(共19张PPT)
21.2.1 配方法（1）
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元
降次
思考：如何解一元二次方程？
提出问题
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设一个盒子的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
由平方根意义
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
提出问题
试一试：根据平方根的意义解下列方程.
（1）x2=4
（2）x2=0
（3）x2+1=0
解：根据平方根的意义，得
x1=2，x2=－2.
解：根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解：移项，得x2=－1，
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
合作探究
问题：方程 x 2 = 4，x 2 = 0，x 2+1=0…有什么共同特征？
结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，
合作 探究
（2）当p=0 时，方程x 2 = p有两个相等实数根x1=x2=0
（3）当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程 x 2 = p无实数根.
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p有两个不等的实数根
实质：把一元二次方程“降次”，转化为一元一次方程.
形成结论
一般地，对于形如x2= p（ p≧0）的方程，根据平方根的定义，可解得x1= p ，x2=－ p，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法.
结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
利用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=6；
（2）x2－900=0.
解：直接开平方，得
移项，得x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30，x2=－30.
总结：通过移项把方程化为x2 = p的形式，然后直接开平方即可求解．
感悟新知
上面由方程x2=25得x=±5.由此想到：
(x+3)2=5 ， ②
对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
合作探究 理解本质
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
1.解下列方程：
（1）(x＋1)2= 2 ；
解析：只要将(x＋1)看成一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即x1=-1+
，x2=-1-
解：∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
知识运用 感悟新知
解析：先将－4移到方程右边，再直接开平方法求解.
（2）(x－1)2－4 = 0；
即x1=3，x2=－1.
解：移项，得(x－1)2=4.
∵x－1是4的平方根，
∴x－1=±2.
知识运用 感悟新知
∴x－1=2或x－1=－2.
∴ x1=2.5，
x2=3.5
（3）12(3－x)2－3 = 0.
解析：－3移到方程的右边，再将等式两边同时除以12，再用直接开平方法求解.
解：（3）移项，得12(3－2x)2=3，
两边同时除以12，得(3－x)2=0.25.
∵3－x是0.25的平方根，
∴3－x=±0.5.
即3－x=0.5或3－x=－0.5
知识运用 感悟新知
（1）x2－4x+4=9.
解：(x－2)2 =9，
∴ x－2 =±3.
即x－2 =3， x－2=－3
2.解下列方程：
方程的两根为
x1=5， x2=－1，
解：
方程的两根为
知识运用 感悟新知
方程能化成x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p （p≥0）的形式，那么可得x= 或 .
解一元二次方程的实质为降次，将二次方程转化为一次方程.
归纳总结
思考：用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
1.用直接开平方法写出下列方程的解：
（1）x2=8；
（2）x2=0；
（3）x2=－1.
课堂检测
x1= ， x2=－ .
2
2
x1=x2=0
无解
课堂检测
2.下列方程的解不正确的是（ ）
A.方程x2=1的根为x1=1，x2=－1
B.方程x2=0的根为x1=x2=0
C.方程（x－2）2=4的根为x1=4，x2=－4
D.方程3x2－6=0的根为x1= ，x2=－
C
课堂检测
3.方程3x2+9=0的根为（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
4.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x－6＝4 B. x－6＝－4
C. x＋6＝0 D. x＋6＝－4
D
D
课堂检测
5.解下列方程：
（1）2x2－8=0
∴ x1=2， x2=－2.
（2）9x2－5=3
∴ x1= ， x2=－ .
2
2
3
2
2
3
课堂检测
5.解下列方程：
（3）(x+6)2－9 = 0；
∴x1=－3，x2=－9.
解：移项，得(x+6)2=9.
得x+6=±3.
∴ x1= +1，x1=－ +1
（4）3(x－1)2－6 =0.
∴ x－1 =±
即x－1 = ，或 x－1 =－
解：移项，得3(x－1)2 =6，
∴(x－1)2 =2.
即x+6=3，或x+6=－3.
2
2
2
2
2
解：
方程的两根为
知识运用 感悟新知
5.解下列方程：
（5）x2－4x+4=5
（6）9x2+5=1
解：移项，得
9x2=－4
∴ 方程无解.
