12.3 角的平分线的性质（1）课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
12.3角的平分线的性质 (1)
人教版 八年级上册
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线.
C
O
B
A
1
2
OC是∠ AOB的平分线.
复习旧知
2.点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离.
O
P
A
B
线段PO就是点P到直线AB的距离.
如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
C
A
D
B
探究新知
E
如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗
(全等三角形的对应角相等).
(角平分线的定义).
证明:
在△ACD和△ACB中，
AD=AB
(已知)
DC=BC
(已知)
CA=CA
(公共边)
∴ △ACD≌△ACB
∴∠CAD=∠CAB
(SSS).
∴AC平分∠DAB
A
D
B
E
C
2.分别以M，N为圆心．大于 MN的长为
半径作弧．
尺规作角的平分线
A
B
O
M
N
C
画法：
　　
3.作射线OC．
射线OC即为所求．
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N．
1
2
两弧在∠AOB的内部交于C．
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC(SSS)
∴∠MOC=∠NOC.
即：OC平分∠AOB.
A
B
为什么OC是角平分线呢？
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
M
N
O
C
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
D
P
E
B
A
O
C
角的平分线上的点到角的两边的距离.
探究：
PD与PE分别是角平分线OC上的点P到
角的两边OA与OB的距离.
PD与PE在数量有什么关系？
已知：如图，∠AOC=∠BOC的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD=PE.
证明：
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE
∠PDO=∠PEO
∴ △PDO≌△PEO
D
P
E
A
O
B
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
(全等三角形的对应边相等).
(AAS).
∠AOC=∠BOC
OP=OP
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质：
O
D
E
P
A
C
B
定理的作用：
证明线段相等.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示
已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，
写出证明过程.
∵ 如图，AD平分∠BAC (已知)，
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等.)
∴BD=CD
C
A
D
B
注意结论成立的条件
这是错误的
∵ AD平分∠BAC， DC⊥AC，DB⊥AB (已知)
不必再证全等
C
A
D
B
M
( )
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∴BD=CD
定理的作用：
证明线段相等.
如图， BD是∠ABC的平分线， ∠BAD=
∠BCD，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证：PM=PN.
典型例析
P
B
M
D
A
C
N
PM=PN
∠BDA=∠BDC
△BAD≌△BCD
∠ABD=∠CBD
BD是∠ABC的平分线
要证：
如图， BD是∠ABC的平分线， ∠BAD=
∠BCD，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂
足分别是M、N，求证：PM=PN.
∴ PM=PN.
∴ ∠ABD=∠CBD.
∴ △BAD≌△BCD
∴ ∠BDA=∠BDC
∵ BD是∠ABC的平分线，
证明：
在△PDO和△PEO中
∠ABD=∠CBD
(AAS).
∠BAD=∠BCD
BD=BD
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
P
B
M
D
A
C
N
1.在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
巩固新知
DE与DC相等.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=____cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∠1=∠2，且AC=16cm，那么线段BD是△ABC
的　　　 ，AD＋DE=　 cm.
角的平分线
16
A
B
C
D
E
1
2
4 .如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平
分线BD交AC于点D.若AC=8cm，AD=5cm，则
点D到AB边的距离是　 cm.
3
A
B
C
D
5.如图， OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，下列结论中，不一定成立的是( ).
A.PC=PD
B.∠CPO=∠DPO
C.OC=OD
D.OC=PC
P
O
C
D
A
B
D
6.如图， OP是∠MON的平分线，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点.若PA=4，则PQ的最小值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
P
O
M
Q
A
N
C
7.如图， BD是∠ABC的平分线， AB=BC，
点E在BD上，连接AE，CE，过点D作DF⊥AE，
DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF=DG.
∴ DF=DG.
∴ ∠ABE=∠CBE.
∴ △ABE≌△CBE
∴ ∠AEB=∠CEB
∵ BD是∠ABC的平分线，
证明：
在△ABE和△CBE中
∠ABE=∠CB
(SAS).
AB=BC
BE=BE
∵ DF⊥AE，DG⊥CE，
E
B
F
D
A
C
G
∴ ∠AED=∠CED
(等角的补角相等).
今天作业
课本P51页第2、4、5题
谢谢
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