(共14张PPT)
无理数指数幂及其运算性质
新课程标准 核心素养
1.无理数指数幂的概念； 数学抽象
2.实数指数幂和根式之间的互化； 逻辑推理
3.利用实数指数幂的运算性质化简求值； 数学运算
4.分析已知条件与所求式子之间的联系； 数据分析
5.通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质． 数学建模
知识点一 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
知识点二 实数指数幂的运算性质
题型一 无理数指数幂的运算
a
π
6
2π
3
π
+
-
a
π
6
-
2
2
3
题型二 指数幂运算的综合应用
例 2
+ = 3
a
a
1
2
1
2
-
两边平方，得a＋a－1＋2＝9，
a
1
a
由 ，a<0,
a
1
a
=
a
a2
a
=
a
解：原式=1+ 1 =0
2
2
10 =(10 ) = = =
2
3x-y
2
1
3x-y
10
10
y
3x
3
8
3
6
2
原式.
2
5
2
2
2
·
=
2
4
2
5
·
=
2
20
=( 2×2 ) =( 2 )
1
2
1
3
3
2
1
3
3
2
8
2
2
2
2
2
2
·
= =1
2
2
2
2
2
a
=m,
2=m
1
a
=m
5
b
5=m
1
b
10=m
1
a
1
b
+
α+β= -2, αβ=
1
5
1
4
2
1
5
3+2 =( +1)2
2
2
6-4 =(2- )2
2
2
原式=.
6-4
2
原式=2-.
2(共16张PPT)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新课程标准 核心素养
1. 数学抽象
2. 数学运算
3.通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法． 逻辑推理
【学法解读】
本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
温故知新
1.整数指数幂
2、整数指数幂的运算性质：
an
指数
底数
幂
因为(±4)2=16,所以±4叫做16的平方根;
(±3)2=9，
±3叫做9的平方根
23=8，
2叫做8的立方根
(-2)3=-8，
-2叫做-8的立方根
(±3)4=81
35=243
(-3)5=-243
xn=a
知识点一 n次方根定义
1.若xn=a,则x叫做a的n次方根
个 数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 a
n
a
n
(n为奇数)
(当n是偶数,且a＞0)
偶次方根
2.负数没有偶次方根
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
a
n
根指数
被开方数
知识点二 根式的定义
奇次方根
1.正数的奇次方根是一个正数,
2.负数的奇次方根是一个负数.
定义：式子 叫做根式
a
n
例1. 根式的化简(求值)
= -8
= 10
= π-3
= |a-b|
16的平方根为_______，－27的5次方根为_________；
±4
计算下列各值：
(1)27的立方根是_____；
(2)256的4次算术方根是_____；
(3)32的5次方根是_____.
3
4
2
知识点三 分数指数幂的意义
思考：
当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
1.分数指数幂的概念
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义
规
定
2.分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质：
例2：求值
2
3
( 8 )
2
3
( 23 )
=
=23×
2
3
=22=4
=
( )
3
4
16
81
( )
3
4
81
16
3
( )
3
2
=
=
27
8
把底数化成幂的形式，
有负指数幂，可以去负号，同时将底数分子与分母对调
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0)
把根式化成分数指数幂
当有多重根式时,要由里向外层层转化
( )
64
1000
1
3
=
1000
64
( )
1
3
( )
1
3
10
4
3×
=
=
10
4
解：原式= -1+ + +0.1
10
4
1
16
1
8
143
80
=
[归纳提升] 幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