系数化1，得
x2= －
9
4(共18张PPT)
21.2.1 配方法（2）
问题1 你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
（1） a2+2ab+b2= ( )2；
（2）a2－2ab+b2= ( )2.
a+b
a－b
温故 知新
问题2 填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2－6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
你能发现填的数有什么规律？
2
3
4
4
9
16
22
4 =
(-3)2
9 =
2
42
16=
二次项系数为1时，常数等于一次项系数一半的平方.
温故 知新
x2+px+( )2=(x+ )2
（4）
x2- x+ = ( x- )2
想一想：怎样解方程x2+6x+4=0这样的方程呢？
前面我们已经会解方程(x+3)2=5，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.
那么，能否将x2+6x+4=0转化为(x+n)2=p的形式直接降次求解呢？
合作 探究
解方程过程：
两边加 9，左边 配成完全平方式
移项
左边写成完全 平方形式
降次
解一次方程
x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = －4
x2 + 6x + 9 = －4 + 9
，或
，
（x + 3）= 5
2
合作 探究
想一想：以上解法中，为什么在方程两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
两边加 9
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
x2 + 6x =－4 ③
x2 + 6x + 9 = －4 + 9
（x + 3）= 5
2
9，即 2 = 3 2 = 9
（ ）
合作 探究
平方根的意义
降次
（当 p≥0 时）
思考：通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，归纳这类方程的解法？
结构特征：方程可化成 的形式，
（x + n）= p
2
归纳 总结
配方法目的：
一元二次方程
一元一次方程
降次
像上面这样通过配成完全平方式，来解一元二次方程的方法叫做配方法.
感悟新知
（1）x2+8x+16=0
解：(x+4)2=0
x+4=0
x1=x2=－4.
（2）x2－2x=5
解：x2－2x+1=5+1
(x－1)2=6
x－1=±
x－1=
或x－1=－
x1= +1
x2=－ +1
6
6
6
6
6
解下列方程：
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边；
系数化为1：将二次项系数化为1；
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方:根据平方根意义,方程两边开平方；
求解:解一元一次方程；
定解:写出原方程的解.
归纳 总结
例1 解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
感悟新知
（1）x2－8x+1=0
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1
即
二次项系数不为1，先将系数化为1
思考：移项和二次项系数化为1这两步能不能交换一下
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
即
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时，则 ，方程的两个根为
②当p=0时，则(x+n)2=0，x+n=0，开平方得方程
的两个根为
③当p<0时，因为对于任意实数x，都有(x+n)2≥0，
所以方程无实数根.
不相等
相等
归纳 总结
x1 =x2=－n
1. 若x2－4x+p=(x+q)2，则p，q的值分别是（ ）
A. p=4，q=2 B. p=4，q=－2
C. p=－4，q=2 D. p=－4，q=－2
B
课堂检测
2. 用配方法解方程x2－4x+3=0，下列变形正确是（ ）
A. (x－2)2=7 B. (x+2)2=21
C. (x－2)2=1 D. (x+2)2=2
C
（2）x2+10x+9=0
x1=－9，x2=－1
（3）
3.解下列方程：
x2= －
2
2
1
x1= +
2
2
1
x1=－1+
21
3
（4）3x2+6x－4=0
x2=－1－
21
3
（1）x2+8x=－7
x1=－1，x2=－7
课堂检测
（5）x2+4x－9=2x－11 （6）x(x+4)=8x+12
解：化简，得x2+2x=－2
(x+1)2=－1
此方程无解
解：化简，得x2－4x=12
(x－2)2=16
x1=6，x2=－2
3.解下列方程：
x2+2x+1=－2+1
x2－4x+4=12+4
x－2=4或x－2=－4
课堂检测
解方程：(x＋1)2－8(x＋1)＋16＝0
x1＝x2＝3
拓展提升
证明：不论k取何实数，多项式k2－6k＋10 值必大于零.
解：k2－6k＋10= k2－6k＋9＋1
= (k－3)2＋1
∵(k－3)2≥0，∴(k－3)2＋1≥1.
∴k2－6k＋10的值必定大于零.
拓展提升
思考：你能说出k2－6k＋10的最大或最小值吗？
最小值1
