2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.4解直角三角形　自主学习达标测试题(word版含答案)

2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》自主学习达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan∠C＝2，则边AB的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．2
4．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，，则边AB的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF＝，则△AEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（　　）
A．（8，） B．（8，12） C．（6，） D．（6，10）
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则sin∠BCD的值是 　 　．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD．若cos∠CDB＝，则BC的长度是 　 　．
11．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝　 　．
13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点（BE＜DE），将线段CE绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CE′，连接AE，DE′，EE′．
下列结论：①若∠BAE＝20°，则∠DE′E＝70°，②BE2+DE2＝2AE2；③若∠BAE＝30°，则DE＝BE；④若BC＝9，EC＝10，则sin∠DEC＝．
其中正确的结论有 　 　.（填正确的序号）
15．已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．若∠AOB＝90°，则cosA＝　 　．
16．如图，将等腰直角三角形ABC沿底边BC所在直线平移，当点B移到点C处时，记平移所得三角形为△DCE，连接BD，则tan∠DBC＝　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
18．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余弦值．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　 　．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：过点B作BC⊥AO于点C，
∵AB＝2，
∴由勾股定理可知：AO＝2，BO＝2，
设CO＝x，
∴（2）2﹣x2＝22﹣（2﹣x）2，
∴8﹣x2＝4﹣（20﹣4x+x2），
解得：x＝，
∴cos∠AOB＝＝，
∴sin∠AOB＝，
故选：D．
2．解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
3．解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故选：C．
4．解：如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝2，
∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
5．解：过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∵sin∠A＝＝，AC＝6，
∴CD＝2，
由勾股定理得：BD＝＝＝2，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝4，
故选：B．
6．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠DCE＝∠CEF，
在Rt△CDE中，sin∠DCE＝sin∠CEF＝＝，
设DE＝3x，则CE＝5x，
∴CD＝＝4x，
在Rt△ABC中，BE＝EA，
∴CE＝BE＝EA＝5x，
∴AB＝2BE＝10x，
∴BD＝BE﹣DE＝2x，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，BC＝4，
∴42＝（4x）2+（2x）2
∴x＝，
∵Rt∠CDA＝Rt∠FEA，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AFE，
∴
∴，
∴EF＝，
∵AE＝5x＝2，
∴
＝
＝5．
故选：C．
7．解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，
过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，
由图可得：CD＝＝，CE＝＝，＝4，
∵，即4＝，
∴EF＝，
在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，
∴sin∠AOD＝．
故选：D．
8．解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，
则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠BFG＝∠FGO，
∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，
∴四边形AOGB为矩形，
∴AO＝GB，AB＝OG＝17，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠BFG＝90°，
∴∠AEF＝∠BFG＝∠FGO，
在Rt△AEF中，cos∠AEF＝，即＝，
解得，AE＝6，
由勾股定理得，AF＝＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，
在Rt△BFG中，cos∠BFG＝，即＝，
解得，FG＝15，
由勾股定理得，BG＝＝12，
则点F的坐标是（8，12），
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5．
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
∴sin∠BCD＝sinA＝＝．
故答案为：．
10．解：如图，∵∠C＝90°，
∴cos∠CDB＝＝，
设CD＝3m，BD＝5m，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD＝5m，
∵CD+AD＝AC＝12，
∴3m+5m＝12，
解得m＝，
∴BC＝＝＝4m＝4×＝6，
∴BC的长是6，
故答案为：6．
11．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+．
故答案为：3+．
12．解：延长AD和BC交于点E．
∵在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝3，
∴BE＝4，
∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，
∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，
∴∠DCE＝∠A，
∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝，
∴设DE＝4x，则DC＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，
∴4＝16x2+9x2，
解得：x＝，
则CD＝．
故答案是：．
13．解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′＝∠BOD，
∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE＝，
∴O′E＝＝，
∴tanBO′E＝，
∴tan∠BOD＝3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC＝AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM＝NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO＝∠NLO＝90°，
∵∠AOM＝∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM＝2a，NL＝a，
∴＝2，
∴，
∴，
∵NL＝LM，
∴，
∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE＝，AF＝，EF＝a，
∵，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴tan∠FAE＝，
即tan∠BOD＝3，
故答案为：3．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCD＝90°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE，
由旋转得：CE＝CE′，∠ECE′＝90°，
∴△ECE′是等腰直角三角形，
∴∠CEE′＝45°，
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ECE′﹣∠ECD，
∴∠BCE＝∠DCE′，
∴△BCE≌△DCE′（SAS），
∴BE＝DE′，∠CBD＝∠CDE′＝45°，
∴∠EDE′＝∠CDB+∠CDE′＝90°，
若∠BAE＝20°，
∴∠BAE＝∠BCE＝20°，
∵∠DEC＝∠DBC+∠ECB＝45°+∠ECB，∠DEC＝∠DEE′+∠CEE′＝45°+∠DEE′，
∴∠DEE′＝∠ECB，
∴∠DEE′＝∠ECB＝∠BAE＝20°
∴∠DE′E＝90°﹣∠DEE′＝90°﹣20°＝70°，
故①正确；
∵△ECE′是等腰直角三角形，
∴EE′＝CE，
∴EE′＝AE，
在Rt△DEE′中，DE2+DE′2＝EE′2，
∴DE2+BE2＝（AE）2，
∴DE2+BE2＝2AE2，
故②正确；
若∠BAE＝30°，
∴∠DEE′＝∠ECB＝∠BAE＝30°，
在Rt△DEE′中，DE＝DE′，
∴DE＝BE，
故③正确；
过点C作CM⊥BD，垂足为M，
∵∠DBC＝45°，∠BMC＝90°，
∴CM＝BCsin45°＝9×＝9，
∴在Rt△EMC中，sin∠DEC＝＝，
故④正确；
∴正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
15．解：设P的坐标为（0，M），
∵AB⊥y，
∴∠APO＝90°，点A的坐标为（，M），点B的坐标为（，M），
∴AP＝，BP＝，
∴AB＝AP+BP＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠APO＝∠AOB＝90°，
∵∠PAO＝∠OAB，
∴△APO∽△AOB，
∴，
则AO2＝AP AB＝×，
解得：AO＝，
在Rt△AOP中，cosA＝＝．
故答案为：．
16．解：如图，作DF⊥BE于F，设AB＝a．
∵将等腰直角三角形ABC沿底边BC所在直线平移，当点B移到点C处时，记平移所得三角形为△DCE，
∴△ABC≌△DCE，AB＝AC＝DC＝DE＝a，BC＝CE＝a，∠A＝∠CDE＝90°，
∴DF＝CF＝FE＝CE＝a，
∴BF＝BC+CF＝a+a＝a，
∴tan∠DBC＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD BE＝ AC BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
18．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．
∵AB＝AD，
∴BH＝HD＝BD＝2．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝4．
∴HC＝HD+CD＝6．
∵＝，
∴．
∵
＝
＝．
（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．
∵，
∴．
∴．
∴点C到直线AB的距离为．
19．解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，
∴AD＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝6，
∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，
∴AE＝sin45° AD＝＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4；
（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，
∵∠B＝45°，
∴EF＝BF＝sin45° BE＝×＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∴CE＝＝＝2，
在Rt△ECF中，
cos∠ECB＝＝＝．
20．解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD＝，
∴，
∴CD＝5x，CE＝4x，
∵CD＝5，
∴x＝1，
∴CE＝4，
∵∠B＝45°，
∴DE＝BE＝3x，
∴BC＝BE+CE＝7x＝7．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE∥AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF＝2DE，BF＝2BE，
由（1）可知：DE＝BE＝3，
∴AF＝6，BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∴tan∠ACB＝6．
21．（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．