(共20张PPT)
函数的零点与方程的解
新课程标准 核心素养
1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点； 数学抽象
2.了解函数零点与方程解的关系； 数学抽象
3.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理. 逻辑推理
情境引入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，
知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.
例如，方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，,则二次函数f(x)=y=x2－12x+20的零点就是2和10
x
y
o
2
10
在图像上显示为
画出下列函数的图象
(1) f(x)=x－1 f(x)=x2－2x+1
(2) f(x)= f(x)=
(3) f(x)=2x －1 f(x)=log2x
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
°
思考：当函数和x轴有交点时，
其交点横坐标与方程 f(x)=0的
解有什么关系？
如图为函数 在 上的图象：
x
y
o
1
-2
2
4
3
-3
-1
-4
问题1：根据函数的图象，你能否得出方程
的实根？
x=-3，x=-1，x=2
问题2：你认为方程f(x)=0的实根和对应函数的图象
与x轴交点的横坐标有什么关系？
方程f(x)=0的实数根 函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
函数零点的定义:
与二次函数的零点一样，对于一般函数 y=f(x)，我们把使得
f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
知识点一
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函
数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.所以：
方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
思考
(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
①数值上相等 ②存在性相同 ③个数相等
函数的零点不是点，而是实数
问：求函数零点的方法有哪些？
零点的定义给出了求解函数零点的基本方法
(1)代数法：
若方程 f(x)=0可解，其实数根就是函数y=f(x)的零点.
(2)图像法：
若方程f(x)=0 难以直接求解，将其改为f(x)=g(x)- h(x)=0 ,
进一步改为g(x)=h(x)，在同一坐标系中分别画出两个函数
y=g(x) 和 y=h(x) 的图像，两图像交点的横坐标就是函数 y=f(x)的零点. .
1.函数 的零点是（ ）
A.（－1,0）或（6,0） B. x=6 C.（6,0） D. －1和6
2.求下列函数的零点.
1
2
-1，3
以二次函数 f(x)=x2-2x-3为例,观察它的图象,发现它在区间[2, 4]上有零点。
这时，函数图象与x轴有什么关系 在区间[-2, 0]上是否也有这种关系
你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系
再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，
以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用
f(x)的取值刻画这种关系的方法.
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断
的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x =4
的取值异号，即 f(2) f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3在
区间(2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0的一
个根。
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
同样地，f(-2) f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2, 0)内有零点x= -1,
它是方程x2-2x-3=0的另一个根。
观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a) f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b) f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c) f(d) _____ 0（＜或＞）
b
a
c
0
y
x
d
有
＜
有
＜
有
＜
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
知识点二
函数零点存在定理
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，
且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，
即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数
y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是
连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)
在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
x
y
0
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个
条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必
要条件。
问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
函数零点存在定理可以证明函数有零点，
但不能判定零点的个数。
例1 已知函数f(x)=lnx+2x－6，能判断出函数零点大致在哪个区间上吗？
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点。
1．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，
2.f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
例2.如何求方程lnx+2 x－6=0实数解的个数？
解：函数f(x)=lnx+2 x－6的定义域为(0,+∞)
∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数，
∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，
又∵f(2)=ln2+2 ×2－6<0, f(3)=ln3+2 ×3－6>0,
∴函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点
方程lnx+2 x－6=0实数解的个数化成f(x)=lnx和
f(x)= -2x+6图像交点的个数？
思考
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
y=lnx
y= －2x+6
函数零点存在定理的推论：
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
C
D
3
1
0
y
x(共24张PPT)
用二分法求方程的近似解
新课程标准 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路； 逻辑推理
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解； 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性； 数学抽象
受第九号台风“利奇马”影响，八月十日夜间到十一日夜间滕州出现了暴雨并伴有大风天气，造成了荆河中路一段长2千米的电路发生了故障．如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？
生活中的二分法
放在银行门口电动车在早7：00到19:00，12小时内被盗，
正好被监控器拍到。请你化身为小侦探，用最快的方法检索
监控视频，将小偷逃跑时间提供给警察。
看商品，猜价格
游戏规则：
给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中
价格，这件商品就是你的了。
设出现故障线路的起点和终点分别为A、B,
A
B
取中点
这样每查一次,就可以把故障点所在的范围缩减一半
这种解决问题的方法，就是二分法.
知识点1
二分法的概念
对于在区间[a，b]上____________且_____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
连续不断
f(a)·f(b)<0
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
思考1：
不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
例1.图象如下的函数能用二分法求零点近似值的是( )
D
B
A
C
问题:你会解下列方程吗
2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0
lnx+2x-6=0，我们不会解这个方程，怎么办？我们会什么？
把方程lnx+2x-6=0等价变形为lnx= -2x+6
在同一直角坐标系内做函数y=lnx和y=-2x+6的图象.
y=lnx
y=-2x+6
观察图象可知，y=lnx和y=-2x+6的图象交点的横坐标x0∈(2,3). 而x0就是方程lnx+2x-6=0的实数根，进而就是函数f(x)=lnx+2x-6的零点
你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗
计算，f(2)=ln2+2×2-6= ln2-2= ln2- lne <0, f(3)=ln3+2×3-6ln3>ln1=0所以， f(2)·f(3)<0，根据函数零点存在性定理，x0∈(2,3)是正确的.
这只是确定了函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的
实数根的范围，这个x0的值究竟是多少呢？
可以转化为函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内零点的近似值。
在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何
缩小零点所在的范围，或是如何得到一个更小的区间，使得零点
还在里面，从而得到零点的近似值
思考：如何缩小零点所在的区间？
对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点 c ,计算f(c),如果f(c)=0，那么 c 就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2,3)
2.5
∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5,3)
2.75
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5,2.75)
2.5
2.5
2.75
2.625
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5,2.625)
2.5
2.625
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5,2.5625)
……
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2. 625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125,2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125,2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125,2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程
lnx+2x-6=0的近似解.
