(共26张PPT)
函数的单调性
新课程标准 核心素养
1.根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念． 数学抽象
2.会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性． 直观想象
3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题． 数据分析
4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题． 数学建模
5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法． 数据分析
【学法解读】
1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．
2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．
3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
5
6
思考：当时间x逐渐增大时，对应的函数值y有什么变化趋势？如何用数学语言来描述？
函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质叫做函数的单调性.
x
y
o
观察函数 图象的变化规律：
x1
x2
下降
(-∞,0]
1.在y轴左侧，从左到右函数图象___（上升/下降），在区间 _____ 上， 的值随x的增大而 _____．
减小
(0,+∞)
2.在y轴右侧，从左到右函数图象___ （上升/下降），
在区间 _____ 上， 的值随 x的增大而 _____
增大
x1
x2
f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减的
f(x)=x2在(0,+∞)上是单调递增的
上升
知识点1
增函数与减函数的定义
1.增函数.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
如果函数f(x)在定义域上单调递增，则称f(x)为 增函数.
设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D
上的任意两个自变量x1 , x2，当x1f(x2 )
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，
D称为f(x)的单调递增区间
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
2.减函数.
设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D
上的任意两个自变量x1 , x2，当x1f(x2 )
那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，D称为f(x)
的单调递减区间
如果函数f(x)在定义域上单调递减，则称f(x)为 减函数.
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1) 任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，
证明时不能以特殊代替一般；
(2) 有大小，通常规定x1(3) 属于同一个单调区间．
函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
1.函数的单调性也叫函数的增减性
2.函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念.
函数单调性定义的等价形式(对于任意的x1 , x2 ∈D且x1 ≠ x2)：
f(x)在D上为增函数；
f(x)在D上为减函数；
知识点2
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
与对称轴、开口方向有关
题型一
求函数的单调区间
例1.如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
5
6
7
[解析] 函数的单调增区间为[－1,3)，[5,6)，
单调减区间为[－4，－1)，[3,5)，[6,7]
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法
(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并集，用和或“，”隔开.
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
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1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
°
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
x
y
o
1
-1
3
-3
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
题型二
用定义法证明函数的单调性
[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝( )－( )=( x1－ x2)+( － )
=( x1－ x2)+ =
x1+
1
x1
x2+
1
x2
1
x1
1
x2
x2－x1
x1x2
(x2－x1)(－1+x1x2)
x1x2
∵0(x2－x1)(－1+x1x2)
x1x2
>0
即f(x1)>f(x2)，
设
作差
化成积的形式
判定符号
例题4. 根据定义，研究函数 f(x) = kx + b (k≠0) 的单调性.
【解】函数 f(x) = kx + b (k≠0)的定义域是R，对于任意的x1，x2 ∈R ,且
x1，
由x10时，k(x1－x2)<0， f(x1)这时，函数 f(x) = kx + b (k≠0)是增函数；
当k<0时，k(x1－x2)>0， f(x1)>f(x2)，这时，函数
f(x) = kx + b (k≠0)是减函数；
题型三
单调性的应用
例5.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1).
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解]由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
x
y
o
1
-1
2
-2
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围
3
2
( ，＋∞)
自变量的取值必须在单调区间内
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
课堂小结
1．思考辨析
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( )
(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( )
(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )
2．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )
A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3
x
y
o
1
3
2
4(共28张PPT)
函数的奇偶性
新课程标准 核心素养
1.理解奇函数、偶函数的概念． 数学抽象
2.掌握判断某些函数奇偶性的方法． 逻辑推理
3.掌握奇偶函数的图象特征． 直观想象
4.会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性． 逻辑推理
【学法解读】
1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．
2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．
情境引入
生活中的对称
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 y=x2 和y=2-|x| 的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于y轴对称
自变量取互为相反数两个数时，函数值相等，即f(-x)=f(x)
知识点1
函数的奇偶性
偶函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为A，如果对 x∈A，都有-x∈A，
且f(-x)=f(x)，即f(x)的图像关于y轴对称，那么就称f(x)为偶函数.
偶函数的图象关于y轴对称.
思考1：
(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，
函数f(x)是偶函数吗？
不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立
(2).x∈A(A为定义域)，-x∈A说明什么？
偶函数的定义域关于原点对称.
1.判断下列函数是否为偶函数
是
不是
2.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是偶函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
观察函数 f(x)=x 和f(x)= 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
1
x
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x … …
-3 -2-1 0 1 2 3
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
f(x)= … …
1
x
1
3
-
1
2
-
1
3
1
2
-1
1
奇函数的定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为A，如果对 x∈A，都有-x∈A，
且f(-x)=-f(x)，即f(x)的图像关于原点对称，那么就称f(x)为奇函数.
奇函数图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
判定函数奇偶性基本方法:
①定义法:先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系.
②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.
例1：判断下列函数的奇偶性：
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
既是奇函数又是
偶函数
非奇非偶
奇函数
图象法
奇函数
偶函数
O
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
知识点2
函数的奇偶性应用
题型一
奇偶函数图象的应用
例1.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
4
5
(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
【对点练习】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
(2)据图可知，单调增区间
为(－1,0)，(1，＋∞)．
题型二
利用函数奇偶性求解析式
例2.已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，
f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．
[解析] ∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，
则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，
∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)= ，试求f(x)的解析式.
