2022-2023学年苏科版九年级数学上册2.4 圆周角 同步测试题(word版含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．下列关于圆内接四边形叙述正确的有（　　）
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；
②圆内接四边形对角相等；
③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；
④在圆内部的四边形叫圆内接四边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB∥CD，∠A＝25°，则∠BOD等于（　　）
A．100° B．120° C．130° D．150°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
5．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC，OA，OD．若∠BCD＝20°，CD＝OD，则∠AOD的度数是（　　）
A．120° B．140° C．110° D．100°
6．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则CD的长为（　　）
A．2 B． C．4﹣ D．3﹣
二．填空题（共9小题，满分36分）
7．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝　 　°．
8．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，弧AB度数为30°，则∠E+∠C＝　 　．
9．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于　 　．
10．已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上，AB＝2．若点P到直线AB的距离为1，则∠PAB的度数为　 　．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为　 　度．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABC＝40°，OD∥BC，则∠BCD的度数为 　 　．
13．如图在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠ABC：∠BCD＝3：5：6，分别延长AB，DC交于点P，则∠P的大小为　 　．
14．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　 　．
15．如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝　 　cm．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
17．如图，在⊙O中的内接四边形ABCD中，AB＝AD，E为弧AD上一点．
（1）若∠C＝110°，求∠BAD和∠E的度数；
（2）若∠E＝∠C，求证：△ABD为等边三角形．
18．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：
（1）四边形ACEF是平行四边形；
（2）EF平分∠BED．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
21．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．
22．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
（1）若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角是正确的；
②圆内接四边形对角互补，原来的说法是错误的；
③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补是正确的；
④四个顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形，原来的说法是错误的．
故选：B．
2．解：解法一、连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，
∵E为的中点，
∴∠CDE＝∠BDE＝BDC＝30°；
解法二、连接AC、BD，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∵点E为弧BC的中点，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝60°＝30°；
故选：B．
3．解：连接OC，如图所示：
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠OCD，
∵OB∥CD，
∴∠BOC＝∠OCD
∴∠BOC＝∠D，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝25°，
∴∠D＝2∠A＝50°，
∵OB∥CD，
∴∠BOD+∠D＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣50°＝130°；
故选：C．
4．解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故选：C．
5．解：连接OC，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝20°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，
∵CD＝OD，
而OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝40°+60°＝100°．
故选：D．
6．解：延长AB、DC，它们相交于点E，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，∠A+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠D＝90°，∠A＝60°，
在Rt△ADE中，∵∠E＝90°﹣∠A＝30°，
∴AE＝2AD＝10，DE＝AD＝5，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣4＝6，
在Rt△BCE中，∵BC＝BE＝2，
∴EC＝2BC＝4，
∴CD＝DE﹣CE＝5﹣4＝．
故选：B．
二．填空题（共9小题，满分36分）
7．解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝35°，
∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．
故答案为：215．
8．解：连接EA，
∵弧AB度数为30°，
∴∠AEB＝15°，
∵四边形ACDE为⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠AED＝180°，
∴∠C+∠BED＝180°﹣15°＝165°，
故答案为：165°．
9．解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
10．解：如图作OP1⊥AB交⊙O于P1交AB于H，过点O作直线P2P3∥AB交⊙O于P2，P3．
∵OA＝OB，OH⊥AB，AB＝2，OA＝2，
∴AH＝BH＝，
∴OH＝＝1
∴HP1＝1，
∴直线AB与直线P2P3之间的结论距离为1，
∴P1，P2，P3是满足条件的点，
∵OA＝2OH，
∴∠OAH＝30°，可得∠BOP1＝60°，∠BOP3＝∠AOP2＝30°，∠OAP2＝∠OP2A＝75°，
∴∠P1AB＝∠BOP1＝30°，∠P3AB＝∠BOP3＝15°，
∠P2AB＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：15°或30°或105°．
11．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
12．解：∵∠ABC＝40°，OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝40°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
13．解：∵∠A：∠ABC：∠BCD＝3：5：6，
设∠A＝3k，∠ABC＝5k，∠BCD＝6k，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴3k+6k＝180°，
∴k＝20°，
∴∠A＝60°，∠ABC＝5k＝100°，
∴∠D＝80°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠D＝40°，
故答案为：40°．
14．解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
15．解：∵∠D＝45°，
∴∠A＝45°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝＝（cm）．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
17．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠BAD＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝55°，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠ABD+∠E＝180°，
∴∠E＝125°．
（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠E＝180°，
又∵∠E＝∠C，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵AB＝AD，
∴AD＝BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形．
18．证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BCF+∠BCD＝180°
∴∠BCF＝∠A，
∵FM平分∠BFC，
∴∠BFN＝∠CFN，
∵∠EMP＝∠A+∠BFN，∠PNE＝∠BCF+∠CFN，
∴∠EMP＝∠PNE，
∴EM＝EN，
∵PE平分∠MEN，
∴PE⊥PF．
19．证明：（1）连接AE，BF，如图，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．
∵AE∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF＝90°，
∴∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，
∴四边形FAEB是矩形，
∴FA＝BE＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）∵四边形AEBF是圆内接四边形，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴∠CDE＝∠AFE，
∵EF∥AC，
∴∠FED＝∠CDE，
∴∠FED＝∠AFE，
∵AF∥BC，
∴∠FEB＝∠AFE，
∴∠BEF＝∠FED，
∴EF平分∠BED．
20．（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
21．（1）证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，
∴DE＝GE，＝，
∵D是的中点，
∴＝＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE；
（2）解：连接BD、OD，如图所示：
∵＝，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴DF＝BF，
∵AB为⊙O的直径，AB＝10，
∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5，
∴BC＝＝＝8，
由（1）得：DE＝BC＝4，
∵DE⊥AB，
∴OE＝＝＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝2，
设DF＝BF＝a，则EF＝4﹣a，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+（4﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴DF＝．
22．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB，∠BAD＝∠BFC，
∴∠ABD＝∠FBC，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBF＝∠BCF，
∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，
∴∠CBF＝＝50°；
（2）令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°﹣2α，
又∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF．