数学人教A版（2019）必修第一册4.4对数函数 课件（3份打包）

(共24张PPT)
对数函数的图象和性质
新课程标准 核心素养
1.掌握对数函数的图象和性质； 数学抽象
2.通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质； 逻辑推理
3.利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式； 数据分析
4.通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结对数函数性质. 数学建模
对数函数的图象:
知识点一
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
y=log2x … …
y=log x … …
1
2
-2 -1 0 1 2
2 1 0 -1 -2
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log2x
y=log1/2x
两个图像关于x轴对称
画出对数函数 的图象
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log2x
y=log1/2x
y=log3x
y=log1/3x
1.函数图象分布在哪些象限？
一、四
2.函数图象有哪些特殊点
(1,0)
3.函数图象的单调性与底数a的关系？
当0当1底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0o
x
y
o
x
y
+∞
+∞
+∞
- ∞
+∞
- ∞
·
·
(1,0)
(1,0)
当x>1时，y>0;
当0当00;
当x>1时，y<0
对数函数y= log a x(a>0,且a≠1)的图象与性质
o
x
y
1
o
x
y
1
定义域:( 0,＋∞）;值域:R.
定义域:( 0,＋∞）;值域:R.
过定点（1，0）即x=1时,y=0.
过定点（1，0）即x=1时,y=0.
当a>1时， x∈(0,1)y<0
x∈(1,+∞)时,y>0
当00
x∈(1,+∞)时,y<0
当a>1时，y=logax在( 0,＋∞)
是增函数.
当0非奇非偶
非奇非偶
知识点二
a > 1
0 类型1 对数函数图像
角度一　对数型函数过定点问题
令对数型部分的真数为1，求出的x值为点的横坐标，
此时的函数值为点的纵坐标。
角度二　对数型函数图象的特征
例1.已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga x，y＝logb x，y＝logc x，y＝logd x的图象，则a，b，c，d 的大小关系是(　　)
A．dB．cC．bD．cx
y
o
1
y=logax
y=logbx
y=logc x
y=logd x
B
作直线y=1与图像相交，从左至右，
底数依次增大
函数y=x+a与y=logax的图象只可能是下面选项中的(　　)
x
y
o
1
x
y
o
1
x
y
o
1
C
A
B
D
1
1
1
x
y
o
1
1
A中,由y=x+a的图象,知a>1,由y=logax的图象知0B中,由y=x+a的图象,知0由y=logax的图象知a>1,选项B不符合题意;
D中,由y=x+a的图象,知a<0,由y=logax的图象知a>1,选项D不符合题意.
C
角度三　作对数型函数的图象
作出函数y=|lg(x-1)|的图象
先画出函数y=lg x的图象
x
y
o
1
1
再将该函数图象向右平移1个单位长度
得到函数y=lg(x-1)的图象
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分
对称翻折到x轴上方
类型2 对数函数的性质
1.比较大小
例2.比较下列各组中两个值的大小:
(1) log25.3 , log24.7 (2) log0.27 , logo.29
(3) log3π , logπ3
(4) loga3.1 , loga5.2(a>0,a≠1)
y＝log2x在( 0,＋∞) 是增
函数.log25.3 > log24.7
y＝log0.2x在( 0,＋∞) 是减
函数.log0.27 > logo.29
log3π>1，0logπ3
当0 loga5.2；当a>1时，loga3.1< loga5.2
比较两个对数式的大小，一般有三种方法：
（1）若是同底的对数，则可直接利用对数函数的单调性，只需比较两个真数的大小即可.
(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3) 底数和真数都不同，找中间量．
若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，
对底数进行分类讨论．
log23与log54
2.解含对数型不等式
例3. (1)解不等式log5(1－x)>log5(3x－2).
