2022-2023学年人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质　同步达标测试题 （word、含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（　　）
A．20° B．70° C．30° D．90°
2．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．60° C．56° D．68°
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
4．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　）
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
5．下列说法中错误的有（　　）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
7．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
8．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．32.5°
9．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（　　）
A．1 B． C． D．
10．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．2
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为　 　．
12．⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是　 　．
13．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　 　．
14．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为　 　．
15．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为 　 　．
16．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，⊙O的半径为2.5，AD＝3，则DE的长为　 　．
17．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝　 　．
18．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝　 　°．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF．连接AC，BD．求证：AC＝BD．
20．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
21．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
22．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝6，BD﹣AD＝4，求⊙O的半径．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：连接AC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝∠ADB＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
2．解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
4．解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC∥BD，
∴OE⊥AC，EF＝AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE＝＝＝0.75米，
OE＝R﹣AB＝R﹣0.25，
∵AE2+OE2＝OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2＝R2，
解得R＝1.25．
1.25×2＝2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
5．解：①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧，错误，这条直线需要垂直这条弦．
②弦的垂线平分它所对的两条弧，错误，这条直线需要平分这条直线．
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧，错误，这条弦不是直径成立．
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．正确．
故选：C．
6．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
7．解：连接OC、OD，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴AOD＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝65°，即∠DAE＝65°，
故选：B．
8．解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
9．解：∵弦AC＝BD，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
如图，连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝，
∴R＝1，
故选：A．
10．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．
∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠E＝90°，CD＝2，
∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，
在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，
∴BD＝＝＝2，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，
最短的是垂直平分直径的弦CD，
已知AB＝10，CD＝6，
则OD＝5，MD＝3，
由勾股定理得OM＝4．
故答案为：4．
12．解：如图：连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM＝BM，
∵AB＝6，
∴AM＝AB＝3，
在Rt△AOM中，OM＝＝4，
OM的长即为OP的最小值，
∴4≤OP≤5．
故答案为：4≤OP≤5．
13．解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝5﹣1＝4，
∵＝，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
∵AG OB＝OE AB，
∴AG＝＝，
∴AF＝2AG＝．
故答案为．
14．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，AB＝2AD＝．
当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．
∴△APB的面积的最大值为＝＝．
故答案为：．
15．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB＝24，CD＝10，
∴AE＝12，CF＝5，
∵OA＝OC＝13，
∴EO＝5，OF＝12，
∴EF＝12﹣5＝7；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝24，CD＝10，
∴AE＝12，CF＝5，
∵OA＝OC＝13，
∴EO＝5，OF＝12，
∴EF＝OF+OE＝17．
∴AB与CD之间的距离为7或17．
故答案为7或17．
16．解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AC＝5，
在Rt△ADC中，∵AC＝5，AD＝3，
∴CD＝＝4，
∵×DE×AC＝×AD×CD，
∴DE＝＝．
故答案为
17．解：连接OB．
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
18．解：连接EA，
∵为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．证明：连接OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，
∴AC＝BD．
20．（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
21．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝
22．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝BAD，
在△ANE与△ADE中，
∵，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD＝AN；
（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，
∴AE＝2，
又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1
连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，
∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，
∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，
∴r＝2x﹣1＝3．
23．（1）证明：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∴BD＝DC＝DE＝6，
∵BD﹣AD＝4，
∴AD＝2，
在直角三角形ABD中，AB＝2，
∴⊙O的半径为．
24．证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．