2
x+1
解：设x＜0，则－x＞0，f(x)=f(-x)=
2
-x+1
2
-x+1
x＜0
x≥0
2
x+1
f(x)=
即 f(x)=
2
|x|+1
利用奇偶性求函数解析式的关注点
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间的解析式代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
【跟踪训练】
1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x-2),
则当x<0时,f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x(x-2) B.f(x)=x(x+2)
C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=-x(x+2)
D
2.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，
求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时， f(x)＝x2－x－1.
题型三
函数奇偶性与单调性的关系
角度1：比较大小
例3定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1 , x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，
有 <0，则 ( )
A.f(3)C.f(-2)x1－x2
f(x1)－f(x2)
偶函数, f(-2)=f(2), 在[0，＋∞)单调递减
【跟踪训练】
定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1, x2∈(-∞,0](x1≠x2),
有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有 ( )
A. f(-n)C. f(n-1)角度2：解不等式
例4.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，
若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求实数a的取值范围．
[解析] 原不等式化为f(1－3a)<－f(1－a)．
因为f(x)是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)．
所以原不等式化为f(1－3a)转化为f( )或f( )>f( )
因为f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
利用区间单调性
列不等式组
已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)[解] 因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上为减函数．
又f(1－m)故实数m的取值范围是[－1， )
因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.
C
2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1，3)
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2- 4x，则
不等式f(x)>x的解集用区间表示为————————
(-5,0)∪(5,+∞)
4.偶函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x)>f(x+1),
则x的取值范围为__________.
f(2x)>f(x+1) f(|2x|)>f(|x+1|) |2x|<|x+1|,变形可得:3x2-2x-1<0,
(－ ，1)
1
3
5.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，
又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.
若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，
则实数a的取值范围是________________.
已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2
在区间(0，＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞，0)上的最
小值为______.
因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用
“f(x)，g(x)均为R上的奇函数”这一条件，构造一个新函
数来间接求解．
由f(x)，g(x)均为R上的奇函数，知af(x)＋bg(x)为R上的奇函数．
由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为8，
得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为6.
根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)
在(－∞，0)上的最小值为－6，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2
在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4.
题型四
函数图像的对称性
2.函数f(x)的图像关于点对称
若函数f(x)对定义域内任一x，都有
(1)f(a－x)＝－f(a＋x) y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称；
(2)f(x)＝－f(a－x) y＝f(x)的图像关于点 ( , 0)对称；
(3)f(a＋x)＝－f(b－x) y＝f(x)的图像关于点 ( ,0)对称
a
2
a+b
2
1.已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴是 ．
直线x＝1
2.已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心是 ．
(1，0)
∵f(x＋1)是奇函数，∴f(-x＋1)=-f(x＋1)，即f(-x＋1)+f(x＋1)=0
f(x＋1)表示是f(x)向左平移一个单位
3.若函数f(x)＝x2－ax－b满足对于任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)的最小值为－2，求实数a，b的值．
f(x＋1)=f(1-x)，关于直线x=1对称，且最小值为-2，
则f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1，a=2，b=1
已知函数f(x)对于任意的实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
(1)求f(0)的值；
(2)试判断函数f(x)的奇偶性；
(3)若x＞0都有f(x)＞0，试判断函数的单调性．
(1).f(0)=0
(2)令y = -x，则f(x-x)＝f(x)＋f(-x)=0，奇函数
设0f(x2)=f[(x2－x1)+ x1]=f(x2－x1)+f(x1)＞f(x1)，
函数 是增函数(共20张PPT)
函数的最大(小)值
新课程标准 核心素养
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义． 数学抽象
2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． 数学运算
3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题． 数据分析
4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题． 数学建模
5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法． 数据分析
知识点一 ：函数的最大(小)值的概念
曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤ M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数 y=f(x) 的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥ M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
思考2：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
函数的最值与值域有怎样的关系？
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
题型一
利用函数的图像求函数的最值(值域)
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
5
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为
[－1，3].
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
－1、2
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
故f(x)的最大值为1，最小值为0
题型二
利用函数的单调性求最值(值域)
x1－x2
(x1+1)(x2+1)
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
2.求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝ － =
2
x2-1
2
x1-1
2(x2－x1)
(x1-1)(x2-1)
由于20, (x1-1)(x2-1)>0,于是
f(x1)－f(x2)>0, f(x1)>f(x2)
所以，函数 y＝ 是区间[2,6]上的单调递减.
2
x-1
x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .
题型三
二次函数的最值问题
例3.已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解析] f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，
如图所示．
x
y
o
2
4
2
4
5
-7
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)[－7,5]
(3)[－4,20]
例4.求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
t＋1
t＋1
t
t
t＋1
t
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以
最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t>1时，函数图象如图3所示，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
函数图象如图所示，最小值为
g(t)＝f(1)＝1
例5.已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
[解析] (1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A．[0，3] B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝______．
若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1
1
4
∴ 函数g(x)的值域为[－ ，+∞)
17
8
