【学案】1.1集合的概念(含答案解析)

一 集合的概念
【教学目的】
理解集合元素，空集的定义；掌握集合元素的特性，集合元素与集合之间的关系及其表示的基本方法，常用数集及其表示的基本方法，列举法和描述法表示集合的基本方法；了解集合的分类和韦恩氏图法表示集合的基本方法。
重点：集合元素，空集的定义，集合元素与集合的关系及其表示方法，常用数集及其表示方法，列举法和描述法表示集合的基本方法。
难点：描述法表示集合的元素和所表示的集合确定的基本方法。
【知识精讲】
（一）、集合的概念：
1、集合的定义：
具有某种特性的所有对象构成的整体叫做集合，简称集。
2、集合的表示：
（1）用一个大写的英文字母表示，例如①A，②B，---------；
(2)用集合的所有元素加上大括号表示，例如①{1，2，3，4}，②{x|xZ，且Z }，-------。
3、常用的数集及其表示：
（1）自然数集，用N表示； （2）正整数集，用或表示；
（3）整数集 ， 用Z表示； （4）有理数集，用Q表示；
（5）实数集， 用R表示。
4、集合的元素：
（1）集合元素的定义：
集合中的每一个个体，叫做集合的元素。
（2）元素与集合的关系：
①元素是集合中的的元素，称为元素属于集合，用符号“”表示，读作“属于”，例如2是自然数，3，是有理数，可以表示为2N，3Q，Q；
②元素不是集合中的的元素，称为元素不属于集合，用符号“”表示，读作不属于，例如-2不是自然数，2.132412576…….不是有理数，可以表示为-2N，2.132412576-------Q。
(3)元素的特性：
元素具有确定性，互异性和无序性三个特性。
5、集合的分类：
（1）空集的定义：没有任何元素的集合，称为空集；
（2）空集的表示：用符号“”表示空集；
（3）空集与数0的关系：①联系：空集与数0都表示没有；②区别：0是一个数，是一个集合；
（4）有限集合的定义：元素的个数是有限个的集合，叫做有限集合；
（5）无限集合的定义：元素个数是无限多的集合，叫做无限集合；
（6）集合按元素的多少可以分为有限集合和无限集合两大类（注意：空集归为有限集合）。
（二）、集合的表示方法：
1、列举法：
（1）列举法的定义：把集合中的元素全部列举出来放在大括号内表示集合的方法，叫做列举法；
（2）列举法表示集合的基本步骤是：①确定集合的所有元素；② 把集合的所有元素全部列举出来，元素之间用逗号分开放在大括号内；
（3）列举法的适用范围是集合元素的个数不是很多的有限集合。
2、描述法：
（1）描述法的定义：把集合中元素共同特性描述出来表示集合的方法，叫做描述法；
（2）描述法表示集合的基本步骤是：①确定集合元素的共同特性；②用一个（或几个）小写字母代表集合的元素，把集合元素的共同特性描述出来，代表元素的字母与集合元素共同特性之间用“|”分开放在大括号内；
（3）描述法的适用范围是所有集合。
（4）对于描述法表示的集合一定要注意弄清楚集合的元素是什么，它表示的是怎样的集合。例如集合｛（x,y）|y=2x+1｝表示的是直线y=2x+1上点集，集合｛x|y=2x+1｝表示的是
函数y=2x+1的定义域，集合｛y|y=2x+1｝表示的是函数y=2x+1的值域。
3、韦恩氏图法：
（1）韦恩氏图法的定义：把集合中的元素列举出来放在封闭的曲线内表示集合方法，叫做韦恩氏图法；
（2）韦恩氏图法表示集合的基本步骤是：①确定集合的所有元素；② 把集合的元素全部列举出来，元素之间用逗号分开放在封闭的曲线内；
（3）韦恩氏图法的适用范围是集合元素的个数不是很多的有限集合。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知集合A=｛a+2，(a+1)，+3a+3｝，若1A，则由实数a构成的集合B的元素个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、给出下列各项式：①R；② Q；③|-3|；④|-|N。其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知集合A={x|xZ，且Z }，则集合A中的元素个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
4、若集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，则a= 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义及元素与集合的关系，掌握集合元素的特性；
（2）元素与集合的关系是：①元素属于集合；②元素不属于集合；注意符号“”或“”的理解与运用；
（3）确定一个集合元素的基本方法是：①明确这个集合中的元素代表什么和元素的限制条件（定性）；②含有字母的集合，求出字母的值后，注意集合元素的互异性（定量）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设A=｛a｝，则下列各式正确的是（ ）
A 0A B aA C aA D a=A
