(共25张PPT)
全集、补集、集合的综合运算
新课程标准 核心素养
1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集. 数学抽象
2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题. 数学运算
3..能借助Venn图,利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题. 直观想象
阅读课本，回答下列问题
1．全集的含义是什么？
2．补集的含义是什么？
3．如何理解“CUA”的含义？
4．如何用Venn图表示CUA
知识点一、全集
1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的_________，那么就称这个集合为全集．
所有元素
2．记法：通常记作 ．
U
想一想
在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异异，所以全集不一定是实数集.
知识点二、补集
1.补集的概念
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的__________组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为_____________，记作
符号语言 CUA＝___________________
图形语言
集合A的补集
A
CUA
2．补集的性质
(1)A∪(CUA)＝______．
(2)A∩(CUA)＝______．
(3)CUU＝______，CU ＝U，CU(CUA)＝______ ．
(4)(CUA)∩(CUB)＝CU(A∪B)．
(5)(CUA)∪(CUB)＝CU(A∩B)．
U
A
想一想
怎样理解补集？
提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，
则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．
在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，
随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
做一做
1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则 RA＝( )
A．{x|－5C．{x|x<－5}∪{x|x>7} D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
-5
7
°
°
2．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则( UA)∪B＝( )
A．{2,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}
[解析] ∵ UA＝{2,5}，∴( UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则( UA)∩B＝( )
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
[解析] ∵ UA＝{－1,3}，∴( UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则 UA与 UB的关系是______________.
[解析] 全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则 UA＝{4,5，…}，则 UB＝{3,4,5，…}，则 UA UB．
≠
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}， UA＝{2,4,6,8}， UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
解析] 解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}， UA＝{2,4,6,8}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．又∵ UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助韦恩图，如图所示，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵ UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
1,3,5,7,9
CUA
2
4
6
8
题型一
补集的基本运算
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝__________________.
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝__________.
[分析] (1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
{2,3,5,7}
[解析] (1)∵A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
{x|x<－3，或x＝5}
将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
-3
5
°
U
A
[归纳提升] 求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
做一做
(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则 UA＝( )
A． B．{2}
C．{5} D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若 UA＝{x|2≤x≤5}，
则a＝_____.
∵A∪( UA)＝U，且A∩( UA)＝ ，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.
题型二
交集、并集、补集的综合运算
[例2] (1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则 U(M∩N)＝ ( )
A．{4} B．{1，2}
C．{1，2，4} D．{1，3，4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝ ( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0[解析] (1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，
∴ U(M∩N)＝{1，2，4}，
(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故 U(A∪B)＝{x|0做一做
(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪( UB)＝_______________；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩( UB)＝( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
{1,2,3}
题型三
与补集相关的参数值的求解
[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2-2
4
°
°
-m
所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围
是{m|m≥2}．
1．(变条件)本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B≠ ，所以－m>－2，解得m<2.
故m的取值范围为{m|m<2}．
2．(变条件)本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.
故m的取值范围为{m|m≥2}．
做一做
若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__________.
已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，
求实数a的取值集合．
[分析] 要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该
集合在实数集R中的补集即可．
[解析] 若B∪A＝A，则B A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝ 时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4.若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2} A；
综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a|－4≤a<4且a≠－2}．
在下列各图中用阴影表示集合A－B.
U
A
B
B
B
A
A
U
U
现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可用下列图中阴影部分表示的为
B
C
A
1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},则 UA=( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,5}
C.{2,3,4} D.以上都不对
解析:因为U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},所以 UA={1,5}.
2.已知全集U=R,A={x|1≤x解析:∵ UA={x|x<1,或x≥2},
∴A={x|1≤x<2}.∴b=2.
已知集合A={x|x<-6,或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠ ，求k 的取值范围
则 RP={k|k<-6,或k>2}.所以当A∩B ≠ 时，k 取值范围是{k|k<-6,或k>2}.
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集合的基本运算
并集与交集
新课程标准 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 数学抽象、
数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义. 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 数学抽象、
数学运算
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学运算、
直观想象
阅读课本，回答下列问题
知识点一、并集
文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A与B 的并集，记作_____(读作“___ __”)
符号语言 A∪B＝______________________
图形语言
运算性质 A∪B＝______，A∪A＝ ，A∪ ＝ ∪A＝ ，A (A∪B )，B (A∪B )，A B A∪B ＝B
A
B
想一想
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
如A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，1}，A中有4个元素
B中有3个元素，而A∪B有4个元素
做一做
1．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N________．
答案：{3，4，5，6，7，8}
答案：{x|x>0}
知识点二、交集
文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 ______(读作“______”)
符号语言 A∩B＝__________________
图形语言
运算性质 A∩B＝ ，A∩A＝ ，A∩ ＝ ∩A＝ ，(A∩B) A，(A∩B) B，A B A∩B＝A
A∩B
A交B
{x | x ∈A，且x ∈B }
A
B
想一想
1．当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？
提示：有，交集为空集．
提示：若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)成立；反之，
若x∈(A∪B)，则x∈(A∩B)不一定成立．
3．若A∩B＝A，则A与B有何关系？若A∪B＝A，则A与B又有什么关系？
提示：若A∩B＝A，则A B；若A∪B＝A，则B A.
做一做
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
答案：{－1，0}
答案：{x|2＜x＜4}
-3
°
°
4
2
°
-3
4
°
°
题型一
并集的运算
[例1] (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝ ( )
A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[解析] (1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
-5
(2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
-3
5
0
°
°
°
M
N
N
解析：由题意知N＝{0，3，9}，∴M∪N＝{0，1，3}∪{0，3，9}＝{0，1，3，9}．
解析：画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
-2
-1
0
2
°
°
°
解析：依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．
题型二
交集的运算
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如图．
-1
0
2
4
则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
解析：因为M＝{0，1，2，3}，N＝{x|0答案：{x |－2题型三
由集合的并集、交集求参数值
[解] ①当B＝ ，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
随堂检测
2．已知集合A＝{x|20)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3解：(1)因为A∪B＝B，所以A B，
2
4
°
°
°
°
A
B
a
3a
(2)A∩B＝ 有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．
观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a>0，
2
4
°
°
°
°
°
°
A
B
B
a
a
3a
3a
(3)画出数轴如图，
2
4
°
°
°
°
a
3a
集合的基本运算
谢谢观看