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，
所以区间(2.531 25, 2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，
二分法求函数y=f(x)零点的步骤：
知识点2
(1) 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a,b)的中点c；
(3) 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b))；
(4) 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，
否则重复(2) (3) (4) ；
例1. 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解
（精确度为0.1）
解：原方程即2x+3x-7=0 ，令f(x) =2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0.
取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，因为f(1)·f(1.5)<0，
所以x0 ∈（1，1.5），取区间（1，1.5）的中点x2=1.25 ,
f(1.25)≈-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，
x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5），
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
判断方程lg x=3-x解的个数，并说明理由，若有解，用二分法求其近似解.（精确度0.1）.
解：画出g(x)=lgx及h(x)=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内.
y
1
3
3
x
o
设 f(x)=lgx+x-3，因为f(x)在定义域内为增函数且f(2)<0,f(3)>0，所以f(x)在（2,3）有唯一零点，方程lg x=3-x有唯一解
列出下表：
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
（2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
（2.562 5，2.625）
f(2)<0，f(3)>0
f(2.5)<0，f(3)>0
f(2.5)<0，f(2.75)>0
f(2.5)<0，f(2.625)>0
f(2.562 5)<0，
f(2.625)>0
2.5
2.75
2.625
2.562 5
f(2.5)<0
f(2.75)>0
f(2.625)>0
f(2.562 5)<0
因为|2.625-2.562 5|=0.062 5<0.1，所以可以将x=2.625作为原方程的一个近似解.
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为 ( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
精确到0.1所取的近似值都是0.7
已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点
的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝ ×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间
(0.68，0.72)上
1
2
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0，0.5)
f(0.25)
4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
a2＝4b
5．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
5
6.方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________.
[解析] 解法一：∵f(x)＝3x＋m单调递增，∴只要满足
( )
0(0,3)
解法二：由3x＋m＝0得m＝－3x，∵x∈(－1,0)，∴－3x∈(0,3)，
二分法思想的实际应用
问题：现有12个小球，体积均匀外表一致，但是其中有一个小球却比别的球重。如果给你一天平，最少要称几次才可以找出这个比较重的球？
第一次，两端各放6个小球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放3个小球，低的那一端一定
有重球；
第三次，两端各放1个小球，
如果平衡，剩下的就是重球；
如果不平衡，则低的那一端
就是重球。
某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1 000元，选手开始报价1 000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，
[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750元，低了；
就再取[750,1 000]的中点875，高了；就取[750,875]
的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：
750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格
证明方程6－3x＝2x在(1,2)内有惟一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)．
设f(x)＝6－3x－2x，
∵f(1)＝6－3－2＝1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，
∴f(1)·f(2)<0又f(x)在定义域内是减函数，
故方程在(1,2)内有惟一的解．
中点的值 中点函数值的符号 取区间
＝1.5 f(1.5)＜0 (1,1.5)
＝1.25 f(1.25)＜0 (1,1.25)
＝1.125 f(1.125)>0 (1.125,1.25)
＝1．187 5 f(1.187 5)＞0 (1.187 5,1.25)
＝1．218 75 f(1.218 75)＞0 (1.218 75,1.25)
＝1．234 375 f(1.234 375)＜0 (1.218 75，1．234 375)(共16张PPT)
函数的零点与方程的解
第二课时
题型一
求函数的零点或判断零个数
[例1] 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x； (2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
[解](1)令(lg x)2－lg x＝0，
则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1
或x＝10，因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝
(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)有3个零点，分别为－1,1,2.
解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0；
函数f(x)的零点为0.
解析：∵函数y＝f(x)－m有两个不同的零点a，b，∴a≠b且f(a)＝f(b)，
x
y
o
1
y＝m
a
b
∵f(x)＝|log3x|，∴log3a＋log3b＝0，即log3a＋log3b＝log3(ab)＝0，∴ab＝1
(5)．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
x
y
o
(6)．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
2a＋b=0, b=-2a, -2ax2-ax=0, x=0,x=
1
2
题型二
判断函数零点所在区间
解析： ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
∵：f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．
若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
因为a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
题型三
二次函数零点的分布
二次函数零点的分布，一般有两种题型：
(1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面考虑：
①对应一元二次方程根的判别式；
②区间端点函数值的正负；
(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负．
x
y
o
1
2
3
-1
-2
x
y
o
1
(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)＝5－2a＜0
(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在性定理，
x
y
o
1
2
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1．已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－3,0) B．(－3，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0,3)
证明：由Δ＝69＞0，得方程共有两个不等实根，
设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，
f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.
∵f(－1)·f(0)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝－15＜0，
且f(x)＝5x2－7x－1的图象在R上是连续不断的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．
已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
(1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝－1或m＝4.
题型四
已知零点所在区间求参数
1．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
∴f(x)仅在(2,3)内有零点，∴k＝2.
2.若函数f(x)＝x－( )x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，则实数a的取值范围是________．
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易知函数f(x)在定义域上单调递增，∵函数f(x)＝x－( )x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，∴f(1)＝ ＋a＜0，∴a＜－
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解：当a＝0时，f(x)＝1不满足题意．
当a≠0时，若函数f(x)＝3ax＋1－2a在[－1,1]内存在一个零点，
4．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求a的值．
解：当a＝0时，y＝－x－1＝0 x＝－1，符合题意；