2、已知A={x|x=3k-1，kZ}，则下列表示正确的是（ ）
A -1A B -11A C 3-1A D -34A
3、下列集合中，表示同一集合的是（ ）
A A={(3，2)}，B={(2，3)} B A={3，2}，B={2，3}
C A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1} D A={1，2}，B={(1，2)}
4、（1）设xR，集合A中含有三个元素3，x，-2x，求元素x应满足的条件；
（2）若-2A，求实数x的值。
【典例2】解答下列问题：
1、下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A 著名的中国数学家 B 北京四中2015级新生
C 奇数的全体 D 2012年伦敦奥运会的所有比赛项目
2、由，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是（ ）
A 0 B -1 C 1 D -1或1
3、若集合{a，b，c}中的元素是ABC的三边，则ABC一定不是（ ）
A 锐角三角形 B 等腰三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形
4、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|aP,bQ｝,则集合P+Q中元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
5、已知集合A=｛0，1,2｝,则集合B=｛x-y|xA, yA｝中的元素个数是（ ）
A 1 B 3 C 5 D 9
6、已知集合A=｛1,2,3，4,5｝,B=｛（x，y）|x A,yA,x-yA｝,则B中所含元素的个数为（ ）
A 3 B 6 C 8 D 10
7、已知集合A=｛a-2，2+5a，12｝，且-3A,则a= ；
8、含有三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝.
求：的值。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与集合元素的性质相关的问题，解答这类问题需要理解元素的性质：①
性，② 性，③ 性；
（2）对具体问题应该明确它与集合元素的哪一个或哪几个性质相关，再结合相关性质解答问题；一般情况下一个数学问题可能涉及到集合元素的几个性质，解答时应注意分辨。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知集合A含有两个元素a-3和2a-1，若-3A，则实数a的值为 ；
2、设集合P=｛1,2,3｝,Q=｛0,2,4｝,定义集合P×Q=｛a.b|aP,bQ｝,则集合P×Q中的元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
3、设a，bR，集合{1，a+b，a}，集合 {0，，b}表示同一集合，则b-a= 。
4、有三个元素的集合可以表示为｛,2, ｝,也可以表示为｛a,2,4｝，求实数a的值。
【典例3】解答下列问题：
1、用列举法表示集合{x|-2x+1=0}为（ ）
A {1，1} B {1} C {x=1} D {-2x+1=0}
2、由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（ ）
A {x|-3＜x＜11，xQ} B {x|-3＜x＜11}
C {x|-3＜x＜11，x=2k，kN} D {x|-3＜x＜11，x=2k，kZ}
3、已知集合A={x|N ，xN }，则用列举法表示为 。
4、用恰当的方法表示下列集合：
（1）大于10的所有自然数组成的集合； （2）24与30的所有公约组成的集合；
（3）方程-16=0的实数解的集合； （4）4与6的所有公倍数组成的集合；
（5）不等式4x-3＜5的解集； （6）所有偶数组成的集合；
（7）直线y=3x+2上所有点的集合； （8）方程组 2x+y=0 的解集；
（9）直线2x+y-3=0与直线x-2y-1=0的交点组成的集合。 x-y+3=0
『思考问题3』
（1）【典例3】是与集合表示法相关的问题，解答这类问题需要掌握三种集合表示的基本方法：① 法，② 法，③ 法；
（2）对于具体问题应该明确它涉及到哪一种或哪几种集合表示法，再结合相关集合的表示法解答问题；
（3）对于描述法表示的集合一定要注意弄清楚集合的元素是什么，它表示的是怎样的集合。例如集合｛（x,y）|y=2x+1｝表示的是直线 上的点集，集合｛x|y=2x+1｝表示的是函数 的定义域，集合｛y|y=2x+1｝表示的是函数 的值域。
〔练习3〕解答下列问题：
1、下列命题中：（1）方程+|3y+3|=0的解集是｛,-1｝;(2)方程+x-6=0的解集是｛（-3,2）｝；（3）集合M=｛y|y=+1,x∈R｝与集合P=｛（x,y）|y=+1，x∈R｝表示同一集合；（4）方程组 x-y+3=0 的解集是｛（x,y）|x=1或y=2｝其中正确的命题的个数是
