(共20张PPT)
诱导公式(二)
探究点一 诱导公式五
思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有
A
B
C
α
π
2
－α
a
b
c
π
2
－α
π
2
－α
根据上述结论，你有什么猜想？
π
2
－α
( )=cosα
sinα
π
2
－α
( )=sinα
cosα
如图，点P1关于直线y＝x的对称点P5，以OP5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
y
x
o
P1
P5
α
y=x
M
公式五
π
2
－α
( )=cosα
sinα
π
2
－α
( )=sinα
cosα
探究点一 诱导公式六
如图，点P1关于直线y＝x的对称点P5，再作P5关于y轴的对称点P6，又能得到什么结论？以OP6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？
y
x
o
y=x
P1
P5
α
P6
公式六
π
2
+α
( )=cosα
sinα
π
2
+α
( )= -sinα
cosα
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．可以在变成锐角的过程中发生作用．
思考2 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？
（2）
例1 化简： ．
解：原式
解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．
于是sin γ＝sin（90°－β）＝cos β．
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°．
由sin β＝ ＞0，得143°＜β＜ 180°．
1
5
例2 已知sin（53°－α）＝ ，且－270°＜α＜－90°，求
sin（37°＋α）的值．
于是sin γ＝sin（90°－β）＝cos β=－
6
5
2
已知 ，求 的值.
题型一
利用诱导公式进行化简、求值
题型二
三角恒等式的证明
[证明]左边＝
题型三
诱导公式与函数结合的运用
( )
3．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…sin289°＝____________.(共16张PPT)
诱导公式(一)
新课程标准 核心素养
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程 数学抽象
2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明． 数学运算
3.通过积极参与，逐步培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力． 逻辑推理
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是本节学习的内容.
探究点一 诱导公式二
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 角π＋α的终边与单位
圆的交点P2的坐标如何？
y
x
o
α
π+α
P1
P2
答 角π＋α与角α的终边关于原点O对称；P2(－x，－y)
思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)
的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，π＋α的三角
函数与α的三角函数有什么关系？
sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
思考3 公式二有何作用？
答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：
探究点二 诱导公式三
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？
y
x
o
α
-α
答 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称；
角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).
思考3 诱导公式三有何作用？
答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.
探究点三 诱导公式四
思考1 利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？
由诱导公式二和诱导公式三可得：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α，
cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α.
tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tan α.
sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
思考2 诱导公式四有何作用？
答 将第二象限角的三角函数
转化为第一象限角的三角函数.
思考3 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！
例1 利用公式求下列三角函数的值：
(1)cos 225°；
解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)
4π-
π
3
(4)cos(－2 040°).
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函数的步骤吗？
任意负角的
三角函数
用公式三或一
任意正角的
三角函数
用公式一
的角的三角函数
用公式二或四
锐角的三角函数
解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]
＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]
＝cos(180°＋α)＝－cos α，
当堂测·查疑缺
1.求下列三角函数的值.
(1)sin 690°；
(3)tan(－1 845°).
解 tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)
＝－tan 45°＝－1.
