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1.4充分条件与必要条件
王昌龄：盛唐著名边塞诗人，被誉为“七绝圣手”
其《从军行》传颂至今。
青海长云暗雪山，
孤城遥望玉门关.
黄沙百战穿金甲，
不破楼兰终不还.
最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系？
情境导入
新课程标准 核心素养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义． 数学抽象
2.理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义． 数学抽象
3.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法． 逻辑推理
4.通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． 数学抽象
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假命题。
回顾
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
(1) 7是23的约数吗
(2) x>5.
(3) -2
(4)画线段AB=CD.
疑问句
开语句
祈使句
都不是命题
命题的结构形式
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,
q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” ，“只要p,就有q”等形式。
第1课时 充分条件与必要条件
知识点一、充分条件与必要条件的概念
一般地， “若p，则q” 为真命题，
是指由p经过推理能推出q，
也就是说，如果p成立，那么q一定成立．
即：只要有p就能充分地保证q的成立，
这时我们说p可推出q，
我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．
“若p，则q” 为假命题，由p不能推出q，
记 p q
p推不出q
p 不是q的充分条件 q 不是p的必要条件
p是q的不充分条件，q是p不必要条件
做一做
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．( )
(2)“x>0”是“x>1”的充分条件．( )
(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
练习: 用符号 与 填空。
（1） x2=y2 x=y；
（2）内错角相等 两直线平行；
（3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc a=b
两种句型
① 是 的_________条件
什么
什么
p
q
1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“acD．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
题型一
充分条件、必要条件的判断
②使 成立 _________ 条件是
什么
什么
q
p
设x∈R，则x>2的一个必要条件是 ( )
A. x>1 B. x<1 C. x>3 D. x<3
A
题型二
充分条件、必要条件与集合的关系
-1
1
°
°
°
a
题型三
充分条件、必要条件的应用
-1≤a≤6.
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充要条件
复习回顾
一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
想一想
当p q , q p同时成立，p与q是什么关系？
知识点
充要条件
1．定义：若p q且q p，则记作________，此时p是q的充分必要条件，简称____________.
p q
充要条件
2．条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的
____________.
充要条件
充要条件
3．概括：如果________，那么p与q互为___________.
p q
充要条件
思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
如何判断命题中的条件是结论的充要条件
方法：若p，则q”和命题 “若q，则p”均是真命题
基础自测
1．下列命题中是真命题的是( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．
A．① B．①② C．①③ D．②③
[解析] x>4 x>3，故①是真命题；
x＝1 x2＝1，x2＝1 x＝1，故②是假命题；
a＝0 ab＝0，ab＝0 a＝0，故③是假命题．
2．“x＝0”是“x2＝0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
[解析] 因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是
“x2＝0”的充要条件．
题型一
充分、必要及充要条件的判断
例1(1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[归纳提升] 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
做一做
1．设p：x<3，q：－1A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（１）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（２）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（３）p：xy＞０，q：x＞０，y＞０；
（４）p：x＝１是一元二次方程ax ＋bx＋c＝０的一个根，q：a＋b＋c＝０ （a≠０）
(1)充分不必要条件
(2)充要条件
(3)必要不充分条件
(4)充要条件
4.设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩ B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的____________条件．( )
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分又不必要
3.“x>0”是“x2 022>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型二
充要条件的证明
例2.设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
先证充分性，再证必要性
先搞清楚哪个是p ，哪个是q
[解析] ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，
当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，
所以等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
给出下列各组条件：
①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x>2或x<－1，q：x<－1.
其中p是q的充要条件的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
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