2x+y=0 （ ）
A 0个 B 2个 C 3个 D 4个
2、用恰当的方法表示下列集合：
（1）大于1且小于10的偶数的集合； （2）16的所有约数的集合；
（3）大于3小于11的偶数构成的集合； （4）｛平方等于1的数｝；
（5）15的约数构成的集合； （6）数轴上到原点距离小于1的所有数构成的集合；
（7）正实数构成的集合； （8）设集合A是方程+1=0的实数解构成的集合。
【追踪考试】
1、（已知理）集合A={（x，y）|x，y ，yx},B={(x,y)|x+y=8},则A B中元素的个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 6
（文）已知集合A={1，2，3，5，7，11 },B={x|3A 2 B 3 C 4 D 5
2、已知集合A={-1，0，m}，B={1，2}，若AB={-1，0，1，2}，则实数m的值为（ ）（成都市2020高三一诊 ）
A -1或0 B 0或1 C -1或2 D 1或2
3、已知集合A=｛（x，y）| + ≤3，xZ，yZ｝，则A中元素的个数为（ ）（2018全国高考新课标II卷（理））
A 9 B 8 C 5 D 4
4、（理）已知集合A=｛（x，y）|+=1｝，B=｛（x，y）|y=x｝，则A∩B中元素的个数为（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
（文）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则A∩B中元素的个数为（ ）（2017全国高考新课标III卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
一 集合的概念 答案与解析
【教学目的】
理解集合元素，空集的定义；掌握集合元素的特性，集合元素与集合之间的关系及其表示的基本方法，常用数集及其表示的基本方法，列举法和描述法表示集合的基本方法；了解集合的分类和韦恩氏图法表示集合的基本方法。
重点：集合元素，空集的定义，集合元素与集合的关系及其表示方法，常用数集及其表示方法，列举法和描述法表示集合的基本方法。
难点：描述法表示集合的元素和所表示的集合确定的基本方法。
【知识精讲】
（一）、集合的概念：
1、集合的定义：
具有某种特性的所有对象构成的整体叫做集合，简称集。
2、集合的表示：
（1）用一个大写的英文字母表示，例如①A，②B，---------；
(2)用集合的所有元素加上大括号表示，例如①{1，2，3，4}，②{x|xZ，且Z }，-------。
3、常用的数集及其表示：
（1）自然数集，用N表示； （2）正整数集，用或表示；
（3）整数集 ， 用Z表示； （4）有理数集，用Q表示；
（5）实数集， 用R表示。
4、集合的元素：
（1）集合元素的定义：
集合中的每一个个体，叫做集合的元素。
（2）元素与集合的关系：
①元素是集合中的的元素，称为元素属于集合，用符号“”表示，读作“属于”，例如2是自然数，3，是有理数，可以表示为2N，3Q，Q；
②元素不是集合中的的元素，称为元素不属于集合，用符号“”表示，读作不属于，例如-2不是自然数，2.132412576…….不是有理数，可以表示为-2N，2.132412576-------Q。
(3)元素的特性：
元素具有确定性，互异性和无序性三个特性。
5、集合的分类：
（1）空集的定义：没有任何元素的集合，称为空集；
（2）空集的表示：用符号“”表示空集；
（3）空集与数0的关系：①联系：空集与数0都表示没有；②区别：0是一个数，是一个集合；
（4）有限集合的定义：元素的个数是有限个的集合，叫做有限集合；
（5）无限集合的定义：元素个数是无限多的集合，叫做无限集合；
（6）集合按元素的多少可以分为有限集合和无限集合两大类（注意：空集归为有限集合）。
（二）、集合的表示方法：
1、列举法：
（1）列举法的定义：把集合中的元素全部列举出来放在大括号内表示集合的方法，叫做列举法；
（2）列举法表示集合的基本步骤是：①确定集合的所有元素；② 把集合的所有元素全部列举出来，元素之间用逗号分开放在大括号内；
（3）列举法的适用范围是集合元素的个数不是很多的有限集合。
2、描述法：
（1）描述法的定义：把集合中元素共同特性描述出来表示集合的方法，叫做描述法；
（2）描述法表示集合的基本步骤是：①确定集合元素的共同特性；②用一个（或几个）小写字母代表集合的元素，把集合元素的共同特性描述出来，代表元素的字母与集合元素共同特性之间用“|”分开放在大括号内；
（3）描述法的适用范围是所有集合。
（4）对于描述法表示的集合一定要注意弄清楚集合的元素是什么，它表示的是怎样的集合。例如集合｛（x,y）|y=2x+1｝表示的是直线y=2x+1上点集，集合｛x|y=2x+1｝表示的是
函数y=2x+1的定义域，集合｛y|y=2x+1｝表示的是函数y=2x+1的值域。
3、韦恩氏图法：
（1）韦恩氏图法的定义：把集合中的元素列举出来放在封闭的曲线内表示集合方法，叫做韦恩氏图法；
