2022-2023学年苏科版九年级数学上册1.4用一元二次方程解决问题 同步练习题 (word版含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《1.4用一元二次方程解决问题》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570
2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）
A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝0
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
5．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500x2＝3500
B．2500（1+x）2＝3500
C．2500（1+x%）2＝3500
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3500
6．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890
B．（x﹣20）（50﹣）＝10890
C．x（50﹣）﹣50×20＝10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890
7．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．20% B．40% C．18% D．36%
10．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　）
A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m
二．填空题
11．某楼盘2020年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2022年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 　 　．
12．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为　 　．
13．某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为　 　．
14．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方程为 　 　．
15．电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为　 　．
16．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为　 　．
17．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 　 　米．
18．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到　 　秒时，点P和点Q的距离是10cm．
三．解答题
19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
22．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
23．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
参考答案
一．选择题
1．解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
2．解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）＝18，
故选：C．
3．解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
4．解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
5．解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2＝3500，
故选：B．
6．解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
故选：B．
7．解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
8．解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，
解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．
故选：A．
9．解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价的百分率为20%
故选：A．
10．解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，
根据题意得：（30﹣2x）x＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，
∴x＝5舍去．
故选：C．
二．填空题
11．解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：
8100×（1﹣x）2＝7600，
故答案为：8100×（1﹣x）2＝7600．
12．解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝2×5．
故答案是：x（x﹣1）＝2×5．
13．解：∵1人患流感，一个人传染x人，
∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；
∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x，
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴可列方程为：（1+x）2＝121．
故答案为：（1+x）2＝121．
14．解：设这两个相邻偶数中设较小的偶数为x，则另外一个偶数为（x+2），
依题意得：x（x+2）＝168，
故答案为：x（x+2）＝168．
15．解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61．
故答案为：1.92（1+x）2＝2.61．
16．解：∵解方程x2﹣7x+12＝0
得：x＝3或4
∵对角线长为6，3+3＝6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4＝16．
17．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
18．解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，
根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，
解得：x1＝2，x2＝．
答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
故答案为：2或．
三．解答题
19．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝（100+200x）（斤）；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
20．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形；
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，可整理为：
2ax2+2ax＝0，
∴x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
21．解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
22．解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理，得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
23．解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．