(共20张PPT)
正切函数的性质与图象
新课程标准 核心素养
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．
数学抽象
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 逻辑推理
3.通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生的探索精神和创新思维． 逻辑推理
复习：
1、正切函数是如何定义的？
P(x,y)
M
O
由诱导公式
∴正切函数是周期函数，周期为 最小正周期为
A
T
画一个周期内正切函数图像
1、选择一个周期
把单位圆右半圆分成8等份。
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A
T
根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右平移，（每次平移 个单位长度)
·
·
·
正切曲线被无穷多支相互平行的直线
隔开的,无穷多支形状相同曲线组成的
渐近线
渐近线
正切函数y=tanx的性质
⑴ 定义域：
}
,
2
|
{
Z
k
k
x
x
+
p
p
⑵ 值域：
R
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：
奇函数
图象关于原点对称
(5) 对称性：
对称中心：
无对称轴
(6)单调性：
在每一个开区间
上是增函数
x
y
P(x,y) ·
P′ (-x,-y ) ·
0
,又y＝tan x的周期为π，
(- , )
在 内，满足上述不等式的x的取值范围是
π
2
π
2
[- , )
π
4
π
4
所以所求x的范围是 (k∈Z).
[kπ - ,kπ + )
π
4
π
4
注意正切函数自身的限制条件
题型一
正切函数的定义域、值域问题
跟踪训练1 求下列函数的定义域：
题型二
正切函数的单调性及应用
y =3tan( -2x)
π
4
=-3tan(2x- )
π
4
递减区间为
( )
(k∈Z)
题型三
正切函数的周期性及奇偶性
∴f(2019)＝g(2019)+2018＝－1，∴f(－2019)＝g(－2019)+2018.
∴f(－2019)＝4037.
[跟踪训练]
数形结合思想—利用图象解三角不等式
观察正切曲线，解不等式tanx>1.
x
y
O
作直线y＝1，
则tanx>1的解集是
(kπ+ ,kπ + )
π
4
π
2
A错，因为正切函数的对称中心为( ,0)，
kπ
2
B对，因为正切函数的最小正周期为π；
C对，因为x∈[0, )时，y=2tanx≥0；
π
2
2x+ ≠
π
4
kπ+
π
2
x ≠ +
π
8
kπ
2
2x+θ =
kπ
2
θ = -
kπ
2
2π
3
- <θ<
π
2
π
2
- 或
π
3
π
6
T= =3
π
π
3
3(共15张PPT)
正弦函数、余弦函数的图像
新课程标准 核心素养
1.了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法． 数学抽象
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线． 直观想象
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 逻辑推理
4．通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神． 逻辑推理
一、了解相关概念
我们知道，实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦值）。这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx（或cosx）与之对应。有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R
1.正弦函数和余弦函数
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x±2π) =sin x，cos(x±2π) =cos x来表示.这说明，自变量每增加（减少）2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
2.如何作出函数y =sin x，x∈[0,2π]的图象
x
y
0
-1
1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1、把x轴上0—2π的线段12等份，得到12个点的横坐标.
2、它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，在按上述画出点.