1－x>0
3x－2>0
1－x>3x－2
x<1
x>
2
3
x<
3
4
{x| ＜x＜ }
2
3
3
4
1
2
(4).解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)．
x－4>0
x－2>0
x－4>x－2
x－4>0
x－2>0
x－4解集为(4,+∞)
3.对数型函数的奇偶性和单调性
[解析]　由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在定义域上的
单调递减区间.
y＝log u
1
2
例5.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数
若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(1，＋∞)
令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，
又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1]
上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)
在[0,1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.
综上可得1B
4.对数型函数的值域
[解析]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，
∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u>0，∴0函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]　∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
( )
( )
( )
知识点三
反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__________，
它们定义域与值域正好________.
反函数
互换
互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
例8：作出 y=log2x , y=log x , y=lgx的图象.
1
1
x
y
o
log
1
3
指数函数y＝ax的反函数是对数函数y＝logax.
∵对数函数y＝logax的图象过点(9,2)．
∴2＝loga9，解得a＝3.(共12张PPT)
对数函数的概念
新课程标准 核心素养
1.理解对数函数的概念； 数学抽象
2.会求与对数函数有关的定义域问题； 数学运算
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用 数学建模
已知某地2000-2019年20年内经济总量的年均增长率为8%，在学习了十九届五中全会精神后，该地结合实际情况组织专家综合研判，预测未来30年内，该地经济总量的年均增长率不低于5%，若按最低增速算，设经过x年后该地经济总量为现在的y倍，你能写出x与y的函数解析式吗？
这里，y是x的指数函数，它刻画了经济总量的倍数y随时间x年呈指数增长的规律，我们能否用不同的角度去刻画这一规律呢？
比如我们能否求出经济总量翻一番所需要的时间x呢？
即已知 能否求x的值？
（参考数据：lg2=0.30103，lg1.05=0.021189）
若已知任意的经济总量倍数y，能否求得相应的时间x？
x是y的函数
习惯上，常用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是 y=logax (a>0,a≠1) .
知识点
对数函数的定义
一般的，我们把函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，
其中x是自变量，
函数的定义域为(0,＋∞)，
想一想
(1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)
(2)对数函数的解析式有何特征？
(1)ax＝N logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.
(2)①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.
题型一
对数函数概念
例1.下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；
⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；
②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，
⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)
⑥中log4x系数为2
只有③、④符合对数函数的定义．
题型二
对数函数的定义域
题型三
对数函数在实际问题中的应用
[解析] 设过滤y次后杂质含量为x，
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
1
2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1)，则f(8)＝________.
解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3.
3
∴15.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 即log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34. ∴老江的销售利润是34万元.(共12张PPT)
不同函数增长的差异
新课程标准 核心素养
1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性； 数据分析
直观想象
2.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异,并能解决相关问题； 逻辑推理
3.能正确地选择函数模型解决实际问题. 数学建模
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题:
现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子
A.5年　B.7年　C.8年　D.9年　E.永远买不起
房子的价格逐年构成什么样的函数 这个人的逐年收入构成什么函数 你能给出这道题的答案吗 为什么
在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、
指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？
虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.
下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k>0 ，指数函数 g(x)=ax(a>1) ，对数函数 在定义域内增长方式的差异.
我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法
以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
.
.
观察两个函数图象及其增长方式：
结论一：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)
结论三：在区间(1,2)上，
函数y=2x的图象位于y=2x之下
结论二：在区间(0,1)，(2,3)上
函数y=2x的图象位于y=2x之上
x
y
o
1
2
综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是
它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度
不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.
总结一：函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.
随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x
的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
总结二：一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与
上述类似
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间
会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)
的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
x y=lgx
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
y=lgx
总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它
们的增长速度存在明显差异.
在(0,+∞)上增长速度不变，
y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.
随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
总结二：一般地，虽然对数函数 与一次函数
y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少，在一定范围内，logax 可能会大于kx，但由于
的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有 logax< kx .
例 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是
y2
由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数f(x)=kx+b，k>0，指数
函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数y＝loga x(a>1) 在定义域上的不同增长方式.
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数