12.3角的平分线的性质（1）学案

12.3角的平分线的性质（1）
【学习目标】：
1、掌握尺规作图作角平分线
2、通过探究理解角平分线的性质并会运用
【学习重点】：掌握尺规作图作角平分线、理解角平分线的性质.
【学习难点】：理解角平分线的性质并会运用。
【合作探究】：
1.尺规作已知角的平分线的一般方法：
已知：∠AOB，
求作：∠AOB的平分线OC.
2. 角平分线的性质
如图，OC是∠AOB的平分线，
(1)在OC上任意取一点P，画P点到OA的垂线段PD，垂线段PD的长度就是P到OA的距离；同样，画P点到OB的垂线段PE，垂线段PE的长度就是P到OB的距离.
(2)测量P点到OA的距离是 cm，P点到OB的距离是 cm，它们相等吗？
(3)如果在OC上再任意取一点Q，你觉得Q点到OA的距离与Q点到OB的距离相等吗？
(4)通过以上探究，你得出的角的平分线的性质是 .
例1：求证：角平分线上的点到角的两边距离相等.
已知：
求证：
证明：
解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？
①、 ；
②、 ；
③、 .
例2： 已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，∠1＝∠2. 求证：OB＝OC.
练习：
1. 如图1，OC是∠AOB的平分线，看图写出推理：
∵ ，
∴ .
2.下列结论一定成立的是 ．
（1）如图2，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
（2）如图3，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
（3）如图4，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA于D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3.
图1
图2 图3 图4
3.如图5，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝7，BD＝4，则D点到AC的距离＝ ，D点到AB的距离＝ .
4.如图6, 在△ABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB于E,且DE=5.8cm,BC=11.2cm,则BD= _______.
图5 图6 图7
5．如图7，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，AC=BC，AD平分∠ＣＡＢ．交BC于点D，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，若ＡＢ＝６ｃｍ．则△ＤＢＥ的周长是 .
6.完成下面的证明过程： 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：DF＝EF.
证明：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ＝ （角的平分线的性质）
∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90°，
∴∠3＝∠4.
在△ 和△ 中，
∴△ ≌△ （ ）.
∴DF＝EF.
7. 如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E.
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.
8.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长.
9.已知：如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F．求证：EB=FC．
10.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， DE⊥AB，∠1＝∠2，BD＝FD. 求证：BE＝FC.
练习答案：
1. ∵OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD =PE．
2.（3）．
3. 3；3.
4. 5.4 cm.
5. ６ｃｍ．
6.依次填：PD ，PE，PDF，PEF，PF PDF，PEF，SAS．
7.(1)DE=DC,BC=BE；∠ABD=∠CBD，∠BDE=∠BDC，∠BED=∠C，∠ADE=∠ABC.
(2) BC, 角平分线上的点到角的两边距离相等.
(3) BE=8，AE=2，△AED的周长=8.
8. BE=4.
9.证明： ∵AD 平分∠BAC，ED⊥AB，FD⊥AC，
∴ED =FD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴EB=FC．
10.证明：∵AD 平分∠BAC，ED⊥AB，CD⊥AC，
∴ED =CD．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∵
∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL).
∴EB=FC．
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