3、用光滑的曲线将点连接起来。
如何由 y=sinx x [0,2 ]的图象得到y=sinx x R的图象
y=sinx x [0,2 ]
sin(x+2k )=sinx, k Z
y=sinx x R
y
x
o
正弦函数y=sinx, x R的图象叫正弦曲线是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
二、正弦函数y=sinx（x R)的图象
三、余弦函数y=cosx的图象
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到．
x
y
1
-1
余弦曲线
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
观察正弦函数与余弦函数图象，它们之间有什么关系？
形状完全一致 只是位置不同
y=cosx
y=sinx
思考：观察函数y=sinx,x [0,2 ]的图象，哪些点起关键作用？
0
x
y
●
●
●
●
●
关键五个点
图象的最高点:
图象的最低点:
图象与x轴的交点:
五点作图法的步骤
1.列表(列出起关键作用的五个点的坐标)
x
sinx
0
0 1 0 -1 0
2.描点(在坐标系中描出五个关键点)
3.连线(用光滑的曲线从左到右顺次连接五个点)
余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( , 1)
用“五点法” 画出下列函数的简图：
按五个关键点列表求值
x 0 2
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
o
1
y
x
-1
2
(1) y=sinx+1,x [0,2 ]
(2) y=-cosx, x [0,2 ]
1
-1
1
-1
1
-1
x
1
-1
y
O
2、直线 y = 与函数y=sinx, x [0,2 ]的交点坐标————
1
2
o
1
y
x
-1
sinx≥ , x [0,2 ]的解集是————
1
2
( ， )
π
6
5π
6
3、右图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
o
y
x
1.偶函数；2.图像上下都有；
3.x [0, ]，图像在下方
解三角不等式（数形结合）
sinx≥-
1
2
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
{x|- +2k ≤ x ≤ +2k , k Z}
π
6
7π
6(共22张PPT)
正弦函数、余弦函数的性质（一）
新课程标准 核心素养
1.了解周期函数的概念、正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期. 数学抽象
数学运算
2.了解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性. 直观想象
逻辑推理
3.了解正弦函数与余弦函数的单调性，并会利用函数单调性求函数的最值和值域. 数学抽象数学运算
一、值域和最大(小)值
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=sinx
正弦函数 y=sinx 定义域：R 值域：[-1，1]
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=cosx
余弦函数 y=cosx 定义域：R 值域：[-1，1]
令3x+ =
π
3
2kπ+
π
2
x= + (k∈Z )时，ymax=2
2kπ
3
π
18
令3x+ =
π
3
2kπ -
π
2
x= - (k∈Z )时，ymin=-2
2kπ
3
5π
18
令2x+ =2kπ
π
6
x= kπ- (k∈Z )时，ymin=-2
π
12
x=kπ + (k∈Z )时，ymax=4
5π
12
二.周期函数的概念
由正、余弦函数的图象可知, 正、余弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？
sin(x+2kπ)=sinx cos(x+2kπ)=cosx
若f(x)=sinx，则 f(x+2kπ)=f(x)
当任意自变量x的值增加2kπ(k∈Z)时，函数值会重复出现.函数的这种特性叫做周期性。
正弦函数f(x)=sinx、余弦函数f(x)=cosx都是周期函数.
周期函数的定义:
对于函数f(x)，如果存在一个_____ __ T，使得当x取定义域内的
___ ___ 值时，都有___ _______ 那么函数f(x)就叫做周期函数，
非零常数T就叫做这个函数的周期.
非零常数
每一个
f(x+T)=f(x)
最小正周期的定义： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
说明
1.周期T应该是非零常数.可以是正数,也可以是负数.
2.周期函数f(x+T)=f(x)对定义域中每个x值都恒成立.
3.对于f(x+T)=f(x)，自变量本身加的常数才是周期.
4.周期函数的周期不止一个. (若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)都是f(x)的周期)
问题1:等式sin(300+1200)=sin300成立，能否说明1200是正弦函数y=sinx, x∈R的一个周期？为什么？
不能!因为sin(x+1200)=sinx并不对任意x∈R都成立。
问题2：判断下列说法是否正确？
①如果f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)，那么2kπ是函数f(x)的周期( )
②函数f(x)=sinx（x∈[0,4π]）是周期函数 （ ）
③所有周期函数都有最小正周期 ( )
╳
╳
╳
任意性
非零性
多值性
例1. 求下列函数的周期：
⑴y=3cosx,x∈R; ⑵y=sin2x,x∈R;
∵ 3cos(x+2π)= 3cosx , ∴周期为2π.
∵sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, ∴函数的周期为π.