（2）韦恩氏图法表示集合的基本步骤是：①确定集合的所有元素；② 把集合的元素全部列举出来，元素之间用逗号分开放在封闭的曲线内；
（3）韦恩氏图法的适用范围是集合元素的个数不是很多的有限集合。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知集合A=｛a+2，(a+1)，+3a+3｝，若1A，则由实数a构成的集合B的元素个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①集合的定义与性质；②集合元素的定义与性质；③元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据1A，得到 a+2=1或=1或+3a+3=1，分别求解这三个方程求出 a=-1或a=0或a=-2，运用集合元素的特征分别验证a=-1或a=0或a=-2是否符合题意，从而得出实数a可能的取值，确定由实数a构成的集合B的元素个数就可得出选项。
【详细解答】1A，a+2=1或=1或+3a+3=1，a=-1或a=0或a=-2，①
当a=-2时，a+2=-2+2=0, ==1，+3a+3=+3（-2）+3=4-6+3=1a=-2不符合；②当a=-1时，a+2=-1+2=1, = =0，+3a+3=+3（-1）+3=1-3+3=1a=-1不符合；③当a=0时，a+2=0+2=2, = =1，+3a+3=+30
+3=0+0+3=3a=0符合；集合B中只有一个元素0，B正确，选B。
2、给出下列各项式：①R；② Q；③|-3|；④|-|N。其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①元素的定义与性质；②元素与集合的关系及表示；③无理数的定义与性质；④绝对值的定义与性质；⑤实数的定义与性质；⑥自然数的定义与性质。
【解题思路】根据实数，无理数，自然数，正整数，绝对值的性质对各项式子是正确，还是错误加以判断就可得出选项。
【详细解答】是实数，是无理数，|-3|=3是正整数，|-|=是无理数， ①正确，②正确，③错误，④错误，B正确，选B。
3、已知集合A={x|xZ，且Z }，则集合A中的元素个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【知识点】①元素的定义与性质；②元素与集合的关系及表示；③数整除性的定义与性质。
【解题思路】根据xZ，且Z 得到2-x= 1或3，从而求出符合问题条件x的可能取值，确定出集合A中的元素个数就可得出选项。
【详细解答】 xZ，且Z ，2-x= 1或3，由2-x=1x=1，由2-x=-1x=3，
由2-x=3x=-1，由2-x=-3x=5， A={x|xZ，且Z }={-1，1，3，5}；C正确，选C。
4、若集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，则a= 。
【解析】
【知识点】①元素的定义与性质；②元素与集合的关系及表示；③参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，得到方程a-3x+2=0只有一个（或两个相同）根，运用参数分类讨论的原则和基本方法，对参数a可能的取值分别求出参数a的值就可求出参数a的值。
【详细解答】集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素， 方程a-3x+2=0只有一个（或两个相同）根，①当a=0时，a-3x+2=0 -3x+2=0，x= ，符合题意；②当a0时，a-3x+2=0 有两个相等的实数根， = -8a=0，a= ，综上所述，若集合A={xR |a-3x+2=0}中只有一个元素，则a=0或a= 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义及元素与集合的关系，掌握集合元素的特性；
（2）元素与集合的关系是：①元素属于集合；②元素不属于集合；注意符号“”或“”的理解与运用；
（3）确定一个集合元素的基本方法是：①明确这个集合中的元素代表什么和元素的限制条件（定性）；②含有字母的集合，求出字母的值后，注意集合元素的互异性（定量）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设A=｛a｝，则下列各式正确的是（ ）（答案：C）
A 0A B aA C aA D a=A
2、已知A={x|x=3k-1，kZ}，则下列表示正确的是（ ）（答案：B）
A -1A B -11A C 3-1A D -34A
3、下列集合中，表示同一集合的是（ ）（答案：B）
A A={(3，2)}，B={(2，3)} B A={3，2}，B={2，3}
C A={(x，y)|x+y=1}，B={y|x+y=1} D A={1，2}，B={(1，2)}
4、（1）设xR，集合A中含有三个元素3，x，-2x，求元素x应满足的条件；
（2）若-2A，求实数x的值。（答案：（1）x0且x3；（2）x=-2。）
【典例2】解答下列问题：
