(共16张PPT)
等式性质与不等式性质第二课时
等式有下面的基本性质：
性质１ 如果a＝b，那么b＝a；
性质２ 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质３ 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质４ 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质５ 如果a＝b，c≠０，那么 ＝ ．
等式的基本性质
（对称性）
（传递性）
（加法）
（乘法）
（除法）
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？
不等式有如下性质：
（对称性）
（传递性）
性质1证明：∵a＞b，∴a－b＞0，
又由于正数的相反数是负数，
∴－（a－b）＜0，即b－a ＜0
∴b＜a
可加性
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
B
b
A
a
B1
b+c
A1
a+c
不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
性质4: 如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac(可乘性)
证明：∵a＞b，∴a－b＞0，
∵ac－bc＝（a－b）c，
若c＞0，则（a－b）c＞0，ac＞bc
若c＜0，则（a－b）c＜0，ac＜bc
性质5: 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(同向可加性)
两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.
证明（法1）：∵a＞b，c＞d，
∴a－b＞0，c－d＞0．
∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0．
∴a＋c＞b＋d．
证明（法2）：由性质3，得a＋c＞b＋c，c＋b＞d＋b；
由性质2，得a＋c＞b＋d．
性质6 : 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(同向同正可乘性)
两边都是正数的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.
性质7(可乘方性):
当不等式的两边都是正数时,不等式的两边同时乘方所得得不等式和原不等式同向.
性质8 (可开方性):
当不等式的两边都是正数时,不等式的两边同时开方所得得不等式和原不等式同向.
例1 已知a＞b＞0，c＜0，求证： ．
作差法
思考
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克糖 （m＞０）（假设全部溶解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
a+m
b+m
a
b
＞
a
b
a+m
b+m
m(b－a)
b(b+m)
－ =
∵b＞a＞０,m＞０
a+m
b+m
a
b
＞
例2.已知1≤ a－b≤ 2, 2≤ a＋b≤4，求 4a－2b 的取值范围
由于多次使用不等式相加的性质，导致a，b的范围扩大，因而4a－2b的范围也扩大
所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.
又因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.
即5≤4a－2b≤10.
1、下列命题中正确的是( )
A、若a>b,则ac2>bc2
B、若a>b,cb+d
C.若ab>0,a>b,则 <
1
a
1
b
D.若a>b,c>d,则 <
a
c
b
d
C
2.如果aA. ab > a2 B. a2 < b2 C. < D. - < -
1
a
1
b
1
b
1
a
D
3.下列命题正确的是( )
①a>b,则ac2>bc2
② a>|b|,则a2>b2
③a>b,则a3>b3
④|a|>b,则a2>b2
A、①② B、②③
C、③④ D、①④
B
4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴bb>a>c.
A
A(共12张PPT)
等式性质与不等式性质第一课时
新课程标准 核心素养
1.会用不等式组表示不等关系． 数学抽象
2.能够用作差法比较两个数或式的大小． 数学运算
3.掌握等式的性质． 数学抽象
4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质． 数学抽象
5.理解不等式的概念,掌握不等式的性质． 逻辑推理
在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系
情景引入
快与慢
知识点一、不等式与不等关系
(1)不等式的定义所含的两个要点.
①不等符号_________________ 或_______
②所表示的关系是____________
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
>, <, ≥, ≤
≠
不等关系
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 > ≥ < ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
不等式a≥b或a≤b的含义
(1)不等式a≥b含义是指“a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b含义是指“a某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售
100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知
这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后
商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
每天的利润为(x－8)·[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x－8)·[100－10(x－10)]≥300.
某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，
且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型
卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足
上述所有不等关系的不等式．
【对点练习】用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m，试用不等式表示其中的不等关系．
思考
实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？
a＞b，a＝b，a＜b.
概念
关于实数a,b的大小，有以下基本事实：
如果a-b是正数，那么a＞b;
如果a-b等于0，那么a=b;
如果a-b是负数，那么a＜b.
基本事实也可以表示为：
a－b＞0 a＞b；
a－b＝0 a＝b；
a－b＜0 a＜b.
要比较两个实数的大小，可以转化为
比较它们的差与０的大小．
不等式基本原理
作差法
比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法
例１ 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解:
作差
整理
判定符号
已知x>1,比较x3+6x与x2+6的大小．
解： ∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)
＝(x－1)(x2＋6)
通过因式分解化成积的形式，再判断符号
∵x>1 ∴(x－1)(x2＋6)>0
∴x3＋6x>x2＋6
针对练习
1.比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
(1). x2-3x+3=(x- )2+ >0
3
2
3
4
∴ x2+3>3x
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.
2.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝ 且z＝1时取等号.
