2022-2023学年北师大版九年级数学上册第4章图形的相似　填空专项练习题　（word、含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》填空专项练习题（附答案）
1．已知a，b，c是非零实数，且，则k的值为 　 　．
2．如图，点P为△ABC的边AB上的一点，添加 　 　，可以使△ABC与△APC相似．
3．如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上的一点，AE和BD相交于点P，已知△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，则四边CDFE形的面积是 　 　．
4．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，PD＝6m，则该古城墙的高度CD是 　 　m．
5．如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 　 　cm．
6．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为 　 　．
7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AQ＝　 　；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间t＝　 　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D为AB上一动点（点D与点A不重合）．若在△ABC的直角边BC上存在一点E，使△ADE与△ABC相似，则AD的值为 　 　．
10．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），
（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝　 　．
（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 　 　．
11．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．
（1）FG＝　 　；
（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝　 　．
12．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？　 　（填“是”或“否”）；
（2）AE＝　 　．
13．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ DP＝3，则BQ＝　 　．
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为 　 　．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为 　 　．
16．已知正方形ABCD的边长是4，点E在直线AD上，DE＝2，连接BE与对角线AC相交于点M，则线段AM的长是　 　．
17．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是 　 　．
18．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD：OA＝1：2，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为　 　．
19．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，∠CHD＝60°．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD DH中，正确的是 　 　．
20．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△DEA＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为 　 　．
参考答案
1．解：分为两种情况：①当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，
所以k＝＝＝﹣1，
②当a+b+c≠0时，
∵，
∴k＝
＝
＝
＝2，
所以k＝2或﹣1，
故答案为：2或﹣1
2．解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或＝，可以使得△ABC与△APC相似．
故答案为：∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或＝．
3．解：∵△ABF的面积等于12，△BEF的面积等于8，
即S△ABF：S△BEF＝12：8＝3：2，
∴AF：FE＝3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，
∴△AFD∽△EFB，
∴，
∴S△AFD＝×8＝18，
∴S△ABD＝S△CBD＝12+18＝30，
∴四边形CDFE的面积＝30﹣8＝22．
故答案为：22．
4．解：由题意得：
∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝4.5，
∴该古城墙的高度CD是4.5m，
故答案为：4.5．
5．解：设正方形零件的边长为acm，
在正方形EFGH中，HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∵AD是高，
∴＝，即＝，
∴a＝24，
答：正方形的边长为24cm．
故答案为：24．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝＝4，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，
∴△EAF∽△BCF，
∵＝，
∴，
∴，
∴AE＝1，
故答案为：1．
7．解：（1）因为AC＝16cm，CQ＝3tcm，
所以AQ＝AC﹣CQ＝（16﹣3t）cm．
故答案是：（16﹣3t）cm；
（2）∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以2cm/s的速度向A运动．
∴AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝16﹣3t，
∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∴＝或＝，
∴或＝．
∴t＝4或．
故答案为：4或．
8．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
9．解：∵∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，∠A＝60°，
在△ABC的直角边BC上存在一点E，△ADE与△ABC相似，分以下四种情况：
①△ACB∽△ADE，如图所示：
此时点E与点C重合，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠ABC＝30°，
∴AD＝＝；
②△ACB∽△EDA，如图所示：
此时∠ADE＝∠BCA＝90°，∠DAE＝∠ABC＝30°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴△ADE≌△ACE（AAS），
∴AD＝AC＝1；
③△ACB∽△AED，如图所示：
此时△ACB≌△AED，
∴AD＝AB＝2；
④△ACB∽△DEA，如图所示：
此时∠DEA＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠ABC＝30°，
∴∠CAE＝30°，
∵AC＝1，
AE＝＝，
∴AD＝＝；
综上，AD的值为或1或2或．
故答案为：或1或2或．
10．解：（1）∵点F为CD边的中点，
∴DC＝2DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠FEC+∠EFC＝90°，
由折叠得：
BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF＝DC＝2DF，
∵∠EFC+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠FEC，
∴△AFD∽△FEC，
∴＝＝2，
∴＝2，
∴x＝2，
故答案为：2；
（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，
∵△AFD∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴x＝1+，
∴x＝1+，
∴y＝，
故答案为：y＝．
11．解：（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝5，
∴AN⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵FG⊥BC，
∴FG＝MN，
∵AB AC＝BC AM，
∴6×8＝10AM，
∴AM＝，
∵AN＝，
∴FG＝MN＝﹣＝，
故答案为：；
（2）当△FGH和△ABC相似时，
①△FGH∽△ACB，
∴＝，
∴FH＝＝＝．
②△FHG∽△BAC，
∴＝，，
∴＝，
∴FH＝，
综上所述，FH＝或，
故答案为：或．
12．解：如图1，
在△ACM和△CFD中，
，
∴△ACM≌△CFD（SAS），
∴∠CAM＝∠FCD，
∵∠CAM+∠CMA＝90°，
∴∠FCD+∠CMA＝90°，
∴∠CEM＝90°，
∴AB⊥CD，
故答案为：是；
（2）如图2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
∵AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴AE＝，
故答案为：．
13．解：如图，连接DQ，
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，
∴DE＝DF，∠FDE＝90°，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，
∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，
∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，
∴DF＝DQ，
∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，
∴△ABQ≌△ADQ（SAS），
∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠AQB，
又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，
∴△BAQ∽△PFD，
∴，
∴AQ DP＝3＝BQ DF，
∴3＝BQ BQ，
∴BQ＝，
故答案为：．
14．解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，
∵AD⊥CD，∠BFE＝45°，
∴△BFG为等腰直角三角形，
设BG＝FG＝a，
∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，
∴DF为△AGB的中位线，
∴DF＝a，AG＝2a，
∴AB＝a，
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴CD＝a，
∴CF＝a，
∵CF∥GB，
∴△CFE∽△BGE，
∴＝＝，
故答案为：．
15．解：∵四边形DGFE为正方形，
∴DG∥EF∥BC，DG＝EF，
∴△ADG∽△ABC，△AEF∽△AHC，
∴，，
设DG＝EF＝x，
∴，，
∴AG＝2x，
∴，
∴CH＝．
故答案为．
16．解：分两种情况：
①当点E在线段AD上时，
∵正方形ABCD的边长是4，DE＝2，
∴AE＝2，
∵AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴CM：AM＝BC：EA＝2，
∴CM＝2AM，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝
＝
＝4，
∴AM+CM＝4，
∴AM+2AM＝4，
∴AM＝；
②当点E在线段AD的延长线上时，
∵正方形ABCD的边长是4，DE＝2，
∴AE＝6，
∵AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴CM：AM＝BC：EA＝4：6＝，
∴CM＝AM，
由①知AC＝4，
∴AM+AM＝4，
∴AM＝4，
∴AM＝．
综上所述，AM的长为或．
故答案为：或．
17．解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
18．解：∵△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，OD：OA＝1：2，
∴S△DEF：S△ABC＝1：4，
∵△ABC的面积为5，
∴△DEF的面积为：．
故答案为：．
19．解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
②由①得∠BAF＝∠ACE，
∵∠AEH＝∠B+∠BCE，
∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故②正确；
③在HD上截取HK＝AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK＝AH，∠AKH＝60°，
∴∠AKD＝∠AHC＝120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH＝DK，
∴DH＝HK+DK＝AH+CH；
故③正确；
④∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH＝OD：AD，
∴AD2＝OD DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
20．解：∵S△BDE：S△DEA＝1：3，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO，∠DEO＝∠CAO，
∴△DOE∽△COA，
∴，
故答案为：．