(共28张PPT)
指数函数的图像、性质
新课程标准 核心素养
1.能用描点法或借助信息技术画出具体指数函数的图象； 几何直观
2.根据函数图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 逻辑推理
3.能够应用指数函数的图象和性质解决相关问题； 数学运算
4.结合指数函数概念、图象与性质的研究,体会研究具体函数的一般思路和方法,提升数学抽象、直观想象素养.
1.作出下列两组函数的图象:
(1) y =2x y=3x （a>1)
(2) (0
x -2 -1 0 1 2
y=2x 1 2 4
4 2 1
y=3x 1 3 9
9 3 1
x
y
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
函数y=2x的图像与
的图像有什么关系？
关于y轴对称
指数函数y=ax的图像及性质
a>1 0图像
定义域 值 域 性质
y=ax
y=1
(0,1)
(0,1)
y=1
y=ax
R
( 0 , + ∞ )
(1)过定点( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
（2）增函数
（2）减函数
奇偶性：非奇非偶函数 最值：无最值
指数函数y=ax的图像及性质
a>1 00时，y>1 当x>0时，01
y=ax
y=1
(0,1)
(0,1)
y=1
y=ax
大1增，小1减，左右无限上冲天，
横轴接近不相连，(0,1)始终在上面
指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
x
y
o
y=ax
y=bx
y=cx
y=dx
x=1
在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．
底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称.
类型1 指数函数图像
角度一 指数型函数过定点问题
【例1】 函数y＝a2－x＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点________
在函数y＝a2－x＋1中，令2－x＝0，得x＝2，此时y＝1＋1＝2，即函数y＝a2－x＋1的图象过定点(2，2)
(2，2)
令指数型部分的指数为0，求出的x值为点的横坐标，
此时的函数值为点的纵坐标。
角度二 指数型函数图象的特征
【例2】 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
x
y
o
1
从图象的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；
从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
角度三 作指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.
x
y
o
x
y
o
类型2 指数函数的性质
1.比较大小
【例4】比较下列各组数的大小：
3
11
(2) > , >0,∴
8
33
5
6
>
( )
3
11
5
6
( )
8
33
5
6
(3) 1.50.3＞1.50＝1，0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.
比较幂值大小关键是看指数相同还是底数相同:
①若指数相同利用幂函数的单调性；
②若底数相同,利用指数函数的单调性;
③若底数,指数都不相同,构造中间量.
规律总结
比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)．
做一做
解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
而0.8－0.2＝ －0.2＝1.250.2，
( )
4
5
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1, 0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0a0.6.
当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；当a>1时，a0.5底数是参变量要注意分类讨论
2.解含指数型不等式
比较满足下列条件的m,n的大小
(1)2m <2n ； (2)0.2m <0.2n
(3)am an(a>1)
(5)am (1).m(2).m>n
(3).m>n
(4).m>n
(5). 当0n；当a>1时，m例5、解不等式(1)
解：x2+x<-x+3, x2+2x-3<0,
{x|－3化成同底的指数
2x2+x<2-2x+4 ， x2+3x-4<0，{x|－4将具体的数化成相应的函数值
(3x-1)(2x+1)≤0,
{x|－ ≤ x ≤ }
1
2
1
3
解：当a>1时，有2x-7>4x-1，解得x<-3
当0-3
所以当a>1时，x得取值范围为(-∞,-3)
所以当03.指数型函数的奇偶性和单调性
例6.讨论函数f(x)= 的奇偶性和单调性
(1) 函数的定义域为R，
∵f(-x)= =－ ＝－f(x)
10x-10-x
10x+10-x
10-x-10x
10-x+10x
∴ f(x)在R上是奇函数
（2）
∵f(x)= =1－
10x-10-x
10x+10-x
2
102x+1
故函数f(x)在R上是增函数
可用定义法证明
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝( )u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，又∵y＝( )u在(－∞，＋∞)上递减，
1
3
1
3
∴y＝( ) 在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递减．
1
3
x2－2x
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝( )u，u∈[－1，＋∞)，
1
3
∴原函数的值域为(0,3]．
同增异减
跟踪训练
解：令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
又y＝( )u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得
1
2
y＝( ) 在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
1
2
2x－x2
y＝( ) ≥ ，值域为[ ，＋∞)
1
2
2x－x2
1
2
1
2
2．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t＝2x在[0，＋∞)上递增，
∴y＝(2x－1)2＋4的单调递增区间为(0，＋∞)．
同理可得单调递减区间为(－∞，0].
类型3 指数函数的实际应用
1．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车． ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，
定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．
(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
1.已知函数f(x)=a2x+b (a>0且a≠1,b∈R),的图象恒过点(1,1),则b= .
2+b=0, b= -2,
-2
2.已知函数f(x)=(a－1)x ，在R上为增函数,则a的取值范围是 .
a－1>1, a >2
a >2
3.求函数f(x)=3·4x－2x(x≥0)的最小值.
解：f(x)=3·(2x)2－2x , 因为0≤x，所以2x≥1
所以f(x)的最小值是2(共18张PPT)
指数函数的概念
新课程标准 核心素养
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景 数学抽象
2.理解指数函数的概念与意义 数学抽象
3.理解指数函数增长变化迅速的特点 直观想象
对幂函数的研究，了解了研究一类函数的过程和方法:
“背景——概念——图像与性质——应用
情境导入
一个故事
一句话
“一尺之棰，日取之半，万世不竭”
一张纸的妙用
将它对折103次，宇宙都无法
装下这张纸
【问题1】随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区
自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了
门票.下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快.
为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：
观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律.
【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.
那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？
【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，
可以得到
2002年游客人次
2001年游客人次
=
2003年游客人次
2002年游客人次
=
2015年游客人次
2014年游客人次
=
增加量=变后量-变前量
增长率=
增加量
变前量
【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此，
B景区的游客 人数近似于指数增长.即从2001年起，每一年的游客
人次都是上一年的1.1倍左右，增长量越来越多.
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
...x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍
那么y=1.11x(x∈[0,+∞)这是一个函数，其中指数x是自变量。
棋盘上的麦粒
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相 西萨·班·达依尔。国王问他想要什么， 他对国王说："陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!"国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
总数为：18446744073709551615(粒) ，1000粒约40克麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）
1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第三格给8粒……，到第x格时，请大家写出需要给的麦子粒数y与格子数x的关系式。
x格
麦粒数y
1
2
2
4
3
8
4
16
…
…
x
y=
y = 2x
问题2 《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？
截取
次数
木棰
剩余
1次
2次
3次
4次
x次
提炼
问题：以上两个式子有何共同特征？
(1)均是幂值形式；
(2)底是一个正的常数；
(3)自变量x在指数位置上；
指数函数的定义
一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R
观察指数函数的特点:
x系数为1
系数为1
底数为正数且不为1
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xa有什么区别和联系？
为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1？
当a<0时，a x有些会没有意义，如
当a=0时，a x有些会没有意义，如
当a=1时，a x 恒等于1，没有研究的必要.
为了便于研究，规定： (a>0且a≠1)
判断下列函数是否是指数函数
例1 已知指数函数f(x)=ax (a>0，且a≠1) ，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.
2
指数型函数的实际应用
角度1 增长型指数函数模型
随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
2021年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067
角度2 衰减型指数函数模型
调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________________小时后才可以驾驶机动车．( )
A．1 B．2
C．3 D．4