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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.2.2解一元二次方程之公式法 同步测试卷
一、单选题
1．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·奈曼旗月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·新邵期末）用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·呼和浩特期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
6．（2021九上·淮南月考）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
二、填空题
7．（2021九上·阆中期中）方程x2﹣3x＝4的根是 .
8．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
9．（2021九上·丹徒月考）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=4，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m-3）2+b=0的根是 ．
10．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
三、解答题
11．（2020九上·淮南月考）用公式法解方程：4x2－3＝12x.
12．（2020九上·宿迁月考）解关于 的方程： （a、b、c为常数且a ）
13．（2021九上·山东月考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
（3）x2﹣3x+2＝0
（4）x2﹣6x﹣7＝0．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
2．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意；
B、 的解为 ，不符合题意；
C、 的解为 ，符合题意；
D、 的解为 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。
3．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 ，
，
，
，
则较小的根 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
7．【答案】x1=4 x2=-1
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
△=
，
， .
故答案为： ， .
【分析】首先将方程整理成一般形式，找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，求出判别式的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，然后结合求根公式进行计算.
8．【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
9．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程a（x+m）2+b=0得x=-m±，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a≠0）的根是x1=4，x2=-6，
∴-m+=4，-m-=-6，
∵解方程a（x+m-3）2+b=0得x=3-m±，
∴x1=3-6=7，x2=3+4=-3．
故答案为：.
【分析】利用求根公式可得方程a(x+m)2+b=0的解，结合题意可得-m+=4，-m-=-6，方程a(x+m-3)2+b=0的根为x=3-m±，据此求解.
10．【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
11．【答案】方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，
这里a=4，b=﹣12，b=﹣3，
∵△=144+48=192，∴x= = ，∴x1＝ ，x2＝
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】方程整理后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
12．【答案】解：若 ，方程的解是 ，
若 ，方程没有实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程，需要讨论 的正负.
13．【答案】（1）解：
即 或
解得：
（2）解：
即 或
解得：
（3）解：
这里
∴
∴
（4）解：
即 或
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可；
（3）利用公式法求解一元二次方程即可；
（4）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
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2022-2023学年冀教版数学九年级上册24.2.2解一元二次方程之公式法 同步测试卷
一、单选题
1．（2021九上·厦门期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当 时，
一元二次方程 的求根公式为x= .
故答案为：D.
【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答.
2．（2021九上·奈曼旗月考） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意；
B、 的解为 ，不符合题意；
C、 的解为 ，符合题意；
D、 的解为 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。
3．（2021九上·遵义月考）用公式法解方程 所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x= = .
故答案为：D.
【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解.
4．（2021九上·新邵期末）用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
5．（2021九上·呼和浩特期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 ，
，
，
，
则较小的根 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
6．（2021九上·淮南月考）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
二、填空题
7．（2021九上·阆中期中）方程x2﹣3x＝4的根是 .
【答案】x1=4 x2=-1
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
△=
，
， .
故答案为： ， .
【分析】首先将方程整理成一般形式，找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，求出判别式的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，然后结合求根公式进行计算.
8．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
9．（2021九上·丹徒月考）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=4，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m-3）2+b=0的根是 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程a（x+m）2+b=0得x=-m±，
∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a≠0）的根是x1=4，x2=-6，
∴-m+=4，-m-=-6，
∵解方程a（x+m-3）2+b=0得x=3-m±，
∴x1=3-6=7，x2=3+4=-3．
故答案为：.
【分析】利用求根公式可得方程a(x+m)2+b=0的解，结合题意可得-m+=4，-m-=-6，方程a(x+m-3)2+b=0的根为x=3-m±，据此求解.
10．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
三、解答题
11．（2020九上·淮南月考）用公式法解方程：4x2－3＝12x.
【答案】方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，
这里a=4，b=﹣12，b=﹣3，
∵△=144+48=192，∴x= = ，∴x1＝ ，x2＝
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】方程整理后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
12．（2020九上·宿迁月考）解关于 的方程： （a、b、c为常数且a ）
【答案】解：若 ，方程的解是 ，
若 ，方程没有实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程，需要讨论 的正负.
13．（2021九上·山东月考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
（3）x2﹣3x+2＝0
（4）x2﹣6x﹣7＝0．
【答案】（1）解：
即 或
解得：
（2）解：
即 或
解得：
（3）解：
这里
∴
∴
（4）解：
即 或
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可；
（3）利用公式法求解一元二次方程即可；
（4）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
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