解 ：（3）令 ，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期为2π
于是 ，
所以 ，x∈R．
原函数的周期为4π
一般地，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ), x∈R(A≠ 0，ω> 0)的(最小正)周期是多少
T= =4π
2π
1
2
o
y
x
T=
π
2
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有
f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.
例2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
①求函数的最小正周期；
②计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
[解] ①∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)的最小正周期为4.
②f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，
f(2016)=f(0)＝0,f(2 017)=f(1)＝1,∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)=1
f( )=f( +3)=-1
5
2
1
2
利用周期将所求的往已知区间转化
三.正弦函数、余弦函数的奇偶性
y=sinx，x∈R，定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)
正弦函数y=sinx是奇函数
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
正弦曲线关于原点O对称
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=cosx，x∈R，定义域关于原点对称，f(-x)= f(x)
余弦函数y=cosx是偶函数
余弦曲线关于y轴对称
判断下列函数的奇偶性
(1)已知x∈R ,所以定义域关于原点对称
f(-x)=-sin(-3x)=sin3x=-f(x),为奇函数
(2)已知x∈R ,所以定义域关于原点对称
f(-x)=sin(-x)+1=-sinx+1，非奇非偶
(3)已知x∈R ,所以定义域关于原点对称
f(-x)= =
cos(-x)
cosx
偶函数
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x(共20张PPT)
正弦函数、余弦函数的性质（二）
一、正弦函数的单调性
结论：
正弦函数在每个闭区间
都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间
上都是
减函数，其值从1减小到－1。
二、余弦函数的单调性
结论：
在每个闭区间
都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间
上都是减函数，
其值从1减小到－1。
正弦函数基本单调增区间
[- ， ]
π
2
π
2
正弦函数基本单调减区间
[ ， ]
π
2
3π
2
余弦函数基本单调减区间
[0，π ]
余弦函数基本单调增区间
[-π，0 ]
基本单调区间+2kπ
例1 比较下列各组数的大小:
sin(- )>sin(- )
π
18
π
10
cos(- )=
23π
5
cos( )=
23π
5
cos
3π
5
cos(- )=
17π
4
cos( )=
17π
4
cos
π
4
∵ 0 < < < π
π
4
3π
5
cos
π
4
cos
3π
5
>
cos(- )
17π
4
cos(- )
23π
5
>
(1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°，
sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，
又函数y＝sin x在[－90°，90°]上是增函数，
∴sin 40°＞sin(－20°)，即sin(－320°)＞sin 700°.
cos =
17π
8
cos
π
8
cos =
37π
9
cos
π
9
∴当原函数单调递减时，可得
函数y＝ (cos 2x)的单调递增区间．
log
1
2
由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减．
o
x
y
求函数y＝ (cos 2x)的单调递增区间．
log
1
2
(kπ, kπ+ ) (k∈Z )
π
4
求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，要注意a的正负
可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
因为－1≤sinx≤1，所以
求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
由x的范围，求出整体角的范围
三、正弦、余弦函数的对称性
正弦函数的对称性
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
与x轴交点
过最高(低)点
余弦函数的对称性
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期
例5：求函数 的对称轴和对称中心
解:(1)令 ,则 y = sin( )=sinz
z =2x+
π
3
2x+
π
3
y=sinz对称轴z= (k∈Z )
kπ+
π
2
2x+ =
π
3
kπ+
π
2
对称轴 x= + (k∈Z )
kπ
2
π
12
y=sinz对称(kπ,0)k∈Z,
2x+ =kπ,
π
3
x= - (k∈Z ),对称中心( - ,0)(k∈Z )
kπ
2
π
6
kπ
2
π
6
+φ=
2π
3
kπ+
π
2
φ=kπ- (k∈Z )
π
6
+φ=
π
4
kπ+
π
2
φ=kπ + (k∈Z )
π
4
ω=2,
2x+ =kπ
π
3
2× +φ = (k∈Z )
π
6
2kπ+
π
2
归纳：三角函数中心对称与轴对称问题：
