2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定 同步知识点分类练习题 (word版含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．菱形的性质
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
2．如图、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点D作对角线BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周长．
3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
4．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：DE＝BF+EF．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．
6．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE；
（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．
7．已知，如菱形ABCD，DE垂直AB于E，且E为的中点，已知BD＝4．求：
（1）∠DAB的度数；
（2）AC的长．
8．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
9．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，
（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．
二．菱形的判定
10．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
11．如图，在四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．∠BEC＝∠ADF，试证明四边形ABCD是菱形．
12．如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE，
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．
三．菱形的判定与性质
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，点E是AC上一点，BE⊥AD于点F，连接DE．
（1）求证：四边形ABDE是菱形；
（2）若AB＝2，∠ADC＝90°，求BC的长．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABEC为菱形；
（2）若AB＝6，连接OE，求OE的值．
16．如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积．
17．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
18．如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交BA于点E，且CF＝AE．
（1）试探究四边形BECF是什么特殊四边形；
（2）取DC的中点O，连接FO，并延长FO交AC于H，求证：DE＝CH．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
参考答案
一．菱形的性质
1．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝AC＝4，DO＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴CD＝AD＝＝＝5，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴CE＝AD＝5，DE＝AC＝8，
∴△CDE的周长＝AD+AE+DE＝5+5+8＝18．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
4．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF．
5．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2．
在Rt△ACE中，
AE＝＝2．
6．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PD＝PE；
（2），理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等），
∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，
即∠DPE＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DPE＝∠ABC＝90°，
又∵PD＝PE，
∴DE＝PE，
∴．
7．解：（1）∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BA．
∴AB＝AD＝BD．
∴△ABD是等边三角形．
∴∠DAB＝60°．
（2）∵BD＝4，△ABD是等边三角形，
∴D0＝2，AD＝4，
∴A0＝．
∴AC＝．
8．（1）证明：连接AC，如图所示，
∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC AH＝BC ＝4．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，
又∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA．
∴△ABC与△CDA为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△EAF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∴60°+20°＝60°+∠CEF，
∴∠CEF＝20°．
二．菱形的判定
10．证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠FDA
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
11．证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAF＝∠DAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ABF＝∠ADF，
∵∠BEC＝∠ADF，
∴∠BEC＝∠ABF，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
12．（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
又∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
（2）解：∵四边形BECF是正方形，
∴∠CBA＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°．
三．菱形的判定与性质
13．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBO＝∠FDO，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形；
（2）解：∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝8，
∵AD∥EF，AB∥CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE∥BF，BF＝BE＝DF，
∴AE＝BE＝AB＝4，
∴AE＝AD，BF＝BE＝4，
∴四边形AEFD是菱形，
∴AF⊥DE，
∴AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝4．
14．（1）证明：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
∵BE⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BD∥AC，
∴∠BDF＝∠EAF，
∴∠BAF＝∠BDF，
∴AB＝BD，
∴BD＝AE，
∵BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB＝BD，
∴ ABDE是菱形；
（2）解：∵四边形ABDE是菱形，
∴DE＝AE＝AB＝2，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠EDA＝90°，∠EAD+∠ECD＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝EC＝2，
∴AC＝AE+CE＝4，
∵∠ABC＝90°，
∴BC＝．
15．解：（1）∵菱形ABCD，
∴AB＝BC，AB∥DE，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴平行四边形ABEC为菱形；
（2）∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OBC＝30°，OB＝3，
∴∠OBE＝30°+60°＝90°，
∴OE＝＝3．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OC＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．
17．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8．
18．解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：∵BC的垂直平分线为EF，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠BCE＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACE＝90°，∠CBE+∠A＝90°，
∴∠ACE＝∠A，
∴EC＝AE，
又∵CF＝AE，BE＝EC
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）连接DH，
∵O是CD的中点，
∴OD＝OC，
∵∠ACB＝90°，BC⊥EF，
∴EF∥AC，
∠DFO＝∠CHO，
在△DFO和△CHO中，
，
∴△DFO≌△CHO（AAS），
∴FD＝CH，
∵四边形BECF是菱形，
∴DF＝DE，
∴DE＝CH．
19．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．
20．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．