(共16张PPT)
弧度制
新课程标准 核心素养
1.掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数． 数学运算
2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用． 数学运算
3.根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性． 逻辑推理
引入
中国：
一般的民航飞机的飞行高度为8000～10000米。
国际：
飞机正常飞行高度在26000英尺至33000英尺之间。
度量高度可以用米、厘米、英尺、等不同的单位度量;度量重量可以用千克、磅等不同的单位度量;不同的单位制能给解决问题带来方便。
角的度量是否也能用不同的单位制呢？
1.角的度量与角度制：
从开始学习角，我们对角的大小的度量就一直是以度作为单位的，
这种度量角大小的方法，称为角度制。
用来度量角的单位都是“ ”(度)，它的度量依据是，把一个圆周
等分成360份，每一份所对的圆心角的大小称为1度(1 )
角度制有它的弱点，比如，它的进位制是60进位制的，1 =60’，
1’=60”。在实数范围内研究时不太方便
有没有其它度量角大小的更好的方法呢？
2.角的度量与弧度制：
在半径不同的两个同心圆中，比较120 的圆心角所对的弧长的关系.
120
A
B
A'
B'
两个同心圆的圆心记作o，120 的圆心角 所对的两段弧为 ， .
半径大，弧长大；半径小，弧长小.
AB
A'B'
这两个等式的右边不包含半径，表示弧长与半径的比值不依赖于半径，这个比值是一个常数，
且只与圆心角有关.
同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.
这个常数为圆心角的弧度数.这个比值随α的确定而唯一确定．
因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．
当弧长与半径相等时比值为1，此时的圆心角叫做“1弧度的角”，记作:“1rad”
这种以弧度为单位度量角的制度，称作“弧度制”。
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad，那么有：
α
l
r
=
用弧度制表示的角是一个实数（比值），按旋转的方向分为
正、负、零，即：正角是一个正数、负角是一个负数、零角是零。
请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一
个与半径大小无关的定值，等等
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的 ；
3.弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°，于是360°＝2π rad，即
π=180°，
1rad= ≈57.3°
1°＝
(2)常用特殊角的弧度数
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 ____ ____ ____ ____ ____ ____ π ____ ____
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
5π
6
3π
4
3π
2
2π
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起____________关系：每一个角都有唯一的一个________(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应
一一对应
实数
角
例1.把下列角度化成弧度：
（1）22°30′； （2）－210°； （3）1 200°
－210°=－210°× =－
π
180
7π
6
1 200°=1 200°× =
π
180
20π
3
π
180
45°
2
×
=
π
8
把下列弧度化成角度：
(1) ； (2) ； (3) ．
(1)
π
12
× =15°
180°
π
(2)－ × =－240°
4π
3
180°
π
(3) × =54°
3π
10
180°
π
用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
x
y
o
x
y
o
60°
225°
30°
210°
写出与 终边相同的角的集合.
π
4
{β｜β＝45°＋k·360°，k∈Z}
{β｜β＝ ＋2kπ，k∈Z}
π
4
首尾呼应
4.弧度制下的扇形的弧长与面积公式
l= r
α
l=
nπr
180
圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，
S=
nπr2
360
将n°转换为弧度，
得 ，
S= rl
1
2
S= αr2
1
2
例2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，
2．如果α＝－2，则α的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
－1 125°=－1 440°+315°=－8π+
7π
4
α＝ ＋2kπ，k∈Z
π
3
α
3
＝ ＋ ，k∈Z
π
9
2kπ
3
α
3
0≤ <2π ,
π
9
2kπ
3
＋
0≤ <2π ,
o
5.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，
那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( )
360(π－1)
π
扇形面积是(π－1)R2.(共24张PPT)
任意角
新课程标准 核心素养
1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念； 数学抽象
2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角； 直观想象
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题； 数学运算
4.能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础． 逻辑推理
情境导入
体操是力与美的结合，也充满了角的概念.
“前空翻转体540度”
“后空翻转体720度”
2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”获得“李小鹏跳”命名.
体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？
再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～360°范围内的角.
任意角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0 , 360 )，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
顶点
边
边
1.角的概念的推广
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080 ；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0 , 360 ) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
顶点
始边
终边
A
B
“正角”与“负角”、“0 角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
2.角的分类
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0 ）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
角的概念推广以后，包括任意大小的正角、负角和零角，统称为任意角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ，角度的绝对值可大于360 .于是就会出现720 ， － 540 等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角，
300 、 60 是第Ⅳ象限角，
585 、1300 是第Ⅲ象限角，
135 、 2000 是第Ⅱ象限角等
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
始边
终边
A
B
o
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称
这个角为轴线角.
下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
-50°
405°
210°
-200°
第四象限角
第一象限角
第三象限角
第二象限角
轴线角
思考：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
4.终边相同的角
-32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
x
y
328°
-392°
-32°
所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
这些角的终边相同，有无数个；相差360°的整数倍
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
{β｜β＝-32°＋k·360°，k∈Z}
注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360 与 之间是“+”号，如k·360 －30 ,应看成k·360 +(－30 )；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍.
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
例1. 在0 到360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120 ；(2) 640 ；(3) －950 12′.
解：⑴∵－120 =－360 +240 ，∴240 的角与－120 的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640 =360 +280 ，∴280 的角与640 的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950 12’=－3×360 +129 48’，∴129 48’的角与－950 12’的角终边相同，它是第二象限角．
各象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
轴线角：
1.锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
2.第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一
定是钝角吗？
【解】第一象限角不一定是锐角，如390°；
轴线角不一定是直角，如180°；
第二象限角不一定是钝角，如-210°.
3.分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
x
y
o
75°
30°
①
②
【解】①在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是30°≤α<105°，所以在坐标系中角α的范围是
{α|k·360°+30°≤α②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是210°≤α<285°，所以在坐标系中角α的范围是
{α|k·360°+210°≤α4.若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z
所以2k·360°+180° ＜ 2α ＜ 2k·360°+360°,k∈Z
x
y
o
如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.
5.若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
α
2
x
y
o
①
②
③
④
①
②
③
④
也可以运用图示的高阶方法，从
x轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标上①②③④，则标②的就是 所在的区域.
α
2
5.若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
α
3
x
y
o
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
这次我们直接运用图示的高阶方法，从x轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上①②③④，则标③的就是 所在的区域.
α
3
6.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式
-360°≤β＜720°的元素 写出来
{β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}
－315°,-135，45°, 225，
405°，585°.
终边落在一条直线上 k·180°+α
7．若角2α与240°角的终边相同，则α＝ ( )
A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
8.若角满足下列条件，求它们的关系式？
(1).终边关于x轴对称；
(2).终边关于y轴对称；
(3).终边互为反向延长线.
x
y
o
α
β
α+β=k·360°
x
y
o
α
β
α+β=(2k+1)·180°
x
y
o
α
β
β- α =(2k+1)·180°