1、下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A 著名的中国数学家 B 北京四中2015级新生
C 奇数的全体 D 2012年伦敦奥运会的所有比赛项目
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征。
【解题思路】根据集合元素的特征，分别判断各对象中的元素是否具有集合元素的特征就可得出选项。
【详细解答】A对象中，哪些属于对象的元素，哪些不是对象的元素不能确定，A中的对象不能构成集合， A正确，选A。
2、由，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是（ ）
A 0 B -1 C 1 D -1或1
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征。
【解题思路】根据由，x组成的集合A中含有2个元素得到x，从而求出 x不可能的取值就可得出选项。
【详细解答】，x组成的集合A中含有2个元素， x，x0，x1 B正确，选B。
3、若集合{a，b，c}中的元素是ABC的三边，则ABC一定不是（ ）
A 锐角三角形 B 等腰三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征。
【解题思路】根据集合{a，b，c}中的元素是ABC的三边得到abc就可得出选项。
【详细解答】集合{a，b，c}中的元素是ABC的三边， abc B正确，选B。
4、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|aP,bQ｝,则集合P+Q中元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合元素的性质和集合表示的基本方法，结合问题条件求出a+b的所有可能的值，运用集合元素的特征确定出集合P+Q=｛a+b|aP,bQ｝的所有元素就可得出选项。
【详细解答】集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝，集合P+Q=｛a+b|aP,bQ｝, a+b可能为：0+1=1，0+2=2，0+6=6，2+1=3，2+2=4，2+6=8，5+1=6，5+2=7，5+6=11， P+Q=｛a+b|aP,bQ｝={1，2，3，4，6，7，8，11}， B正确，选B。
5、已知集合A=｛0，1,2｝,则集合B=｛x-y|xA, yA｝中的元素个数是（ ）
A 1 B 3 C 5 D 9
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合元素的性质和集合表示的基本方法，结合问题条件求出x-y的所有可能的取值，运用集合元素的特征确定出集合B=｛x-y|xA, yA｝中的所有元素就可得出选项。
【详细解答】集合A=｛0，1,2｝,集合B=｛x-y|xA, yA｝，x-y为：0-0=0，0-1=-1，0-2=-2，1-0=1，1-1=0，1-2=-1，2-0=2，2-1=1，2-2=0， B=｛x-y|xA,yA｝={-2，-1，0，1，2}， C正确，选C。
6、已知集合A=｛1,2,3，4,5｝,B=｛（x，y）|x A,yA,x-yA｝,则B中所含元素的个数为（ ）
A 3 B 6 C 8 D 10
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合元素的性质和集合表示的基本方法，结合问题条件求出x，y的所有可能的取值，从而得到（x，y）的所有可能结果，运用集合元素的特征确定出集合B=｛x-y|xA, yA｝中的所有元素就可得出选项。
【详细解答】集合A=｛0，1,2｝,集合B=｛x-y|xA, yA｝，x-y为：2-1=1，3-1=2，3-2=-1，4-1=3，4-2=-2，4-3=1，5-1=4，5-2=3，5-3=2，5-4=1，1，2，3，4 A=｛1,2,3，4,5｝， B=｛（x，y）|xA,yA，x-yA｝={（2，1），（3，1），,（3，2），,（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}， D正确，选D。
7、已知集合A=｛a-2，2+5a，12｝，且-3A,则a= ；
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合元素的性质和集合表示的基本方法，结合问题条件得到a-2=-3或2+5a=-3，解方程求出a的所有可能的取值，运用集合元素的特征就可得出a的值。
【详细解答】-3A， a-2=-3或2+5a=-3，a=-1或a=- ，当a=-1时，a-2=-1
-2=-3，2+5a=2-5=-3与集合元素互异性不符合，当a=- 时，a-2==--2=-，2+5a=
-=-3， a=- 。
8、含有三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝.
求：的值。
【解析】
【知识点】①集合元素的定义与性质；②集合元素的特征；③分式的定义与性质；④代数式求值的基本方法。
【解题思路】根据三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝，得到a0，=0， =1，运用集合元素的特征求出a， b的值，利用代数式求值的基本方法就可求出的值。
【详细解答】三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝ ，
a0，=0， =1，a=1，b=0，当a=1时，与集合元素的互异性不符合，a=-1， b=0，即：=+=-1+0=-1。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与集合元素的性质相关的问题，解答这类问题需要理解元素的性质：①
性，② 性，③ 性；
（2）对具体问题应该明确它与集合元素的哪一个或哪几个性质相关，再结合相关性质解答问题；一般情况下一个数学问题可能涉及到集合元素的几个性质，解答时应注意分辨。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知集合A含有两个元素a-3和2a-1，若-3A，则实数a的值为 ；（答案：a=0或a=-1）
2、设集合P=｛1,2,3｝,Q=｛0,2,4｝,定义集合P×Q=｛a.b|aP,bQ｝,则集合P×Q中的元素的个数是（ ）（答案：D）
A 9 B 8 C 7 D 6
3、设a，bR，集合{1，a+b，a}，集合 {0，，b}表示同一集合，则b-a= 。（答案：b-a=2）
4、有三个元素的集合可以表示为｛,2, ｝,也可以表示为｛a,2,4｝，求实数a的值；（答案：a=-2或a=1）
【典例3】解答下列问题：
1、用列举法表示集合{x|-2x+1=0}为（ ）
A {1，1} B {1} C {x=1} D {-2x+1=0}
【解析】
【知识点】①列举法表示集合的基本方法；②求解一元二次方程的基本方法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】根据集合{x|-2x+1=0}可知集合的元素是一元二次方程-2x+1=0的实数根，求解方程求出方程的实数解，运用列举法表示集合的基本方法表示出集合就可得出选项。
【详细解答】集合{x|-2x+1=0}，可知集合的元素是一元二次方程-2x+1=0的实数根，由一元二次方程-2x+1=0解得：x=1，用列举法表示集合{x|-2x+1=0}为：{1} ，B正确， 选B。
2、由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（ ）
A {x|-3＜x＜11，xQ} B {x|-3＜x＜11}
C {x|-3＜x＜11，x=2k，kN} D {x|-3＜x＜11，x=2k，kZ}
【解析】
【知识点】①描述法表示集合的基本方法；②偶数的定义与性质。
【解题思路】根据偶数的性质确定大于-3且小于11的偶数的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法表示出由大于-3且小于11的偶数组成的集合就可得出选项。
【详细解答】大于-3且小于11的偶数的共同特征是：①比-3大，比11小，②是偶数， 用描述法表示该集合为：{x|-3＜x＜11，x=2k，k∈Z} ， D正确， 选D。
3、已知集合A={x|N ，xN }，则用列举法表示为 。
【解析】
【知识点】①列举法表示集合的基本方法；②自然数的定义与性质。
【解题思路】根据自然数的性质，结合问题条件求出满足问题条件的x的所有可能的取值，运用列举法表示集合的基本方法就可得到所求集合A。
【详细解答】集合A={x|N ，xN }，5-x=1或2或3或4或6或12，x=4或3或2或1或-1或-7，符合条件的只有4，3，2，1，A={1，2，3，4}；
4、用恰当的方法表示下列集合：
（1）大于10的所有自然数组成的集合； （2）24与30的所有公约组成的集合；
（3）方程-16=0的实数解的集合； （4）4与6的所有公倍数组成的集合；
（5）不等式4x-3＜5的解集； （6）所有偶数组成的集合；
（7）直线y=3x+2上所有点的集合； （8）方程组 2x+y=0 的解集；
（9）直线2x+y-3=0与直线x-2y-1=0的交点组成的集合。 x-y+3=0
【解析】
【知识点】①列举法表示集合的基本方法；②描述法表示集合的基本方法。
【解题思路】（1）根据自然数的性质，结合问题条件确定出集合元素的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（2）根据公约数的性质和求两个数公约数的基本方法求出24与30的所有公约数，运用列举法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（3）根据一元二次方程的基本解法求出方程-16=0的所有实数解，运用列举法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（4）根据公倍数的性质和求两个数公倍数的基本方法确定出4与6的所有公倍数的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（5）根据求解不等式的基本方法求出不等式4x-3＜5的解集，确定出解集中所有元素的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（6）根据偶数的性质确定出集合元素的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（7）根据直线y=3x+2上点的性质，确定出集合元素的共同特征，运用描述法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（8）根据求解方程组的基本方法求出方程组的解，运用列举法表示集合的基本方法就可得到所求集合；（9）根据求直线2x+y-3=0与直线x-2y-1=0交点的基本方法，求出直线2x+y-3=0与直线x-2y-1=0的交点，运用列举法表示集合的基本方法就可得到所求集合。
【详细解答】集合是大于10的所有自然数组成的集合，集合元素的共同特征是：①比10大；②是自然数；集合表示为{x|x>10，xN}；（2）集合是24与30的所有公约数组成的集合，24与30的所有公约数为：1，2，3，6，集合表示为{1，2，3，6}；（3）集合是方程-16=0的实数解的集合，方程-16=0的实数解为：-4，4，集合表示为{-4，4}；（4）集合是4与6的所有公倍数组成的集合，集合元素的共同特征是：①能同时被4与6整除；②是自然数；集合表示为{x|x=12k，kN }；（5）集合是不等式4x-3＜5的解集，x<2，集合元素的共同特性是：①比2小；②是实数；集合表示为{x|x<2，xR}；（6）集合是所有偶数组成的集合，集合元素的共同特征是：①能被2整除；②是整数；集合表示为{x|x=2k，kZ}；（7）集合是直线y=3x+2上所有点的集合，集合元素的共同特性是：①是平面直角坐标系内的点；②所有点的坐标都满足直线y=3x+2的方程，集合表示为{(x，y)|y=3x+2}；（8）集合是方程组 2x+y=0与 x-y+3=0的解集，方程组 2x+y=0与 x-y+3=0的解是x=-1，y=2，集合表示为{（-1，2）}； （9）集合是直线2x+y
-3=0与直线x-2y-1=0的交点组成的集合，直线2x+y-3=0与直线x-2y-1=0的交点是方程组
2x+y-3=0与x-2y-1=0，方程组2x+y-3=0与x-2y-1=0的解是x=，y=，直线2x+y-3=0与直线x-2y-1=0的交点组成的集合表示为{（，）}。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与集合表示法相关的问题，解答这类问题需要掌握三种集合表示的基本方法：① 法，② 法，③ 法；
（2）对于具体问题应该明确它涉及到哪一种或哪几种集合表示法，再结合相关集合的表示法解答问题；
（3）对于描述法表示的集合一定要注意弄清楚集合的元素是什么，它表示的是怎样的集合。例如集合｛（x,y）|y=2x+1｝表示的是直线 上的点集，集合｛x|y=2x+1｝表示的是函数 的定义域，集合｛y|y=2x+1｝表示的是函数 的值域。
〔练习3〕解答下列问题：
1、下列命题中：（1）方程+|3y+3|=0的解集是｛,-1｝;(2)方程+x-6=0的解集是｛（-3,2）｝；（3）集合M=｛y|y=+1,x∈R｝与集合P=｛（x,y）|y=+1，x∈R｝表示同一集合；（4）方程组 x-y+3=0 的解集是｛（x,y）|x=1或y=2｝其中正确的命题的个数是
2x+y=0 （ ）（答案：A）
A 0个 B 2个 C 3个 D 4个
2、用恰当的方法表示下列集合：
（1）大于1且小于10的偶数的集合； （2）16的所有约数的集合；
（3）大于3小于11的偶数构成的集合； （4）｛平方等于1的数｝；
（5）15的约数构成的集合； （6）数轴上到原点距离小于1的所有数构成的集合；
（8）正实数构成的集合； （8）设集合A是方程+1=0的实数解构成的集合。
