21.1 一元二次方程 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
22.1 一元二次方程
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
问题情境
问题1：设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得
整理得　x 2 + 2x－4 = 0．①
x2 = 2(2 －x )，
想一想：上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
x m
(2 - x ) m
等量关系：
AC：BC=BC：AB
即BC2=2AC
问题情境
问题2：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形
分析:设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为 ，宽为 .
(100－2x)cm
(50－2x)cm
根据方盒的底面积为3600cm2，得
即
100cm
3600cm2
(100-2x)
(50-2x)
②
问题情境
50cm
问题3：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
分析:全部比赛共 .
4×7=28场
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.
即
(x－1)
整理得：
化简得： x2 – x – 56=0 ③
问题情境
方程①②③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
（1）都是整式方程；
（2）都只含一个未知数；
（3）未知数的最高次数都是2.
x2-75x＋350=0 ②
x2 + 2x - 4 = 0 ①
x2-x-56=0 ③
观察与思考
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0（a≠0）
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数.
bx 称为一次项， b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
一元二次方程的一般形式是
形成概念
想一想 为什么一元二次方程ax2+bx+c=0的一般式中要限制a≠0，b，c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
结论：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
深度理解
一元二次方程
判断下列方程是否为一元二次方程？
(3)x2+3y=36








(1)a2+a－6=0
(2)x3+x2－36=0
感悟新知
(6)2x2+3x=2x2 －1
（a≠0）
一元二次方程 二次项
系数 一次项
系数 常数项
4
2x2+x+4=0
2
1
－4y2+2y=0
－4
2
0
3x2－x－1=0
3
－1
－1
4x2－5=0
4
0
－5
m－3
1－m
－m
(m－3)x2－(m－1)x－m=0(m≠3)
一元二次方程的各项及其系数都包括前面的符号！
3x(x－1)=5(x+2)
这个方程能直接看出各项的系数吗？我们应该怎么办？
感悟新知
例 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项.
3x2－3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
3x2－8x－10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.　　　　　　　
解：去括号，得
要想正确确定方程的系数，首先要将一元二次方程化为一般形式！
感悟新知
一元二次方程的根
使一元一次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.
类比探究
一元一次方程的解
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
试一试：下面哪些数是方程 x2－x－6 = 0 的根
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6
14
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
类比探究
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
一元二次方程可能不止一个根.
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0，
总结：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值.
感悟新知
变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：
归纳：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值（整体代入法）．
感悟新知
1.关于x的方程(m2－9) x2+(m－3) x +5=0，
（1）当m取何值时是一元二次方程？
（2）当m取何值时是一元一次方程？
m ≠±3
m =－3
由 m2－9 ≠0 →
由 m2－9 = 0 m=±3
m－3≠0 → m≠3 →
知识运用 深入理解
2.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2－4=0
有一个根为0，求m的值.
提醒：二次项系数不为0
解：将x=0代入方程m2－4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠－2，
综上所述：m =2.
知识运用 深入理解
知识运用 深入理解
3.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
4x2－25＝0
x2－2x－100＝0
x2－3x+1＝0
（1）本节课学了哪些主要内容？
（2）一元二次方程的概念是什么？
（3）如何将一元二次方程转化为一般形式，一般形式包括哪些项？
归纳小结
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2－2y＝0 B． ＋x＝2
C．x2＋2x＝x2＋1 D．2＋x2＝0
D
课堂检测
B
2.若关于x的方程(a＋1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≠－1 C．a>－1 D．a<－1
课堂检测
3.一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是 ．
2x2＋3x－5＝0
4.方程 x2+x－12＝0 的两个根为（ ）
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
解：（1）一般式：
二次项系数为5，一次项系数－4，常数项－1.
（2）一般式：
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
课堂检测
一般式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
一般式：
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
课堂检测
6.已知关于x的一元二次方程x2+(a－1)x+1=0的一个根是1，求a的值.
解：由题意把x=1代入方程x2+(a－1)x+1=0，得
1+a－1+1=0
a=－1
课堂检测
7.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是 2π cm2，求半径；
（2）一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边.
课堂检测
x2－2=0
x2－3x－18=0