F是AD的中点，DM∥AE，
∴DF＝AF，＝＝1，则AE＝DM，
又∵BD：DC＝1：3，DM∥EC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝
8．解：如图，取CE的中点G，连接DG，
∵AD是BC边上的中线，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG∥BE，DG＝BE，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
9．解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴DB＝，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∴DE的长为．
10．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
11．解：
过F作FO∥BC交AE于O，
则∠FOD＝∠BED，
∵D为BF中点，
∴FD＝BD，
在△FDO和△BDE中
∴△FDO≌△BDE，
∴FO＝BE，
∵FO∥BC，
∴△AOF∽△AEC，
∵AF：FC＝1：2，
∴，
∴，
12．解：（1）分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．
则＝＝，＝＝，
又BD＝CD，
∴＝∴＝＝；
（2）设AF1＝y，F1P＝4x，PE1＝5x，E1D＝z，
则＝，＝，
解得y＝36x，z＝15x，
∴＝＝＝．
13．解：过点D作DF∥BE，则可知，
且D为BC中点，所以F也为CE中点，即CF＝EF，
所以，
可求得AE＝EF，所以，
即，且AD＝6，
所以AG＝．
14．解：猜想：当＝时，＝；理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；
则，
∴，EG＝nAE；
∵AD是△ABC的中线，
∴EG＝CG，AC＝（2n+1）AE，
∴．
15．证明：如图，
过点D作DG∥AB于点G；
则，
∵＝，
∴，
∴AD＝EB．
16．证明：作CF∥DE，交AB于F，如图，
∵ME∥CF，
∴＝，
而M为AC边的中点，
∴AM＝MC，
∴AE＝EF，
∵AB＝4AE，
∴EF＝AB，BF＝AB，
∴BF＝2EF，
∵CF∥DE，
∴＝＝2，
∴BC＝2CD；
17．解：作CF的中点G，连接DG，
则FG＝GC
又∵BD＝DC
∴DG∥BF
∵AE＝ED
∴AF＝FG
∴AF：FC＝1：2．
∴AF：AC＝1：3
（1）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝1：5；
（2）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝1：7．
（3）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝1：（2n+1）．
∵EF平行DG
∴AF：FG＝AE：ED＝1：n
又∵FG＝GC
∴AF：FG：GC＝1：n：n
∴AF：AC＝1：（1+n+n）＝1：（2n+1）
故答案为：1：3，1：5，1：7，1：（2n+1）．
18．证明：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知
＝，＝，
∴××＝××＝1．
19．解：（1）作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC＝，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝4，
∵DF垂直平分AB，
∴BD＝，∠BDF＝90°
∵∠ABH＝∠FBD，
∴Rt△FBD∽Rt△ABH，
∴＝＝，即＝＝，
∴BF＝5，DF＝2；
（2）作CG∥AB交DF于G，如图，
∵BF＝5，BC＝4，
∴CF＝1，
∵CG∥BD，
∴＝＝，
∵CG∥AD，
∴＝＝＝5．
20．解：过点D作DG∥BE交AC于G，
则AF：FD＝AE：EG＝1：3，BD：CD＝EG：CG＝1：1，
所以可得AE：EC＝1：6．
21．证明：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵∠1＝∠2，
∴DM＝DN，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，
∴＝．
∵EF∥AB，
∴＝；
∴，
又∵CD＝DE，
∴EF＝AC．