2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定 同步知识点分类练习题(word版含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．正方形的性质
1．如图，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AF＝BE．求证：∠BAE＝∠ADF．
2．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P是对角线BD上一动点，过点P作PQ⊥AP，交射线CB于点Q．
如图①，当点P与点O重合时，易证CQ＝PD（不需证明）；当点P在线段DO上时，如图②；当点P在线段BO上时，如图③，判断CQ与PD有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②进行证明．
3．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
（探究建模）
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线，求证：AE＝CF；
（类比应用）
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
4．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：BH⊥DE；
（2）若正方形ABCD的边长为2，当点H为DE中点时，求CG的长．
5．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC＝∠ABE．
应用：①Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？
②若AB＝，BC＝6．∠ABC＝45°，求BE的长度是多少？
6．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
7．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
8．如图所示，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．求证：
（1）△ADE≌△CDE；
（2）若点H是FG上的中点，连接EC和CH，求证：CH⊥CE．
9．如图，已知正方形ABCD，点E是AB上的一点，连接CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连接DG．
求证：（1）△CBE≌△CDG；
（2）AB＝AE+DG．
10．如图，△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC的度数为α，四边形BCDE为正方形．
（1）当α＝45°时，求AE的长．
（2）当α＝　 　度时，AE的长最大，AE的最大值为 　 　．
11．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，∠DAE的平分线AG与边CD相交于点G，与BC的延长线相交于点F．
（1）若AB＝2，BE＝CE，求CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，求证：G为边CD的中点．
12．如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，连接BE，CF交于点G，连接AG．
（1）求证：BE⊥CF．
（2）线段AB与线段AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由．
13．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
二．正方形的判定
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．
16．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
三．正方形的判定与性质
17．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
18．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：矩形DEFG为正方形；
（2）求证：CE+CG＝8．
19．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
20．如图，在 ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若AC＝2AB，则四边形GEHF是 　 　形；
（3）当AC、AB满足 　 　时，四边形GEHF是正方形．
参考答案
一．正方形的性质
1．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AB＝AD，
又∵AF＝BE，
∴在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE＝∠ADF．
2．解：图②结论：CQ＝PD；
图③结论：CQ＝PD；
证明：如图②，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于点S，交CD于点R，连接PC，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PBH＝45°，
∴△BPH为等腰直角三角形，
同理△BPS为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，
∴PG＝PR，
∵∠APG+∠QPH＝90°，∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠APG＝∠PQH，
在△PGA和△QHP中，
，
∴△PGA≌△QHP（AAS），
∴AP＝PQ，
在△PGA和△PRC中，
，
∴△PGA≌△PRC（SAS），
∴AP＝PC，
∴PQ＝PC，
∴CQ＝2HC＝2PR＝2×PD＝PD．
3．（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）解：猜想：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝DF，
∴EF＝DE，
∵AE+EC＝EC+CF＝EF，
∴EA+EC＝DE．
4．证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）连接BD，
∵点H为DE中点，BH⊥DE，
∴BH为DE的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∵BC＝CD＝2，
∴BD＝，
∴BE＝BD＝2，
∵CE＝BE﹣BC＝2﹣2，
∴CG＝CE＝2﹣2．
5．探究：证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，
∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC＝∠BAE，
在△ANC和△ABE中，
，
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC＝∠ABE．
应用：①解：如图所示：
∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB＝90°，
∴∠ANC+∠AON＝90°，
∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP＝90°，
∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，
∵Q为BC中点，BC＝6，
∴PQ＝BC＝3；
②如图，连接BN，
∵四边形ABMN是正方形，
∴BN＝AB＝10，∠ABN＝45°，
∴∠NBC＝90°，
∴BN⊥BC
∴CN＝＝＝2，
∵△ANC≌△ABE，
∴CN＝BE＝2．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°．
7．解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中 ，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
8．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠1＝∠2，
∵在Rt△FCG中，点H是FG上的中点，
∴CH＝FG＝GH，
∴∠4＝∠G，
∵AD∥BG，
∴∠1＝∠G，
∴∠4＝∠1，
∵∠2＝∠1，
∴∠4＝∠2，
∵∠4+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴EC⊥CH．
9．证明：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，
∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△CBE≌△CDG（SAS）；
（2）由（1）知，△CBE≌△CDG，
∴BE＝DG．
∵AB＝AE+EB，
∴AB＝AE+DG．
10．解：（1）以AB为边，在AB的左侧作正方形ABMN，连接MC、AM，则AB＝BM，∠ABM＝90°，∠MAB＝45°，
∵AB＝2，
∴AM＝2，
∵四边形BCDE为正方形，
∴BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠MBC＝∠ABE，
∴△MBC≌△ABE，
∴MC＝AE，
∵α＝45°，∠MAB＝45°，
∴∠MAC＝∠MAB+∠BAC＝90°，
∵AC＝，AM＝2，
∴MC＝＝，
∴AE＝．
（2）结合图1可知，当M、A、C三点共线时，MC的长最大，即AE的长最大，
∴AE＝MC＝MA+AC＝2+，
此时，∠MAC＝180°，∠MAB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°＝135°，即α＝135°．
故答案为：135，2+．
11．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，BE＝CE，
∴BE＝EC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵E、F是CD和AD的中点，
∴CE＝CD，DF＝AD，
∴CE＝DF，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCG＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴BE⊥CF；
（2）解：线段AB与线段AG相等；理由如下：
延长CF交BA的延长线于点H，如图所示：
∵F是AD的中点，
∴DF＝AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠D＝∠FAH＝90°，
在△CDF和△HAF中，，
∴△CDF≌△HAF（ASA），
∴CD＝AH，
∴AB＝AH，
∴A是BH中点，
由（1）得：BE⊥CF，
∴∠BGH＝90°，
∴AG＝AB．
13．证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG
∴△DCG≌△HGF（SAS）
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB＝3，EC＝5，
∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5
∵AD∥EF
∴＝，且DE＝2
∴EM＝
二．正方形的判定
54．证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE＝DN，DN＝DF，
∴DF＝DE，
∴矩形CFDE是正方形．
55．（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
56．证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC＝∠ECB＝45°
∴∠BEC＝90°，BE＝CE
∴四边形BECF是正方形．
三．正方形的判定与性质
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
518．（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）证明：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×4＝8，
19．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．
又∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
20．证明：（1）连接BD，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，
∴点O是对角线AC，BD的交点，
∴OB＝OD，
∵G是AD的中点，
∴EG是△AOD的中位线，
∴EG∥OD，EG＝OD，
同理：FH∥OB，FH＝OB，
∴EG＝HF，EG∥HF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）∵四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AC＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形；
故答案为：矩；
（3））∵四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AC＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形，
∵AC⊥AB，
∴EG⊥EH，
∴矩形GEFH是正方形．
故答案为：AC＝2AB，AC⊥AB．