2022-2023学年苏科版八年级数学上册第1章全等三角形 解答题专项练习题 （word、含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》解答题专项练习题（附答案）
1．如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝48°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，求∠EDF的度数．
3．如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：△ABD≌△ACE．
4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：
（1）Rt△BEF≌Rt△BEC；
（2）BD＝2CE．
5．已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°
（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝50°；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为 　 　，∠APB的大小为 　 　
6．已知：如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，求证：①AC＝BD；②∠APB＝50°．
7．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AB＝EC，BE＝CD，EF⊥AD于点F．
（1）试说明F是AD的中点．
（2）求∠AEF的度数．
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F．求证：CE＝BF．
9．已知：如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CE，∠B＝∠E．
（1）求证：△ABC≌△CED；
（2）若∠B＝25°，∠ACB＝45°，求∠ADE的度数．
10．（阅读理解题）如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC．
（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；
（2）小明说：欲证BE＝CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE＝AD，再证明△ADB≌△AEC得到AB＝AC，然后利用等式的性质得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；
（3）要得到BE＝CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
12．画一个两条直角边相等的直角三角形ABC，并过斜边BC上的一点D画射线AD，分别过B、C画射线AD的垂线BE、CF，垂足为E、F．
试判断线段BE、CF、EF长度之间有什么关系？试说明理由．
13．已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，B、C分别是垂足，DE交AC于M，AC＝DE，AB＝EC，DE与AC有什么关系？请说明理由．
14．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，点 A、E、B、D在同一直线上，BC、EF交于点M，AC＝DF，AB＝DE．
求证：（1）∠CBA＝∠FED；
（2）AM＝DM．
15．小明用大小相同高度为2cm的10块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙AD，BE，当他将一个等腰直角三角板ABC如图垂直放入时，直角顶点C正好在水平线DE上，锐角顶点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
16．已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．
求证：（1）CF＝DE；
（2）AF∥EB．
17．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．
（1）若∠ADE＝∠B，求证：
①∠BAD＝∠CDE；
②BD＝CE；
（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．
19．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度；
（2）求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为 　 　s；
（2）当△ABM与△MCN全等时，
①若点M、N的移动速度相同，求t的值；
②若点M、N的移动速度不同，求a的值．
21．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：CE＝BD且CE⊥BD，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠CAE＝∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE．
∵∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥CE．
2．解：∵AB＝AC，∠A＝48°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣48°）÷2＝66°．
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC
＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B＝66°．
∵△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝FE．
∴△DEF是等腰三角形．
∴∠EDF＝（180°﹣66°）÷2＝57°．
3．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
4．证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE＝∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在Rt△BEF和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△BEC（ASA）．
（2）∵Rt△BEF≌Rt△BEC，
∴BF＝BC，
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠FBE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠F＝∠ADB＝67.5°，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF，
∵CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
5．证明：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝50°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②设AC交OB于M，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠CAO+∠AOB+∠AMO＝180°，∠DBO+∠APB+∠BMP＝180°，∠AMO＝∠BMP，
∴∠APB＝∠AOB＝50°；
（2）解：AC＝BD，∠APB＝α，
理由是：∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠CAO+∠AOB+∠AMO＝180°，∠BMP+∠DBO+∠APB＝180°，∠AMO＝∠BMP，
∴∠APB＝∠AOB＝α，
故答案为：相等，α．
6．证明：①∵∠AOB＝∠COD＝50°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+50°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝50°．