（答案：（1）{2，4，6，8}；（2）{1，2，4，8，16}；（3）{4，6，8，10}；（4）{-1，1}；（5）{1，3，5，15}；（6）{x|-10};(8）A=)
【追踪考试】
1、（已知理）集合A={（x，y）|x，y ，yx},B={(x,y)|x+y=8},则A B中元素的个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 6
（文）已知集合A={1，2，3，5，7，11 },B={x|3A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②交集定义与性质；③集合运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出A B，从而确定出A B中元素的个数就可得出选项。（文）根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法求出AB，从而确定出A B中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】（理）集合A={（x，y）|x，y ，yx},B={(x,y)|x+y=8},A B
={（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，即A B中元素的个数为4，C正确，选C。
（文）集合A={1，2，3，5，7，11 },B={x|32、已知集合A={-1，0，m}，B={1，2}，若AB={-1，0，1，2}，则实数m的值为（ ）（成都市2020高三一诊 ）
A -1或0 B 0或1 C -1或2 D 1或2
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②并集的定义与性质；③并集运算的基本方法。
【解题思路】根据集合的表示法，运用并集的运算方法就可得出结果。
【详细解答】AB={-1，0，1，2}，m=1或2，D正确，选D。
3、已知集合A=｛（x，y）| + ≤3，xZ，yZ｝，则A中元素的个数为（ ）（2018全国高考新课标II卷（理））
A 9 B 8 C 5 D 4
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②元素定义与性质。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，运用元素的性质，结合问题条件求出集合A的所有元素就可得出选项。
【详细解答】 + ≤3，xZ，yZ，x=0或x=1或x=-1，①当x=0时，y可以取0或1或-1，（0，0），（0，1），（0，-1）是集合A中的元素；②当x=1时，y可以取0或1或-1，（1，0），（1，1），（1，-1）是集合A中的元素；③当x=-1时，y可以取0或1或-1，（-1，0），（-1，1），（-1，-1）是集合A中的元素，综上所述集合A中共有9个元素，，A正确，选A。
4、（理）已知集合A=｛（x，y）|+=1｝，B=｛（x，y）|y=x｝，则A∩B中元素的个数为（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
（文）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则A∩B中元素的个数为（ ）（2017全国高考新课标III卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③判断直线与圆位置关系的基本方法；④集合运算的基本方法；⑤集合元素定义与性质。
【解题思路】（理）根据表示集合的基本方法和交集的性质，运用判断直线与圆位置关系和集合运算的基本方法，求出A∩B，利用元素的性质确定出A∩B中元素的个数就可得出选项。（文）根据表示集合的基本方法和交集的性质，运用集合运算的基本方法方法，求出A∩B，利用元素的性质确定出A∩B中元素的个数就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，由+=1，得 x=， y
y=x y= ， x
或 x=-，A∩B={（，），（-，-）}，即A∩B中元素的个数为2个，
y=-，B正确，选B。（文）集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，A∩B={2，4}，即A∩B中元素的个数为2个，B正确，选B。
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