(共23张PPT)
两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
＝sin（72°－42°）＝sin 30°＝ ；
（2） cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝ ．
（4） ．
tanα+tanβ=-3
3
tanαtanβ=4
tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
求值：
（1） （2） .
sin(15°－8°)+sin8°cos15°
cos(15°－8°)－sin15°sin8°
=tan15°
=2-
3
2cos(30°－20°)-sin20°
cos20°
=
3
2、化简
（1）
（2）
解：原式=sin30°cosα-cos30°sinα
=sin(30°－α)
原式=cos60°cosα-sin60°sinα
=cos(60°+α)
原式= (sin30°cosα-cos30°sinα)
= sin(30°－α)
2
2
2
2
化 asinx+bcosx 为一个角的三角函数形式
辅助角公式（多能公式）
把下列各式化为一个角的三角函数形式
2. sin 15°＋sin 75°的值是______.
两角和与差的正弦、余弦与正切公式(三)
复习回顾
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
tan(α-β)=
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
探究新知 1.二倍角公式
在和角公式中，将式子里β替换为α，有什么发现？
sin(α+ )=sinαcos +cosαsin
β
β
β
α
α
α
sin2α=2sinαcosα
cos(α+ )=cosαcos -sinαsin
β
β
β
α
α
α
cos2α=cos2α-sin2α
tan2α=
2tanα
1-tan2α
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
二倍角的正切公式
2α是α的二倍角，α是 的二倍角，4α是2α的二倍角，二倍角是相对的
α
2
2.与二倍角有关的公式变形
sinαcosα= sin2α
1
2
遇到sinα，cosα相乘，想到正弦的二倍角
cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1
cos2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α
1±sin2α=sin2α+cos2α±sin2α=(sinα±cosα)2
1+cos2α=2cos2α
cos2α=
1+cos2α
2
sin2α=
1-cos2α
2
sin2α=
2tanα
1+tan2α
例1（1）已知sin 2α＝ ， ，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
解：（1）由 ，得 ．
又 ，所以 ．
于是 ；
（2）已知锐角 满足 ，求 的值．
（3）在△ABC中，cos A＝ ，tan B＝2，求tan（2A＋2B）的值．
例2 证明：
(1)
证明：(1)左边=
= =tanθ
1+2sinθcosθ-(1-2sin2θ)
1+2sinθcosθ+2cos2θ-1
2sinθ(sinθ+cosθ)
2cosθ(sinθ+cosθ)
(2)
证明：（2）左侧=3+2cos22α-1-4cos2α
=2(cos22α-2cos2α+1)
=2(cos2α-1)2
=2(-2sin2α)2=8sin4α=右边
2.求下列各式的值：
（1）sin 15°cos 15°； （2） ；
（3） ； （4）2cos2 22.5°－1．
1
4
(1).原式= sin30°=
1
2
(2).原式=cos =
π
4
2
2
(3).原式= tan45°=
1
2
1
2
(4).原式= cos45°=
2
2
1+cos22+sin22-sin22+cos4=1+cos22+cos4=3cos22(共17张PPT)
两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)
新课程标准 核心素养
1.能从教材探究思考中找出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式． 逻辑推理
2.准确应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式进行三角变换． 数学运算
3.能用公式求值，求角，化简． 数学运算
4．能用公式证明三角恒等式． 逻辑推理
问题1：利用诱导公式求cos120
cos120 =cos(180 -60 )=-cos60 =-
1
2
cos120 =cos(90 +30 )=-sin30 =-
1
2
问题2：如何求cos15 ？
cos15 =cos(45 -30 )=
cos15 =cos(60 -45 )=
cos(α-β)=
x
y
o
15°
30°
1
P
cos30°
M
A
B
sin30°
？
45°
C
=
+
α 、β为任意角，上述公式还成立吗？
y
x
o
A
在单位圆中作出角α、β
它们的终边与单位圆分别交于点
A、B，你能写出A、B两点的坐标吗？
B
A (cosα, sinα)
B(cosβ ,sinβ)
α
β
图中哪个角可以表示α－β
y
x
o
A′
B′
A′(cos(α-β),sin(α-β))
B′(1,0)
′
AB
A′B′
=
上述公式称为差角的余弦公式，简记作
注意：
(1)公式中的 是任意角;
(2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，
右边是“这两角余弦积与正弦积的和”；
(3)公式两边符号相反。
例1：利用两角差的余弦公式求：cos15
解法1：
cos15 =cos(45 -30 )=cos45 cos30 +sin45 sin30
= × + × =
2
2
3
2
2
2
1
2
6 +
4
2
cos15 =cos(60 -45 )=cos60 cos45 +sin60 sin45 =
6 +
4
2
解法2：
例2、利用公式 证明：
cos( -α )=cos cosα+sin sinα
= 0+sinα=sinα
π
2
π
2
π
2
cos(π -α )=cosπcosα+sinπsinα=-cosα
例2.
∵
∵
∴
∴
差角的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
复习回顾
由 公式出发,你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗
将公式C(α－β)中的β替换为－β，可得和角的余弦公式
cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
简记为C(α＋β)
sin(α+β)=cos[ －(α+β)]
π
2
=cos[( －α)－β)]
π
2
=sinαcosβ+cosαsinβ
=cos( －α)cosβ+sin( －α)sinβ
π
2
π
2
(S( + ))
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
将公式S(α+β)中的β替换为－β，可得差角的余弦公式
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ
思考:两角和与差的正切公式是怎样的呢
(T( + ))
(T( - ))
例:已知
是第四象限角，求
的值.
解：因为
是第四象限角，得
于是有：
解：方法一、
方法二、
方法三、
方法四 、
方法五、由题意知
所以，
方法六、由题意知
所以，
