(共24张PPT)
三角函数的概念
新课程标准 核心素养
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 数学建模
2.理解三角函数的概念． 数学抽象
3.熟练掌握三角函数值在各象限的符号． 直观想象
4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． 数学运算
O
x
y
r=1
P
风景区内有半径r=1的水车，为了让水车更加美观，需要进行装饰，遇到了这样一个问题：点p与o点在同一水平位置，随着水车逆时针旋转角α＝ ，点到中心水平线的高度h为多少？
π
6
P
α＝ 、 、任意角？
3π
4
7π
6
1.初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？
α
O
M
P
a
b
c
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
x
y
O
a
b
M
P
﹒
﹒
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
x
y
M
∽
为了使sinα ，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？
y
x
o
P
M
作单位圆与角的终边相交于P(a,b)
以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆
如果α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），sinα，cosα，tanα对应的值怎样？
y
x
o
三角函数的定义
对应关系 ， ，
都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数.
注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。
说 明
(1).正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点的横坐标，
正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(2).正弦、余弦总有意义.当 的终边在 轴上时，点P 的横坐标等
于0， 无意义，此时
(3).由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
x
y
o
的终边
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离 .
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正弦，即
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
﹒
﹒
解：在直角坐标系中，作
，易知
的终边与单位圆的交点坐标为
所以
例2.已知角 的终边经过点 ，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得
P0
P
M
M0
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
1
0
0
0
0
-1
-1
1
0
0
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( )
A.sin α=0 B.sin α=1
C.sin α=-1 D.sin α=±1
D
2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是( )
600o的终边落在第三象限，∴a<0，
60°
3.已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．
x =2a, y = -3a
r= = =
x2+y2
(2a)2+(-3a)2
a
13
当a<0时，sinα= ,cosα=- , tanα=-
3
13
13
3
2
2
13
13
当a>0时，sinα=- ,cosα= tanα=-
3
13
13
2
13
13
3
2
4.已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、c osα、tanα的值．
[解析] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，
( )
( )
三角函数在各象限内的符号：
y
x
o
y
x
o
y
x
o
+
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”
例3 确定下列三角函数值的符号：
(1) (2) (3)
(1)因为250°是第三象限角，所以cosα<0；
解：
(2)∵－672 =－2×360 +48 ，∴tan(－672 )>0.
π
4
(3)因为－ 是第四象限角，所以
π
4
sin(－ )<0
诱导公式
探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
终边相同
点的坐标相同
三角函数值相同
终边相同的角的三角函数关系
终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：
（其中 ）
利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2π （或0°～360°)范围内的三角函数值.
(1) cos390°=cos(360°+30°)=cos30°=
3
2
(2)
7π
4
sin(－ )=sin(－2π+ )=sin =
π
4
π
4
2
2
(3)tan(－675°)=tan(－2×360°+45°)=tan45°=1
(4)tan3π=tan(2π+π)=tanπ=0
C
2.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2)，且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是____________
(-2,3]
3a-9≤0
a+2>0
归纳 总结
1. 内容总结：
①三角函数的概念.
②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.
③诱导公式一.
2 .方法总结：
运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想：
划归的思想，数形结合的思想.(共21张PPT)
同角三角函数的基本关系
新课程标准 核心素养
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 数学抽象
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 数学运算、逻辑推理
3.通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习，让学生学会用联系的观点，化归与转化的思想，数形结合的思想分析解决问题，培养探究精神和创新意识. 逻辑推理
复习引入
x
y
P(x,y)
o
【探究问题】
1.由x2＋y2＝r2,你能得到什么关系？
x=rcosα, y=rsinα, sin2α+cos2α=1
2.由以上定义，你能得到sinα、cosα、tanα之间的关系吗？
cosα
sinα
=tanα
同角三角函数的基本关系
平方关系
商数关系
变形
变形
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
补充：
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230 +cos260 ≠1.
2.同角不要拘泥于形式α， ，6α等等都可以.
3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ + ，k∈Z.
题型一
利用同角基本关系式求值
α
4k
5k
3k
在知道符号的情况下
已知 ，且α是第三象限角，求sin α ，cos α的值.
cosα
sinα
=tanα=
解：由 ，得sinα= cos α， ①
3
4
3
4
sin2α+cos2α=1 ②
由①②得 cos2α+cos2α=1，即cos2α=
9
16
9
25
又α是第三象限角，所以cos α=－ ，sinα=－
3
5
4
5
例2.(1)若sinα=- ，求cos α，tan α的值；
(2)已知cos α＝－ ，求sin α，tan α的值．
3
5
8
17
3
4
3
4
题型二
化简求值
例3.(1)化简：
(2)若角α是第二象限角，化简：
解析：(1)原式＝
y
x
o
M
P
因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
( )
(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.
(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的
(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
？
试一试
化简：
(1)原式＝
(2)原式＝
齐次式
题型三
三角函数式的证明
题型四
“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系
tanα=
2
3
1-2sinαcosα-3cos2α=
1-2sinαcosα-3cos2α
sin2α+cos2α
sin2α-2sinαcosα-2cos2α
sin2α+cos2α
=
tan2α-2tanα-2
tan2α+1
=
sinα
1+cosα
(1-cosα)
平方可得
平方得3cos2x-4sinxcosx=4
3cos2x-4sinαcosx=4
sin2x+cos2x
=4
3-4tanx
tan2x+1
=4
