12.3 角的平分线的性质（2）课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
13.2角的平分线的性质 (2)
人教版 八年级上册
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
符号语言：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD= PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质：
O
D
E
P
A
C
B
复习旧知
1.如图，OP是∠AOB的平分线.点C、D分别在角的两边OA，OB上 . 需添加下列条件，不一定能使△POC≌△POD的是( ).
A. PC⊥OA，PD⊥OB
B.∠OPC=∠OPD
C.OC=OD
D. PC=PD
P
B
D
A
C
O
温故知新
D
2.如图， AB ∥ CD，BP与CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD经过点P，AP⊥AB.若AD=8cm，则点P到BC的距离是 ( ).
P
B
D
A
C
A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm
C
反过来，到一个角的两边的距离相等的点
是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=PE．
D
E
B
A
O
P
求证:点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
连接OP，
证明:
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO
∴ ∠ POD=∠POE.
∴OP是∠AOB的平分线.
∴ ∠PDO=∠PEO=90°.
PO=PO
(HL).
∴点P在∠AOB的平分线上.
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
用符号语言表示为：
角平分线的判定
∴OP平分∠AOB．
B
A
D
O
P
E
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
过点P作PD⊥AB于D，
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
D
P
M
N
A
B
C
F
E
证明：
PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F.
例题解析
1.如图，在直线MN求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.
O
P
B
A
N
M
课堂练习
C
点P就是所求作的点.
2.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
E
P
B
A
D
C
∵BD是∠ABC的外角平分线，点P在BD上，
∴PF=PM.
同理，PM=PN.
∴PF=PM=PN.
即点P到三边AB、BC、
CA的距离相等.
过点P作PF⊥AB于F，
证明：
PM⊥BC于M，
PN⊥AC于N.
F
M
N
3.如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD .求证： AD平分∠BAC.
A
B
C
F
E
D
要证:
BE⊥AC ，CF⊥AB
△DEC≌DFB
DE=DF
AD是平分∠BAC.
∠DEC=∠DFB
要证:
要证:
要证:
3.如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD .求证： AD平分∠BAC.
A
B
C
F
E
D
证明:
∵ BE⊥AC ，CF⊥AB，
∴ △DEC≌DFB
∴ DE=DF
∴AD是平分∠BAC.
∴ ∠DEC=∠DFB=90°.
在△DEC和△DFB中，
∠DEC=∠DFB
∠EDC=∠FDB
CD=BD
∵ BE⊥AC ，CF⊥AB，
(AAS).
4.如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m.
这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置，比例尺为1：20000.
S
如图， PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，点D在AP上，求证：∠BDP=∠CDP.
∠BDP=∠CDP
△BDP≌△CDP
∠APB=∠APC
点P在∠BAC的平分线上
要证：
典型例析
PB⊥AB，PC⊥AC，PB=PC
P
B
D
A
C
∠BAP=∠CAP
如图， PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，点D在AP上，求证：∠BDP=∠CDP.
P
B
D
A
C
∴∠BDP=∠CDP.
∴ △BDP≌△CDP
∴ ∠APB=∠APC.
∴点P在∠BAC的平分线上.
证明：
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，PB=PC，
∴ ∠BAP=∠CAP.
在△DEC和△DFB中，
PB=PC
∠APB=∠APC
PD=PD
(等角的余角相等).
(SAS).
1.如图， PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，点D在AP上， DE⊥AB，DF⊥AC.求证：DE=DF.
DE=DF
∠APB=∠APC
点P在∠BAC的平分线上
要证：
巩固提高
PB⊥AB，PC⊥AC，PB=PC
A
B
D
P
C
∠BAP=∠CAP
E
F
如图， PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，点D在AP上， DE⊥AB，DF⊥AC.求证：DE=DF.
∴ DE=DF.
∴ ∠APB=∠APC.
∴点P在∠BAC的平分线上.
证明：
巩固提高
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，PB=PC，
A
B
D
P
C
∴ ∠BAP=∠CAP
E
F
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
2.如图， DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，BD=CD.求证：AD是∠BAC的平分线.
要证：
A
B
D
C
E
F
DE⊥AB，DF⊥AC，
∠E=∠CFD=90°.
DE=DF.
Rt△BDE ≌ Rt△CDF
AD是∠BAC的平分线.
点D在∠BAC的平分线上.
2.如图， DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，BD=CD.求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：
A
B
D
C
E
F
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠E=∠CFD=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中
BE=CF
BD=CD
∴DE=DF.
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF
(HL).
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD是∠BAC的平分线.
∴点D在∠BAC的平分线上.
今天作业
课本P51页第3题.
课本P52页第6、7题.
谢谢
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