(共14张PPT)
对数的概念
新课程标准 核心素养
1.理解对数的概念； 数学抽象
2.能够进行对数式与指数式的互化； 逻辑推理
3.知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 数学运算
4.理解对数的运算性质； 逻辑推理
5.理解对数的底数和真数的取值范围； 数学运算
6.掌握对数的基本性质及对数恒等式 逻辑推理
1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？
抽象出：
2.在前面问题中，通过指数幂运算，我们能从y=1.11x 中求出经过x年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的y倍．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
即已知底数和幂的值，求指数．用我们现有的知识体系可以解决
上述问题吗？
这就是本节要学习的对数。
有三个数2(底),4(指数）和16（幂）
（1）由2，4得到数16的运算是乘方运算
（2）由16，4得到数2的运算是开方运算
（3）由2，16得到数4的运算是对数运算
定义：一般地，如果a( a>0, a≠1)的b次幂等于N, 就是
ab=N，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作logaN=b.
a叫做对数的底数，N叫做真数
知识点1
对数的概念
ab=N
logaN=b
底数
指数
幂
底数
真数
对数
常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数log10N , 简记作lgN
常用对数与自然对数
自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数,为了简便，N的自然对数logeN,简记作lnN.
底数a的取值范围：
真数N的取值范围 :
对数的基本性质
知识点2
(1)负数和0没有对数
(2)loga1＝_____. 1的对数为0.
0
(3)logaa＝_____. 底的对数为1
1
由logaN＝x，得N＝ax，当a>0且a≠1时，
ax>0，∴N>0，∴负数和0没有对数．
设loga1＝x(a>0且a≠1)，则ax＝1，∴x＝0，即loga1＝0.
设logaa＝x，则ax＝a，∴x＝1，即logaa＝1.
知识点3
对数恒等式
alogaN＝_____.
N
x＝logaN代入ax＝N得alogaN＝N.
logaax=x
①底数必须相同，
②logaN前的系数必须是1，
真数写成幂的形式
如log29=log232=2log23
例1 将下列指数式写成对数式：
( 1)
( 2)
( 4)
( 3)
log5625=4
log327=a
log2 = - 6
1
64
log 5.13=m
1
3
题型一
对数式与指数式的互化
例2 将下列对数式写成指数式：
(1)
(2)
(3)
(4)
( )
1
3
-3
=27
=125
-3
5
=125
2.303
e
=0.01
-2
10
题型二
利用对数式与指数式的关系求值
例3 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
∵4x=5·3x ,∴ =5, ∴ =5
x
4
x
3
( )
4
3
x
∴ x=log 5
4
3
(2)∵ log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.
(3)∵ ln e2=x,∴ex=e2,∴x=2
(5)∵ lg 0.01=x,∴ 10x=0.01=10-2,∴ x=－2.
3
2
∴x =27,∴x =27 =32=9
3
2
2
3
题型三
利用对数的基本性质与对数恒等式求值
解:(1)∵ ln(log2x)=0,∴ log2x=1,∴ x=21=2.
(2)∵ log2(lg x)=1,∴ lg x=2,∴ x=102=100.
(3) =9，x=81
x
例4 求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1;
1.对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是________．
2.已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.
4.若log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．(共17张PPT)
对数的运算
新课程标准 核心素养
1.掌握对数的运算性质； 数学运算
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 数学运算
3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明 逻辑推理
知识点1
对数的运算性质
1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质
第一组 式 log28 log232 log2(8×32)
值
猜想性质 3
5
8
log28+log232 =log2(8×32)
logaM＋logaN=loga(M·N)
第二组 式 lg1000 lg100 000
值
猜想性质 3
5
－2
lg1000－lg100 000=
lg
3
10
5
10
logaM－logaN=loga
第三组 式 log335 5·log33
值
猜想性质 5
5
log335=5log33
logaMn = nlogaM
设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，
(1). loga(M·N)= logaM＋logaN
∴MN＝am·an＝am＋n，
∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.
(2). loga =logaM－logaN
积对数等于对数之和.
商对数等于对数之差.
设logaM=p，logaN=q, M= , N=
a
p
a
q
a
p-q
M
N
=
loga =logaM－logaN
(3). logaMn = nlogaM
n次幂的对数等于n倍的对数.
设logaM=p,则 M= ， Mn=
a
p
a
np
logaMn =np
logaMn = nlogaM
※ 对数运算公式几个注意点：
1) 简易语言表达：“积的对数=对数的和”，………；
2) 真数的取值必须是（0,＋∞）；
3) 有时公式可以可逆；
4)loga(M·N)≠ logaM·logaN
loga(M±N)≠ logaM±logaN
5)logaMn ≠( logaM )n
解：原式=log247 +log225
=7log24 +5log22
=7log222+5
=19
解：原式= lg100
= lg102
= lg10
=
1
5
1
5
2
5
2
5
解：原式=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－lg2－2lg3
=0
解：原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2(lg5+lg2)+2lg5·lg2+(lg5)2+(lg2)2
=2+(lg2+lg5)2
=3.
知识点2
换底公式
想一想
log25
log23
=x
设 ,则log25=xlog23=log23x ,3x=5 ,x=log35
log25
log23
=
log35
1
例2.已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
( )
( )
解 方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，
( )
( )
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.
跟踪训练 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
又∵log37＝b，
题型一
对数运算性质的应用
题型一
对数换底公式的应用
2
x
=m
x=log2m
1
x
=logm2
5
y
=m
y=log5m
1
y
=logm5
1
x
1
y
+ =2
logm2+logm5=logm10=2
