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全称量词命题与存在量词命题的否定
(3)常见的否定词语
一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：
原词 否定词 原词 否定词
等于 不等于 至多一个 至少两个
大于 不大于 至少一个 一个也没有
小于 不小于 任意 某个
是 不是 所有的 某些
都是 不都是 或（且） 且（或）
题型一
命题的否定
垂直且平分
[解] (1) p ：y＝x不是增函数．假命题．
(2) p：实数的绝对值不都大于零．真命题．
(3) p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．
(4) p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．
[解] (1) p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．
(2) p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．
(3) p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为 0.假命题．
题型二
全称量词命题的否定
例2.写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2) a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[分析] 把全称量词改为存在量词，然后否定结论．
[解析] (1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行
(2) a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
(3) a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)存在被5整除的整数，末位不是0.
[归纳提升] 全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成
“是”或“不是”．
【对点练习】 写出下列全称量词的否定：
(1) x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；
(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(3)所有分数都是有理数；
(4)任意两个等边三角形都相似．
[解析] (1)该命题的否定： x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．
(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．
题型三
存在量词命题的否定
[分析] 把存在量词改为全称量词，然后否定结论．
存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
【对点练习】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；
(4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小
[解析] (1)假命题．任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题． x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．
(3)真命题．在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．
(4)真命题．任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．
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全称量词与存在量词
第一课时
新课程标准 核心素养
1.理解全称量词、存在量词的含义． 数学抽象
2.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断． 逻辑推理
3.能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 数学抽象
4.掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律． 数学抽象
5.能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题． 逻辑推理
【学法解读】
1．本节的重点是对全称量词和存在量词的理解，难点是对含有一个量词的命题的否定．
2．在本节的学习中，要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方法，并能够熟练运用其表示符号．
思考
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x＞3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对 所有的 x∈R，x＞3；
(4)对 任意 一个x∈R，2x＋1是整数．
不是命题
是命题
因为(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；
(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，
从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句.
知识点1
全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
用符号“ ”表示．
1.全称量词的概念
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
2.全称量词命题的概念
含有全称量词的命题叫做全称命题
3.全称量词命题的记法
通常，将含有变量x的语句用 p( x )、q( x )、r( x )、…等表示，变量x的取值范围用M表示.
那么，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：“ x∈M，p(x)” .
A
读作：“对任意x 属于M，有p(x)成立”
例1 判别下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数是奇数.
(2) x∈R，｜x｜+1≥1.
(3)对任意一个无理数x，x2也是无理数.
如果一个大于 1的整数，
除1和自身外无其他正因数，
则称这个正整数为素数
假
真
假
要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
知识点2
存在量词与存在量词命题
思考
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)2x＋1=3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R，使2x＋1=3；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
不是命题
是命题
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
1.存在量词的概念
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
E
常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
2.存在量词命题的概念
含有存在量词的命题叫做存在量词命题
3.存在量词命题的记法
存在量词命题“存在M中的元素x，有p(x)成立”可用符号简记为:“ x ∈M，p (x) ”
E
读作：“存在x 属于M，有p (x )成立”
例2 判别下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0.
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
(3)有些平行四边形是菱形.
假命题
真命题
假命题
要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题．
题型一
全称量词命题与存在量词命题的判断
例1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次方程都存在实数根；
(4)过平面内两点有且只有一条直线．
全称量词命题
存在量词命题
全称量词命题
全称量词命题
题型二
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
真命题
真命题
真命题
假命题
假命题
做一做
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3) x，y∈Z，使3x－4y＝20；
(4)任何数的0次方都等于1.
[解析]
(1)全称量词命题．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与 平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题．
(4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题．
题型三
全称量词命题与存在量词命题的应用
已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
若p与q均为假命题，求实数a的取值范围．
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