7．解：（1）∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
∵AB＝EC，BE＝CD，
∴在△ABE和△ECD中，
∴AE＝ED，
又∵EF⊥AD，
∴F是AD是中点．
（2）由（1）得，∠AEB+∠CED＝90°；
所以∠AED＝90°，
所以△AED为等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°．
8．证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中
∴△ACE≌△BCF（AAS），
∴CE＝BF．
9．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD．
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（ASA）；
（2）∵△ABC≌△CED，
∴∠BAC＝∠ECD，∠ACB＝∠CDE，AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠B＝25°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝110°．∠EDC＝45°，
∴∠CDA＝35°．
∴∠ADE＝10°．
答：∠ADE＝10°．
10．解：（1）图中有4对全等三角形，有△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，△EOB≌△DOC．
（2）正确，
理由是：∵AO平分∠BAC，
∴∠EAO＝∠DAO，
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEO＝∠ADO＝90°，
∴在△AEO和△ADO中
∴△AEO≌△ADO（AAS），
∴AE＝AD，
在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
∵AE＝AD，
∴BE＝CD．
（3）有，
理由是：∵AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°，
在△BEO和△CDO中
∴△BEO≌△CDO（ASA），
∴BE＝CD．
11．数量关系为：BE＝EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED＝90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°，
∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EAB＝∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AD＝DC，
∵在△EAB和△EDC中
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC+∠BED＝∠AEB+∠BED＝90°，
∴BE⊥EC．
12．解：CF＝BE+EF．
理由：∵∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAF，
在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴BE＝AF，AE＝CF，
∵AE＝AF+EF，
∴CF＝BE+EF．
13．解：DE＝AC，DE⊥AC，
理由是：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠DCE＝∠B＝90°，
在Rt△DCE和Rt△CBA中
∴Rt△DCE≌Rt△CBA（HL），
∴DE＝AC，∠D＝∠ACB，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠D+∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝90°，
∴DE⊥AC．
14．证明：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠CBA＝∠FED；
（2）∵∠CBA＝∠FED，
∴ME＝MB，且∠AEM＝∠DBM，
∵AB＝DE，
∴AB﹣EB＝DE﹣EB，
即AE＝DB，
在△AEM和△DBM中，
，
∴△AEM≌△DBM（SAS），
∴AM＝DM．
15．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
16．证明：（1）∵DF∥CE，
∴∠FDC＝∠ECD，
在△FDC和△ECD中，
，
∴△FDC≌△ECD（SAS），
∴CF＝DE；
（2）∵△FDC≌△ECD，
∴∠FCD＝∠EDC，
∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
在△FAC和△EBD中，
，
∴△FAC≌△EBD（SAS），
∴∠A＝∠B，
∴AF∥EB．
17．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
18．（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，
又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
且∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE；
②由①得：∠BAD＝∠CDE，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；
（2）解：在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，
∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，
在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，
∴∠ADE＝55°．
19．解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠2＝∠DEF﹣∠1＝70°，
∵∠EDA+∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵∠3+∠EAB+∠A＝180°，
∴∠4＝30°，
∵∠C＝90°，
∴AB＝2BC＝4；
（2）如图1，过D作DM⊥AE于M，在△DEM中，∠2+∠5＝90°，
∵∠2+∠1＝90°，
∴∠1＝∠5，
∵DE＝FE，
在△DEM与△EFA中，
，
∴△DEM≌△EFA，
∴AF＝EM，
∵∠4+∠B＝90°，
∵∠3+∠EAB+∠4＝180°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝∠B，
在△DAM与△ABC中，
，
∴△DAM≌△ABC，
∴BC＝AM，
∴AE＝EM+AM＝AF+BC；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，
∵∠C＝90°，
∴∠1+∠B＝90°，
∵∠2+∠MAB+∠1＝180°，∠MAB＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，∠2＝∠B，
在△ADM与△BAC中，
，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC＝AM，
∵EF＝DE，∠DEF＝90°，
∵∠3+∠DEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
在△MED与△AFE中，
，
∴△MED≌△AFE，
∴ME＝AF，
∴AE+AF＝AE+ME＝AM＝BC，
即AE+AF＝BC．
20．解：（1）点M的运动时间t＝（秒），
故答案为；
（2）①∵点M、N的移动速度相同，
∴CN＝BM，
∵CD∥AB，
∴∠NCM＝∠B，
∴当CM＝AB时，△ABM与△MCN全等，
则有12＝20﹣3t，解得t＝；
②∵点M、N的移动速度不同，
∴BM≠CN，
∴当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，
∴运动时间t＝，
∴a＝＝．
21．解：（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）DE＝BD+CE．
理由是：如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．